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# 2.4.6: Funciones trigonométricas como expresiones de álgebra

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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Relaciones entre las longitudes de dos lados de un triángulo.

## Trigonometría en Términos de Álgebra

Estás cuidando a tu primo pequeño mientras haces tus deberes. Mientras trabajas en tus funciones trigonométricas, tu primo te pregunta qué estás haciendo. Al intentar explicar seno, coseno y tangente, tu primo está muy confundido. Ella no entiende lo que quieres decir con esas palabras, pero realmente quiere entender lo que significan las funciones. ¿Puedes definir las funciones trigonométricas en términos de las relaciones de lados para tu primo pequeño?

### Resolución de funciones trigonométricas

Todas las funciones trigonométricas se pueden reescribir en términos de solo$$x$$, cuando se utiliza una de las funciones trigonométricas inversas.

Comenzando con tangente, dibujamos un triángulo donde el lado opuesto (de$$\theta$$) se define como$$x$$ y el lado adyacente es 1. La hipotenusa, del Teorema de Pitágoras sería$$\sqrt{x^2+1}$$. Sustituyendo$$\tan^{-1} x$$ por$$\theta$$, obtenemos:

\ tan\ theta &=\ dfrac {x} {1}\\
\ tan\ theta &=x\ quad\ texto {hipotenusa} =\ sqrt {x^ {2} +1}\\
\ theta &=\ tan ^ {-1} x

\ (\ begin {array} {ll}
\ sin\ izquierda (\ tan ^ {-1} x\ derecha) =\ sin\ theta=\ dfrac {x} {\ sqrt {x^ {2} +1}} &\ csc\ izquierda (\ tan ^ {-1} x\ derecha) =\ csc\ theta=\ dfrac {\ sqrt {x^ {2}}} {x}\
\ cos\ izquierda (\ tan ^ {-1} x\ derecha) =\ cos\ theta=\ dfrac {1} {\ sqrt {x^ {2} +1}} &\ seg\ izquierda (\ tan ^ {-1} x\ derecha) =\ seg\ theta =\ sqrt {x^ {2} +1}\\
\\ tan\ izquierda (\ tan ^ {-1} x\ derecha) =\ tan\ theta=x &\ cot\ izquierda (\ tan ^ {-1} x\ derecha) =\ cuna\ theta=\ dfrac {1} {x}
\ end {array}\)

#### Simplificación de las funciones trigonométricas

1. Encuentra$$\sin(\tan^{-1}3x)$$.

En lugar de usar$$x$$ en las proporciones anteriores, use$$3x$$.

$$\sin(\tan^{-1}3x)=\sin \theta =\dfrac{3x}{\sqrt{(3x)^2+1}}=\dfrac{3x}{\sqrt{9x^2+1}}$$

2. Encuentra$$\sec^2(\tan^{-1}x)$$.

Este problema podría escribirse mejor como$$[\sec(\tan^{-1}x)]^2$$. Por lo tanto, todo lo que necesitas hacer es cuadrar la relación anterior.

$$[\sec(\tan^{-1}x)]^2=(\sqrt{x^2+1})^2=x^2+1$$

También puedes escribir todas las funciones trigonométricas en términos de arcsine y arccosine. Sin embargo, para cada función inversa, hay un triángulo diferente. Derivarás estas fórmulas en el ejercicio de esta sección.

3. Encuentra$$\csc^3(\tan^{-1}4x)$$.

Este problema es similar al #1 y #2 anteriores. Primero, use$$4x$$ en lugar de$$x$$ en las proporciones anteriores. Segundo, el$$csc^3$$ es lo mismo que tomar la función csc y cubicarlo.

$$[\csc(\tan^{-1}4x)]^3=\left(\dfrac{\sqrt{(4x)^2+1}}{4x}\right)^3=\dfrac{(16x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{64x^3}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Anteriormente, te preguntaron si puedes definir las funciones trigonométricas en términos de la relación de lados.

Solución

Resulta que es muy fácil explicar las funciones trigonométricas en términos de proporciones. Si nos fijamos en el círculo de la unidad

se puede ver que cada función trigonométrica se puede representar como una relación de dos lados. El valor de cualquier función trigonométrica se puede representar como la longitud de uno de los lados del triángulo (mostrado con dos lados rojos y la hipotenusa negra) dividido por la longitud de uno de los otros lados. De hecho, deberías explicarle a tu primo, las palabras como “seno”, “coseno” y “tangente” son solo conveniencias en este caso para describir relaciones que siguen surgiendo una y otra vez. Sería posible simplemente describir las funciones trigonométricas en términos de relaciones de un lado a otro, si así lo deseas.

Usando los lados de un triángulo hecho en el círculo unitario, si el lado opuesto al ángulo se llama "$$x$$“:

\ sin &=\ dfrac {\ texto {opuesto}} {\ texto {hipotenusa}} =\ dfrac {x} {\ sqrt {x^ {2} +1}}\\
\ cos &=\ dfrac {\ texto {adyacente}} {\ text {hipotenusa}} =\ dfrac {1} {\ sqrt {x^ {2} +1}}\\
\ tan &=\ dfrac {\ texto {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ dfrac {x} {1}

Entonces, como puedes ver, ya que las funciones trigonométricas son realmente solo relaciones entre lados, es posible trabajar con ellas en la forma que quieras; ya sea en términos de los habituales “seno”, “coseno” y “tangente”, o en términos de álgebra.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Expresar$$\cos^2(\tan^{−1} x)$$ como expresión algebraica que no implica funciones trigonométricas.

Solución

$$\dfrac{1}{x^2+1}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Expresar$$\cot(\tan^{−1}x^2)$$ como expresión algebraica que no implica funciones trigonométricas.

Solución

$$\dfrac{1}{x^2}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Para encontrar funciones trigonométricas en términos de sinusoidal inversa, utilice el siguiente triángulo.

Solución

Determinar el seno, coseno y tangente en términos de arcoseno. Encuentra$$\tan(\sin^{−1}2x^3)$$.

El lado adyacente a$$\theta$$ es$$\sqrt{1−x^2}$$, por lo que las tres funciones trigonométricas son:

\ sin\ izquierda (\ sin ^ {-1} x\ derecha) &=\ sin\ theta=x\\
\ cos\ izquierda (\ sin ^ {-1} x\ derecha) &=\ cos\ theta=\ sqrt {1-x^ {2}}\\
\ tan\ izquierda (\ sin ^ {-1} x\ derecha) &=\ tan\ theta=\ dfrac {x} {\ sqrt {1-x^ {2}}}\\
\ tan\ izquierda (\ sin ^ {-1}\ izquierda (2 x^ {3}\ derecha )\ derecha) &=\ dfrac {2 x^ {3}} {\ sqrt {1-\ izquierda (2 x^ {3}\ derecha) ^ {2}}} =\ dfrac {2 x^ {3}} {\ sqrt {1-4 x^ {6}}}

### Revisar

Reescribir cada expresión como una expresión algebraica sin funciones trigonométricas.

1. $$\sin(\tan^{-1}5x)$$
2. $$\cos(\tan^{-1}2x^2)$$
3. $$\cot(\tan^{-1}3x^2)$$
4. $$\sin(\cos^{-1}x)$$
5. $$\sin(\cos^{-1}3x)$$
6. $$\cos(\sin^{-1}2x^2)$$
7. $$\csc(\cos^{-1}x)$$
8. $$\sec(\sin^{-1}x)$$
9. $$\cos2(\tan^{-1}3x^2)$$
10. $$\sin(\sec^{-1}x)$$
11. $$\cos(\csc−1x)$$
12. $$\sin(\tan^{-1}2x^3)$$
13. $$\cos(\sin^{-1}3x)$$
14. $$\sin(\sec^{-1}x)$$
15. $$\cos(\cot^{-1}x)$$

### Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.9.

## El vocabulario

Término Definición
Función trigonométrica Una función trigonométrica es una función de un ángulo que describe la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo. Ejemplos de funciones trigonométricas son seno, coseno y tangente.
Funciones trigonométricas Una función trigonométrica es una función de un ángulo que describe la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo. Ejemplos de funciones trigonométricas son seno, coseno y tangente.