2.4.3: Composición de las funciones trigonométricas y sus inversas

Aplicación de seno, coseno, tangente, o sus inversos y luego otra función.

Has considerado funciones trigonométricas, y has considerado funciones inversas, y ahora es el momento de considerar cómo componer funciones trigonométricas y sus inversas. Si alguien te pidiera aplicar la inversa de una función trigonométrica a otra función trigonométrica, ¿sería capaz de hacer esto? Por ejemplo, ¿puedes encontrar\(\sin^{−1}\left(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)\right)\)?

Funciones trigonométricas y sus inversos

En otras secciones, aprendiste eso para una función\(f(f^{−1}(x))=x\) para todos los valores de\(x\) para los que\(f^{−1}(x)\) se define. Si esta propiedad se aplica a las funciones trigonométricas, las siguientes ecuaciones serán verdaderas siempre que se definan:

\(\sin(\sin^{−1}(x))=x \qquad \cos(\cos^{−1}(x))=x \qquad \tan(\tan^{−1}(x))=x\)

Además, aprendiste eso\(f^{−1} (f(x))=x\) para todos los valores de\(x\) para los que\(f(x)\) se define. Si esta propiedad se aplica a las funciones trigonométricas, las siguientes ecuaciones que tratan de encontrar una función trigonométrica inversa de una función trigonométrica, solo serán verdaderas para valores\(x\) dentro de los dominios restringidos.

\(\sin^{−1}(\sin(x))=x \qquad \cos^{−1}\left(\cos(x)\right)=x \qquad \tan^{−1}\left(\tan(x)\right)=x\)

Estas ecuaciones son más conocidas como funciones compuestas. Sin embargo, no es necesario tener solamente una función y su inversa actuando el uno sobre el otro. De hecho, es posible tener una función compuesta que se componen de una función trigonométrica en conjunto con otra función trigonométrica diferente. Las funciones compuestas se convertirán en funciones algebraicas y no mostrarán ninguna trigonometría. Investiguemos este fenómeno.

Al resolver este tipo de problemas, comienza con la función que se compone dentro del otro y trabaja tu salida. Utilice los siguientes problemas como pauta.

1. Encuentra\(\sin\left(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Eso lo sabemos\(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}\), dentro del dominio restringido definido. Entonces, tenemos que encontrar\(\sin \dfrac{\pi}{4}\), que es\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Entonces, las propiedades anteriores permiten un atajo. \(\sin\left(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), pensarlo como el seno y el seno inverso se cancelan entre sí y todo lo que queda es el\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

2. Sin utilizar tecnología, encuentre el valor exacto de cada uno de los siguientes:

a.\(\cos \left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)\)

\(\cos\left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)\): Primer hallazgo\(\tan^{−1}\sqrt{3}\), que es\(\dfrac{\pi}{3}\). Entonces encuentra\(\cos\dfrac{\pi}{3}\). Tu respuesta final es\(\dfrac{1}{2}\). Por lo tanto,\(\cos\left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\).

b.\(\tan \left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{1}{2}\right)\right)\)

\(\tan\left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{1}{2}\right)\right)=\tan\left(−\dfrac{\pi}{6}\right)=−\sqrt{3}{3}\)

c.\(\cos\left(\tan^{−1}(−1)\right)\)

\(\cos\left(\tan^{−1}(−1)\right)=\cos^{−1}\left(−\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

d.\(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que resolviera\(\sin^{−1}\left(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)\right)\).

Solución

Para resolver este problema:\(\sin^{−1}\left(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)\right)\), se puede trabajar hacia afuera.

Primer hallazgo:

\(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)=0\)

A continuación, encuentra:

\(\sin^{−1} 0=0\)

o

\(\sin^{−1} 0=\pi\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor exacto de\(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), sin calculadora, sobre su dominio restringido.

Solución

\(\dfrac{\pi}{6}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Evaluar:\(\sin \left(\cos^{−1} \dfrac{5}{13}\right)\)

Solución

\(\begin{aligned} \cos \theta &=\dfrac{5}{13} \\ \sin\left(\cos^{−1}\left(\dfrac{5}{13}\right)\right) &=\sin \theta \\ \sin \theta & =\dfrac{12}{13} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Evaluar:\(\tan \left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{6}{11}\right)\right)\)

Solución

\(\tan\left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{6}{11}\right)\right) \rightarrow \sin \theta =−\dfrac{6}{11}\).

El tercer lado es\(b=\sqrt{121−36}=\sqrt{85}\).

\(\tan \theta =−\dfrac{6}{\sqrt{85}}=−\dfrac{6\sqrt{85}}{85}\)

Revisar

Sin utilizar tecnología, encuentra el valor exacto de cada uno de los siguientes.

1. \(\sin\left(\sin^{−1} \dfrac{1}{2}\right)\)
2. \(\cos\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
3. \(\tan\left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)\)
4. \(\cos\left(\sin^{−1} \dfrac{1}{2}\right)\)
5. \(\tan\left(\cos^{−1}1\right)\)
6. \(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
7. \(\sin^{−1}\left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)\)
8. \(\cos^{−1}\left(\tan \dfrac{\pi}{4}\right)\)
9. \(\tan^{−1}\left(\sin\pi \right)\)
10. \(\sin^{−1}\left(\cos \dfrac{\pi}{3}\right)\)
11. \(\cos^{−1}\left(\sin−\dfrac{\pi }{4}\right)\)
12. \(\tan\left(\sin^{−1}0\right)\)
13. \(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
14. \(\tan^{−1}\left(cos \dfrac{\pi}{ 2}\right)\)
15. \(\cos\left(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
función compuesta	Una función compuesta es una función\(h(x)\) formada mediante el uso de la salida de una función\(g(x)\) como la entrada de otra función f (x). Las funciones compuestas se escriben en la forma\(h(x)=f(g(x))\) o\(h=f\circ g\).

Recursos adicionales

Video: Composiciones de funciones trigonométricas - Descripción general

Práctica: Composición de las funciones trigonométricas y sus inversas