2.4.5: Composición de las funciones trigonométricas recíprocas inversas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 107695

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Aplicación de una de seis funciones trigonométricas o inversas y luego otra.

Componer funciones implica aplicar una función y luego aplicar otra función después. En el caso de las funciones recíprocas inversas, podrías crear composiciones de funciones como\(\sec ^{-1}\),\(\csc^{-1}\), y\(\cot ^{-1}\).

Considera el siguiente problema:

\(\csc(\cot ^{-1}\sqrt{3})\)

¿Puedes resolver este problema?

Composición de funciones trig recíprocas inversas

Así como puedes aplicar una función y luego otra cuando quieras, puedes hacer lo mismo con funciones trigonométricas recíprocas inversas. Este proceso se llama composición.

Aquí exploraremos algunos ejemplos de composición para estas funciones trigonométricas recíprocas inversas haciendo algunos problemas.

1. Sin calculadora, encuentra\(\cos(\cot ^{-1}\sqrt{3})\).

En primer lugar\(\cot ^{-1}\sqrt{3}\), encontrar, que es también\(\tan^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Esto es\(\dfrac{\pi}{6}\). Ahora, encontrar\(\cos \dfrac{\pi}{6}\), que es\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Entonces, nuestra respuesta es\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

2. Sin calculadora, encuentra\(\sec ^{-1}(csc\dfrac{\pi}{3})\).

Primero,\(\csc\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{ \sin\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\). Entonces\(\sec ^{-1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}\).

3. Evaluar\(\cos\left(\sin^{-1} \dfrac{3}{5}\right)\).

A pesar de que este problema no es un valor crítico, todavía se puede hacer sin una calculadora. Recordemos que el seno es el lado opuesto sobre la hipotenusa de un triángulo. Entonces, 3 es el lado opuesto y 5 es la hipotenusa. Se trata de una Triple pitagórica, y así, el lado adyacente es 4. Para continuar, dejar\(\theta =\sin^{-1} \dfrac{3}{5}\) o\(\sin \theta =\dfrac{3}{5}\), lo que significa que\(\theta\) está en el Cuadrante 1 (desde nuestro dominio restringido, tampoco puede estar en el Cuadrante II). Sustituyendo en\(\theta\) obtenemos\(\cos\left(\sin^{-1} \dfrac{3}{5}\right)=\cos \theta\) y\(\cos\theta =\dfrac{4}{5}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que resolviera\(\csc(\cot ^{-1}\sqrt{3})\).

Solución

El primer paso en este problema es preguntarse “¿De qué ángulo produciría una cotangente\(\sqrt{2}\)?”

Dado que los valores para\(x\) "" y\(y\) "" "alrededor del círculo unitario son todas fracciones, y la cotangente es igual a xy, es necesario encontrar un par de ecuaciones en el círculo unitario que, cuando se dividen entre sí, dan\(\sqrt{2}\) como respuesta.

Al mirar alrededor del círculo de la unidad, se puede ver que\(\cot 30^{\circ} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3}\)

Por lo tanto,\(\cot ^{-1} \sqrt{3}=30^{\circ}\)

Entonces puedes aplicar la siguiente función:

\(\csc 30^{\circ} =\dfrac{hypotenuse}{opposite}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)

Y así

\(\csc\left(\cot ^{-1}\sqrt{3}\right)=2\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor exacto de\(\csc\left(\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) sin calculadora, sobre sus dominios restringidos.

Solución

\(\csc\left(\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\csc\dfrac{\pi}{6}=2\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor exacto de\(\sec ^{-1}\left(\tan\left(\cot ^{-1}1\right)\right)\) sin calculadora, sobre sus dominios restringidos.

Solución

\(\sec ^{-1}\left(\tan\left(\cot ^{-1}1\right)\right)=\sec ^{-1}\left(\tan\dfrac{\pi}{4}\right)=\sec ^{-1} 1=0\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor exacto de\(\tan^{-1}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}\right)\) sin calculadora, sobre sus dominios restringidos.

Solución

\(\tan^{-1}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}\right)=\tan^{-1} 0=0\)

Revisar

Sin utilizar tecnología, encuentra el valor exacto de cada uno de los siguientes. Utilice el dominio restringido para cada función.

\(\sin\left(\sec ^{-1}\sqrt{2} \right)\)
\(\cos\left(\csc^{-1}1\right)\)
\(\tan\left(\cot ^{-1}\sqrt{3}\right)\)
\(\cos\left(\csc^{-1} 2\right)\)
\(\cot\left(\cos^{-1} 1\right)\)
\(\csc\left(\sin^{-1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(\sec ^{-1}\left(\cos\pi \right)\)
\(\cot ^{-1}\left(\tan\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\sec ^{-1}\left(\csc\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\csc^{-1}\left(\sec\dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(\cos^{-1}\left(\cot−\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\tan\left(\cot ^{-1}0\right)\)
\(\sin\left(\csc^{-1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\)
\(\cot ^{-1}\left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(\cos\left(\sec ^{-1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.8.

El vocabulario

Término	Definición
función inversa	Las funciones inversas son funciones que se 'deshacen' entre sí. Formalmente\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones inversas si\(f(g(x))=g(f(x))=x\).
Función Recíproca	Una función recíproca es una función con la función padre\(y=\dfrac{1}{x}\).

Recursos adicionales

Video: Problemas de composición inversa trig dura

Práctica: Composición de funciones trigonométricas recíprocas inversas