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2.3.6: Funciones trigonométricas y ángulos de rotación

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    Basado en el círculo unitario.

    Has estado trabajando duro en tu clase de matemáticas, y estás llegando a ser bastante experto en funciones trigonométricas. Entonces un día tu amigo, que está un año por delante tuyo en la escuela, se acerca a ti.

    “Entonces, ¿te va bastante bien en matemáticas? ¿Y eres bueno con las funciones trig?” pregunta con una sonrisa.

    “Sí”, respondes con confianza. “Yo lo soy”.

    “Bien, entonces, ¿de qué es el seno\(150^{\circ}\)?” él pregunta.

    “¿Qué? Eso no tiene sentido. Ningún triángulo rectángulo tiene un ángulo así, ¡así que no hay forma de definir esa función!” usted dice.

    Tu amiga se ríe. “Resulta que es muy posible tener funciones trigonométricas de ángulos mayores que”\(90^{\circ}\).

    ¿Tu amigo solo te está haciendo una broma, o lo dice en serio? ¿De verdad puedes calcular\(\sin 150^{\circ}\)?

    Ángulos de rotación y funciones trigonométricas

    Así como es posible definir las seis funciones trigonométricas para ángulos en triángulos rectos, también podemos definir las mismas funciones en términos de ángulos de rotación.

    Considera un ángulo en posición estándar, cuyo lado terminal intersecta un círculo de radio\(r\). Podemos pensar en el radio como la hipotenusa de un triángulo rectángulo:

    F-d_82f2998965afe0ba468ac84e1d2786d86e76386c2974a5896ac05512+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    El punto\((x,y)\) donde el lado terminal del ángulo se cruza con el círculo nos dice las longitudes de las dos patas del triángulo. Ahora, podemos definir las funciones trigonométricas en términos de\(x\)\(y\), y\(r\):

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ cos\ theta &=\ dfrac {x} {r} & &\ seg\ theta=\ dfrac {r} {x}\
    \\ sin\ theta &=\ dfrac {y} {r} & &\ csc\ theta=\ dfrac {r} {y}\
    \\ tan &=\ dfrac ac {y} {x} & &\ cot\ theta=\ dfrac {x} {y}
    \ end {alineado}\)

    Y, podemos extender estas funciones para incluir ángulos no agudos.

    Considere un ángulo en posición estándar, de tal manera que el punto\((x,y)\) en el lado terminal del ángulo sea un punto en un círculo con radio 1.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Este círculo se llama círculo unitario. Con\(r=1\), podemos definir las funciones trigonométricas en el círculo unitario:

    \ (\ begin {array} {lll}
    \ cos\ theta=\ dfrac {x} {r} =\ dfrac {x} {1} =x & &\ seg\ theta=\ dfrac {r} {x} =\ dfrac {1} {x}\\
    \ sin\ theta=\ dfrac {y} {r} = dfrac ac {y} {1} =y & &\ csc\ theta=\ dfrac {r} {y} =\ dfrac {1} {y}\\
    \ tan\ theta=\ dfrac {y} {x} & &\ cuna\ theta=\ dfrac {x} {y}
    \ end {array}\)

    Observe que en el círculo unitario, el seno y el coseno de un ángulo son las\(x\) coordenadas\(y\) y del punto en el lado terminal del ángulo. Ahora podemos encontrar los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo de rotación, incluso los ángulos cuadrangulares, que no son ángulos en triángulos.

    F-D_64eca36dacdf55fe548112606993c6209829b715f77086d1cbc56124+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Podemos usar la figura anterior para determinar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadránticos. Por ejemplo,\(\sin 90^{\circ}=y=1\).

    Determinar el valor de las funciones trigonométricas

    1. Determinar los valores de las seis funciones trigonométricas.

    El punto\((-3, 4)\) es un punto en el lado terminal de un ángulo en posición estándar. Determinar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo.

    Observe que el ángulo es superior a 90 grados, y que el lado terminal del ángulo se encuentra en el segundo cuadrante. Esto influirá en los signos de las funciones trigonométricas.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ begin {alineado}
    \ cos\ theta &=\ dfrac {-3} {5} & &\ seg\ theta=\ dfrac {5} {-3}\
    \\ sin\ theta &=\ dfrac {4} {5} & &\ csc\ theta=\ dfrac {5} {4}\
    \\ tan &=\ dfrac ac {4} {-3} & &\ cot\ theta=\ dfrac {-3} {4}
    \ end {alineado}\)

    Observe que el valor de\(r\) depende de las coordenadas del punto dado. Siempre se puede encontrar el valor de\(r\) usar el Teorema de Pitágoras. Sin embargo, a menudo miramos ángulos en un círculo con radio 1. Como puede ver, hacer esto nos permite simplificar las definiciones de las funciones trigonométricas.

    2. Utilice el círculo de unidades anterior para encontrar el valor de\(\cos 90^{\circ}\)

    \(\cos 90^{\circ}=0\)

    El par ordenado para este ángulo es (0, 1). El valor del coseno es la\(x\) coordenada,.

    3. Utilice el círculo de unidades anterior para encontrar el valor de\(\cot 180^{\circ}\)

    \(\cot 180^{\circ}\)está indefinido

    El par ordenado para este ángulo es (-1, 0). La relación\(\dfrac{x}{y}\) es\(\dfrac{−1}{0}\), que no está definida.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, te preguntaron si realmente puedes calcular\(\sin 150^{\circ}\).

    Solución

    Ya que ahora sabes que es posible aplicar funciones trigonométricas a ángulos mayores que\(90^{\circ}\), puedes calcular el\(\sin 150^{\circ}\). La forma más fácil de hacerlo sin dificultad es considerar que un ángulo de\(150^{\circ}\) está en la misma posición que\(30^{\circ}\), excepto que está en el segundo cuadrante. Esto significa que tiene los mismos valores "\(x\)"” y\(y\) "” que\(30^{\circ}\), excepto que el valor “x” es negativo.

    Por lo tanto,

    \(\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}\)

    Usa esta figura:

    f-d_0e983a6666cad5e220c2fbeed5c8da43d7dfd5ddf8a30c764c04d445+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    para responder a los siguientes ejemplos.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra\(\cos \theta\) en el círculo de arriba.

    Solución

    Podemos ver a partir de los ejes\(x\) ""\(y\) "y"\(x\) "” que la coordenada "\(y\)"” es\(\dfrac{1}{2}\), y la hipotenusa tiene una longitud de 1.\(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Esto significa que la función coseno es:

    \(\cos \theta=\dfrac{\text { adjacent }}{\text { hypotenuse }}=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra\(\cot \theta \) en el círculo de arriba.

    Solución

    Eso lo sabemos\(\cot =\dfrac{1}{\tan }=\dfrac{1}{\dfrac{\text { opposite }}{\text { adjacent }}}=\dfrac{\text { adjacent }}{\text { opposite }}\). El lado adyacente a\ theta en el círculo es\(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) y el lado opuesto es\(\dfrac{1}{2}\). Por lo tanto,

    \(\cot \theta=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=-\sqrt{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra\(\csc\theta \) en el círculo de arriba.

    Solución

    Eso lo sabemos\(\csc =\dfrac{1}{\sin }=\dfrac{1}{\dfrac{\text { opposite }}{\text { hypotenuse }}}=\dfrac{\text { hypotenuse }}{\text { opposite }}\). El lado opuesto a\(\theta\) en el círculo es\(\dfrac{1}{2}\) y la hipotenusa es 1. Por lo tanto,

    \(\csc \theta=\dfrac{\text { hypotenuse }}{\text { opposite }}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)

    Revisar

    Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas para cada ángulo a continuación.

    1. \(0^{\circ}\)
    2. \(90^{\circ}\)
    3. \(180^{\circ}\)
    4. \(270^{\circ}\)
    5. Encuentra el seno de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    6. Encuentra el coseno de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    7. Encuentra la tangente de un ángulo que pasa por el punto\(\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    8. Encuentra la secante de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (−\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\).
    9. Encuentra la cotangente de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (−\dfrac{\sqrt{3}}{2},−\dfrac{1}{2}\right)\).
    10. Encuentra la cosecante de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\).
    11. Encuentra el seno de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (\dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
    12. Encuentra el coseno de un ángulo que atraviesa el punto\(\left (−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\).
    13. El seno de un ángulo en el primer cuadrante es de 0.25. ¿Cuál es el coseno de este ángulo?
    14. El coseno de un ángulo en el primer cuadrante es 0.8. ¿Cuál es el seno de este ángulo?
    15. El seno de un ángulo en el primer cuadrante es 0.15. ¿Cuál es el coseno de este ángulo?

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.17.

    El vocabulario

    Término Definición
    Ángulo Cuadrantal Un ángulo cuadrangular es un ángulo que tiene su lado terminal en una de las cuatro líneas de eje: x positivo, x negativo, y positivo o y negativo.

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