2.2.1: El teorema de Pitágoras y la trigonometría

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Utilizando funciones trigonométricas o el teorema de pitágoras a partir de la información dada.

Un árbol de 40 pies de altura proyecta una sombra de 80 pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde el final de la sombra hasta la cima del árbol con respecto al suelo?

Problemas de aplicación

A la hora de resolver problemas de palabras, es importante entender la terminología utilizada para describir los ángulos. En problemas trigonométricos, se utilizan comúnmente los términos ángulo de elevación y ángulo de depresión. Ambos ángulos siempre se miden a partir de una línea horizontal como se muestra en los diagramas a continuación.

f-d_9c49fd4135e71fa29d02125c9d8b0f1b17e1f1b89430257365c9e399+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Resolvamos los siguientes problemas.

Un avión que se acerca a un aeropuerto ve la pista en un ángulo de depresión de\(25^{\circ}\). Si el avión está a 15,000 pies sobre el suelo, ¿a qué distancia (distancia al suelo) está el avión de la pista? Da tu respuesta a los 100 pies más cercanos

Hacer un diagrama para ilustrar la situación descrita y luego usar una relación trigonométrica para resolver. Tenga en cuenta que un ángulo de depresión es inferior a una línea horizontal de visión, en este caso una línea horizontal desde el piloto del plano paralelo al suelo.

F-D_039A5760C7BAE3A4D7D121DF028979A30873E31C6123B7BEBAF13748+Image_Tiny+Imagen_Tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Tenga en cuenta que el ángulo de depresión y el ángulo interior alterno serán congruentes, por lo que el ángulo en el triángulo también lo es\(25^{\circ}\).

De la imagen, podemos ver que debemos usar la relación tangente para encontrar la distancia al suelo.

\(\begin{aligned} \tan 25^{\circ}&=\dfrac{15000}{d} \\ d&=\dfrac{15000}{\tan 25^{\circ}} \approx 32,200 \text{ ft}\end{aligned}\)

Rachel ve un pájaro en un árbol en un ángulo de elevación de\(30^{\circ}\). Si Rachel está a 20 pies de la base del árbol, ¿qué tan alto en el árbol está el ave? Da tu respuesta a la décima de pie más cercana.

Haz un diagrama para ilustrar la situación. Ten en cuenta que habrá un triángulo rectángulo y que el ángulo recto está formado por el suelo y el tronco del árbol.

f-d_a7dd53027e02471df723d4fd0eaa4dc1ca277beb8bc1350f8300d55a+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Aquí podemos usar la relación tangente para resolver la altura del ave

\(\begin{aligned} tan 30^{\circ}&=\dfrac{h}{20} \\ h&=20 \tan 30^{\circ}\approx 11.5 \text{ ft}\end{aligned}\)

Una escalera de 12 pies está apoyada contra una casa y llega a 10 pies por el costado de la casa. Al grado más cercano, ¿qué ángulo hace la escalera con el suelo?

En este problema, necesitaremos encontrar un ángulo. Al hacer un boceto del triángulo podemos ver qué relación trigonométrica inversa usar.

f-d_eaf00f4a16b031f4ba392a62bbdb6f22c37b4ae74966baf6f785b97b+imagen_tiny+imagen_tiny.png — Figura\(\PageIndex{4}\)

\(\begin{aligned} sin x^{\circ} &=\dfrac{10}{12}\\ sin^{−1}(\dfrac{10}{12}) &\approx 56^{\circ} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le pidió que encontrara el ángulo de elevación desde el final de la sombra hasta la cima del árbol con respecto al suelo.

Solución

Si dibujas esta situación, verás que estamos ante un triángulo rectángulo. El lado opuesto al ángulo de elevación es 40. El lado adyacente al ángulo es de 80. Por lo tanto, podemos usar la tangente para encontrar el ángulo de elevación.

\(\begin{aligned} \tan x^{\circ}&=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2}\\ tan^{−1}(\dfrac{1}{2})&=\approx 26.57^{\circ} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Una rampa hace un\(20^{\circ}\) ángulo con el suelo. Si la puerta a la que conduce la rampa está a 2 pies sobre el suelo, ¿cuánto dura la rampa? Da tu respuesta a la décima de pie más cercana.

Solución

\(\begin{aligned} \sin 20^{\circ}&=\dfrac{2}{x} \\ x&=\dfrac{2}{sin20^{\circ}}\approx 5.8 \text{ ft} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Charlie suelta 90 pies de cuerda de cometa. Si el ángulo de elevación de la cuerda es 70^ {\ circ}, aproximadamente ¿qué tan alto es la cometa? Da tu respuesta al pie más cercano.

Solución

\(\begin{aligned} \sin 70^{\circ}&=\dfrac{x}{90} \\ x&=90 \sin 70^{\circ}\approx 85 \text{ ft}\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

El sonar de un barco localiza un naufragio en un ángulo de depresión de 32^ {\ circ}. Si la profundidad del océano es de aproximadamente 250 pies, qué tan lejos están los restos (medidos a lo largo de la superficie del agua) desde el barco, hasta el pie más cercano.

Solución

\(\begin{aligned} \tan 32^{\circ}&=\dfrac{250}{x} \\ x&=\dfrac{250}{\tan 32^{\circ}} \approx 400 \text{ ft} \end{aligned}\)

Revisar

Utilice el Teorema de Pitágoras y/o trigonometría para resolver los siguientes problemas de palabras.

Un cuadrado tiene lados de 8 pulgadas de largo. A la décima de pulgada más cercana, ¿cuál es la longitud de su diagonal?
Layne ve un velero desde su balcón del quinto piso, a unos 25 m sobre la playa, en un ángulo de depresión de\(3^{\circ}\). Al metro más cercano, ¿a qué distancia está el barco?
Una tirolesa lleva a los pasajeros en un viaje de 200 m desde lo alto de los árboles hasta una plataforma a nivel del suelo. Si el ángulo de elevación de la tirolina es\(10^{\circ}\), ¿qué tan alto sobre el suelo es la plataforma de inicio de la parte superior del árbol? Da tu respuesta al medidor más cercano.
El ángulo de depresión desde la parte superior de un edificio de departamentos hasta la base de una fuente en un parque cercano es\(57^{\circ}\). Si el edificio mide 150 pies de altura, ¿a qué distancia, al pie más cercano, está la fuente?
Una plataforma de tobogán para juegos está a 6 pies sobre el suelo. Si el tobogán mide 8 pies de largo y el extremo del tobogán está a 1 pie sobre el suelo, ¿qué ángulo hace el deslizamiento con el suelo? Da tu respuesta al grado más cercano.
Benjamín ve un árbol directamente al otro lado del río desde donde está parado. Luego camina 27 pies río arriba y determina que el ángulo entre su posición anterior y el árbol al otro lado del río es\(73^{\circ}\). ¿Qué tan ancho, al pie más cercano, es el río?
Un rectángulo tiene lados de 6 pulgadas y 10 pulgadas de largo. Al grado más cercano, ¿qué ángulo hace la diagonal con el lado más largo?
Tommy está volando su cometa una tarde y se da cuenta de que ha soltado todo el 130 pies de cuerda. El ángulo que hace su cuerda con el suelo es\(48^{\circ}\). ¿Qué tan alto, al pie más cercano, está su cometa en este momento?
Un árbol alcanzado por un rayo en una tormenta se rompe y cae para formar un triángulo con el suelo. La punta del árbol forma un\(18^{\circ}\) ángulo con el suelo a 21 pies de la base del árbol. ¿Cuál era la altura del árbol al pie más cercano?
Al descender un avión se encuentra a 19,000 pies sobre el suelo. La torre de control de tránsito aéreo mide 190 pies de altura. Se determina que el ángulo de elevación desde la parte superior de la torre hasta el plano es\(15^{\circ}\). A la milla más cercana, encuentra la distancia terrestre desde el avión hasta la torre.
¿Por qué las relaciones de seno y coseno siempre serán menores de 1?