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2.2.7: Ángulos de Elevación y Depresión

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    107708
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    Ángulos que van hacia arriba o hacia abajo desde una línea de visión horizontal.

    Ángulos de Elevación y Depresión

    Has decidido ir de campamento con algunos amigos. Mientras estás en una caminata, llegas a la cima de una cresta y miras hacia abajo el sendero detrás de ti. A lo lejos, puedes ver tu campamento. Estás pensando en lo lejos que has viajado, y te preguntas si hay una manera de determinarlo.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Al usar un pequeño dispositivo llamado clinómetro, puedes medir el ángulo entre tu línea de visión horizontal y el campamento como\(37^{\circ}\), y sabes que el cerro que acabas de subir tiene una altura de 300 m. ¿Es posible averiguar a qué distancia está tu campamento usando esta información? (Supongamos que el sendero que caminaste está inclinado como el lado de un triángulo.)

    Ángulos de Elevación y Depresión

    Puedes usar triángulos rectos para encontrar distancias, si conoces un ángulo de elevación o un ángulo de depresión.

    La siguiente figura muestra cada uno de estos tipos de ángulos.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    El ángulo de elevación es el ángulo entre la línea de visión horizontal y la línea de visión hasta un objeto. Por ejemplo, si estás parado en el suelo mirando hacia la cima de una montaña, podrías medir el ángulo de elevación. El ángulo de depresión es el ángulo entre la línea de visión horizontal y la línea de visión hacia un objeto. Por ejemplo, si estuvieras parado en lo alto de una colina o un edificio, mirando hacia abajo a un objeto, podrías medir el ángulo de depresión. Puedes medir estos ángulos usando un clinómetro o un teodolito. La gente tiende a usar clinómetros o teodolitos para medir la altura de los árboles y otros objetos altos. Aquí resolveremos varios problemas que involucran estos ángulos y distancias.

    Encontrar el ángulo de elevación

    Estás parado a 20 pies de distancia de un árbol, y mides el ángulo de elevación a ser\(38^{\circ}\). ¿Qué tan alto es el árbol?

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    La solución depende de tu altura, ya que mides el ángulo de elevación desde tu línea de visión. Supongamos que mide 5 pies de altura.

    La figura nos muestra que una vez que encontramos el valor de\(T\), tenemos que sumar 5 pies a este valor para encontrar la altura total del triángulo. Para encontrar\(T\), debemos usar el valor tangente:

    \(\begin{aligned} tan38^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{T}{20} \\ tan38^{\circ}&=\dfrac{T}{20}\\ T&=20tan38^{\circ}\approx 15.63\\ \text{Height of tree}&\approx 20.63 \text{ ft}\end{aligned}\)

    Estás parado en lo alto de un edificio, mirando un parque a lo lejos. El ángulo de depresión es 53^ {\ circ}. Si el edificio en el que estás parado mide 100 pies de altura, ¿a qué distancia está el parque? ¿Importa tu estatura?

    Encontrar el ángulo de depresión

    Si ignoramos la altura de la persona, resolvemos el siguiente triángulo:

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Dado el ángulo de depresión es\(53^{\circ}\),\(\angle A\) en la figura anterior se encuentra\(37^{\circ}\). Podemos usar la función tangente para encontrar la distancia desde el edificio hasta el parque:

    \(\begin{aligned} tan 37^{\circ}=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{d}{100}\\ tan37^{\circ} &=\dfrac{d}{100}\\d&=100 tan37^{\circ} \approx 75.36\text{ ft} \end{aligned}\)

    Si tomamos en cuenta la altura si la persona, esto cambiará el valor del lado adyacente. Por ejemplo, si la persona mide 5 pies de altura, tenemos un triángulo diferente:

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    \(\begin{aligned} tan37^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{d}{105} \\ tan37^{\circ} &=\dfrac{d}{105} \\ d&=105{tan37^{\circ} \approx 79.12\text{ ft}\end{aligned}\)

    Si solo buscas estimar una distancia, entonces puedes ignorar la altura de la persona que toma las medidas. No obstante, la altura de la persona importará más en situaciones en las que las distancias o longitudes involucradas sean menores. Por ejemplo, la altura de la persona influirá más en el resultado en el problema de altura del árbol que en el problema de construcción, ya que el árbol está más cerca en altura de la persona que el edificio.

    Aplicación en el mundo real: El horizonte

    Estás en un largo viaje por el desierto. En la distancia se pueden ver montañas, y una medición rápida te dice que el ángulo entre la cima de la montaña y el suelo es\(13.4^{\circ}\). De tus estudios, sabes que una forma de definir una montaña es como un montón de tierra que tiene una altura de al menos 2,500 metros. Si asumes que la montaña es la altura mínima posible, ¿a qué distancia estás del centro de la montaña?

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    \(\begin{aligned} tan 13.4^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{2500}{d}\\ tan 13.4^{\circ} &=\dfrac{2500}{d} \\ d&=\dfrac{2500}{tan13.4^{\circ}} \approx 10,494 meters \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le preguntó si era posible averiguar a qué distancia se encuentra su campamento utilizando la información proporcionada.

    Solución

    Ya que sabes que el ángulo de depresión es\(37^{\circ}\), puedes usar esta información, junto con la altura del cerro, para crear una relación trigonométrica:

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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Como el lado desconocido del triángulo es la hipotenusa, y conoces el lado opuesto, debes usar la relación sinusoidal para resolver el problema:

    \(\begin{aligned} sin37^{\circ}&=\dfrac{300}{hypotenuse} \\ hypotenuse&=\dfrac{300}{sin37^{\circ} }\\ hypotenuse &\approx 498.5\end{aligned}\)

    Ha recorrido aproximadamente 498.5 metros arriba del cerro.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Mides seis pies de altura y mide el ángulo entre la horizontal y un pájaro en el cielo para ser 40^ {\ circ}. Se puede ver que la sombra del ave está directamente debajo del ave, y a 200 pies de usted en el suelo. ¿Qué tan alto está el pájaro en el cielo?

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    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Solución

    Podemos usar la función tangente para averiguar qué tan alto está el ave en el cielo:

    \(\begin{aligned} tan40^{\circ} =\dfrac{height}{200} \\ height&=200 tan40^{\circ} \\ height&=(200)(.839) \\height&=167.8\end{aligned}\)

    Luego necesitamos agregar tu altura a la solución para el triángulo. Al medir seis pies de altura, la altura total del ave en el cielo es de 173.8 pies.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Mientras sales a nadar un día ves una moneda en el fondo de la piscina. La piscina tiene diez pies de profundidad, y el ángulo entre la parte superior del agua y la moneda es\(15^{\circ}\). ¿A qué distancia está la moneda de ti a lo largo del fondo de la piscina?

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    Figura\(\PageIndex{9}\)

    Solución

    Dado que la distancia a lo largo del fondo de la piscina a la moneda es la misma que la distancia a lo largo de la parte superior de la piscina a la moneda, podemos usar la función tangente para resolver la distancia a la moneda:

    \(\begin{aligned} tan15^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \\ tan 15^{\circ} =\dfrac{10}{x} \\ x&=\dfrac{10}{tan15^{\circ}} \\ x&\approx 37.32^{\circ}\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Estás haciendo senderismo y llegas a un acantilado al borde de un barranco. A lo lejos se puede ver su campamento en la base del acantilado, al otro lado del barranco. Sabes que la distancia a través del barranco es de 500 metros, y el ángulo entre tu línea de visión horizontal y tu campamento lo es\(25^{\circ}\). ¿Qué tan alto es el acantilado? (Supongamos que mide cinco pies de altura.)

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    Figura\(\PageIndex{10}\)

    Solución

    Usando la información dada, podemos construir una solución:

    \(\begin{aligned} tan 25^{\circ} =\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\\ tan25^{\circ}&=\dfrac{height}{500} \\ height&=\dfrac{500}{tan25^{\circ}}\\ height&=(500)(.466) \\ height&=233\text{ meters}\end{aligned}\)

    Esta es la altura total desde el fondo del barranco hasta su línea de visión horizontal. Por lo tanto, para obtener la altura del barranco, debes quitarte cinco pies por tu altura, lo que da una respuesta de 228 metros.

    Revisar

    1. Un edificio de 70 pies proyecta una sombra de 50 pies. ¿Cuál es el ángulo que el sol golpea el edificio?
    2. Estás parado a 10 pies de distancia de un árbol, y mides el ángulo de elevación a ser\(65^{\circ}\). ¿Qué tan alto es el árbol? Suponga que mide 5 pies de altura hasta los ojos.
    3. Kaitlyn está nadando en el océano y nota un arrecife de coral debajo de ella. El ángulo de depresión es\(35^{\circ}\) y la profundidad del océano, en ese punto es de 350 pies. ¿A qué distancia está ella del arrecife?
    4. El ángulo de depresión desde la parte superior de un edificio hasta la base de un automóvil es\(60^{\circ}\). Si el edificio mide 78 pies de altura, ¿a qué distancia está el auto?
    5. La Torre Inclinada de Pisa actualmente “se inclina” en\(4^{\circ}\) ángulo y tiene una altura vertical de 55.86 metros. ¿Qué altura tenía la torre cuando se construyó originalmente?
    6. El ángulo de depresión desde la parte superior de un edificio de departamentos hasta la base de una fuente en un parque cercano es\(72^{\circ}\). Si el edificio mide 78 pies de altura, ¿a qué distancia está la fuente?
    7. Estás parado a 15 pies de distancia de un árbol, y mides el ángulo de elevación a ser\(35^{\circ}\). ¿Qué tan alto es el árbol? Suponga que mide 5 pies de altura hasta los ojos.
    8. Bill ve un árbol directamente al otro lado del río desde donde está parado. Luego camina 18 pies río arriba y determina que el ángulo entre su posición anterior y el árbol al otro lado del río es\(55^{\circ}\). ¿Qué tan ancho es el río?
    9. Un edificio de 50 pies proyecta una sombra de 50 pies. ¿Cuál es el ángulo que el sol golpea el edificio?
    10. Eric está volando su cometa una tarde y se da cuenta de que ha soltado todo el 100 pies de cuerda. El ángulo que hace su cuerda con el suelo es\(60^{\circ}\). ¿Qué tan alto está su cometa en este momento?
    11. Un árbol alcanzado por un rayo en una tormenta se rompe y cae para formar un triángulo con el suelo. La punta del árbol forma un\(36^{\circ}\) ángulo con el suelo a 25 pies de la base del árbol. ¿Cuál era la altura del árbol al pie más cercano?
    12. Al descender un avión se encuentra a 15,000 pies sobre el suelo. La torre de control de tránsito aéreo mide 200 pies de altura. Se determina que el ángulo de elevación desde la parte superior de la torre hasta el plano es\(15^{\circ}\). A la milla más cercana, encuentra la distancia terrestre desde el avión hasta la torre.
    13. Tara está tratando de determinar el ángulo en el que apuntar su boquilla de aspersión para regar la parte superior de un arbusto de 10 pies en su patio. Suponiendo que el agua toma un camino recto y el aspersor está en el suelo a 4 pies del árbol, ¿en qué ángulo de inclinación debería colocarlo?
    14. A lo largo de 3 millas (horizontal), una carretera se eleva 1000 pies (vertical). ¿Cuál es el ángulo de elevación?
    15. A lo largo de 4 millas (horizontal), una carretera se eleva 1000 pies (vertical). ¿Cuál es el ángulo de elevación?

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.13.

    El vocabulario

    Término Definición
    Ángulo de depresión El ángulo de depresión es el ángulo formado por una línea horizontal y la línea de visión hacia un objeto cuando la imagen de un objeto se encuentra debajo de la línea horizontal.
    Ángulo de elevación El ángulo de elevación es el ángulo formado por una línea horizontal y la línea de visión hasta un objeto cuando la imagen de un objeto se ubica por encima de la línea horizontal.

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