2.6.2: Traducción de funciones de seno y coseno
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Explore cómo los cambios en las ecuaciones de las funciones seno y coseno afectan las gráficas de las funciones a través de transformaciones (estiramientos y desplazamientos).
Calentamiento
Seno y coseno son funciones que muestran un comportamiento periódico cuando se grafica. Utilice el interactivo a continuación para cambiar la amplitud de seno y coseno y alterar sus gráficas. Más adelante en esta sección verás cómo alterar estas gráficas vía transformación.
Agrega texto de elemento interactivo aquí. Esta caja NO se imprimirá en pdf
Resuértelo 1
Se ha visto que las funciones lineales, cuadráticas e incluso exponenciales y logarítmicas experimentan transformaciones para estirarlas y desplazarlas. ¿Cómo podría comportarse la gráfica de una función periódica bajo este tipo de transformaciones? Explore esta pregunta usando el interactivo a continuación.
Agrega texto de elemento interactivo aquí. Esta caja NO se imprimirá en pdf
La ecuación general para una curva sinusoidal es:\(y=A\sin (w(x−h))+k\). En esta ecuación, A representa la amplitud. ¿Cómo afecta el cambio del valor de la amplitud a la gráfica de una función sinusoidal? Comience por esbozar una gráfica de la función sinusoidal\(y=\sin (x)\). Luego elija varios valores diferentes para A, incluidos los valores positivos y negativos, los números cierran 0 y 0 en sí, y grafica esas ecuaciones también. ¿Qué pasa con tu gráfica a medida que cambia la amplitud?
Discusión
Estas son las gráficas de\(y=\sin (x)\) (rojo) y\(y=2\sin (x)\) (verde). ¿Qué impacto tuvo el cambio de A de 1 a 2 en la gráfica? Predecir cómo se vería la gráfica cuando\(A=−2\), y luego grafica la función. ¿Cómo compararías las gráficas de\(y=2\sin (x)\) y\(y=−2\sin (x)\)? En otras palabras, ¿cambia la amplitud cuando A es un número positivo vs. un número negativo? ¿Qué generalizaciones puedes hacer sobre la relación entre el valor absoluto de A y la amplitud?
¿Qué generalizaciones puedes hacer sobre la relación entre el valor absoluto de A y la amplitud?
Determine la ecuación para la gráfica a continuación. La escala del eje x está en grados.
Solución
La gráfica es la inversa de una función sinusoidal básica, lo que significa que\(A\) es un número negativo. La amplitud de la gráfica está en\(y=−5\) y\(y=+5\), o en otras palabras, los valores mínimo y máximo en la gráfica están a 5 de la línea media. Por lo tanto, la ecuación es\(y=−5\sin (x)\).
Resuértelo 2
Así como lo hiciste en el anterior Aprendizaje Activo, empieza por graficar\(y=\sin (x)\). Luego experimenta con diferentes valores para h incluyendo valores positivos y negativos, y valores cercanos a 0. ¿Cómo impactan estos diferentes valores para h en la gráfica?
Discusión
Recordemos que la expresión para una curva sinusoidal es\(y=A\sin (w(x−h))+k\). Por lo tanto, cuando\(h\) tiene un valor positivo, se restará de x. La h representa el desplazamiento de fase de la función. ¿Cómo se ve afectada la gráfica de manera diferente por los cambios de fase positivos y negativos? ¿Se puede crear una ecuación con un desplazamiento de fase distinto de cero que se vería igual cuando se grafica como la ecuación\(y=\sin (x)\)?
Gráfica\(y=\cos \left(x−\dfrac{\pi }{4}\right)\)
Solución
Esta función se desplazará\(\dfrac{\pi }{4}\) unidades a la derecha. La forma más fácil de esbozar la curva es comenzar con la gráfica padre y luego moverla hacia la derecha el número correcto de unidades.
Resuértelo 3
Usa el mismo proceso que el anterior para explorar cómo se impacta una curva sinusoidal cuando cambias el valor de k, que también se llama la línea media o el eje sinusoidal. Elija varios valores diferentes para k, incluyendo valores positivos y negativos, para ver cómo k afecta a la gráfica.
Discusión
La gráfica padre de\(y=\sin (x)\) se desplaza hacia arriba o hacia abajo en la gráfica a medida que k cambia. Es decir, la gráfica es\(k\) unidades traducidas. Si\(k=1\), ¿la gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo? ¿Y si\(k=−1\)?
Resuértelo 4
¿Cómo se ve impactada la gráfica padre de la curva sinusoidal al cambiar el valor de\(w\), la frecuencia? ¿Qué pasa si\(w\) es un número positivo\(v\). un número negativo? Predecir lo que sucede si\(w\) (la frecuencia) se cambia a valores tanto positivos como negativos, así como valores entre 0 y 1, y valores mayores que 1.
Discusión
La frecuencia describe el número de ciclos de la gráfica entre\(0^{\circ}\) y\(360^{\circ}\), o entre\(\pi\) y\(2\pi \). Cuando la frecuencia es 2, hay dos ciclos dentro de este rango.
Trabaje 5: Transformando el gráfico de las funciones sinusoidales
Experimenta con estos PLIX para ver la relación entre la función sinusoidal y su gráfica.
CK-12 INTERACTIVOS
Graficar funciones sinusoidales traducidas
Sin usar una calculadora gráfica, dibuje el gráfico de una función sinusoidal donde\(A=3\),\(\dfrac{\pi }{2}\), \(w=2\), y la línea media es 4.
Solución
Comience escribiendo una ecuación con los valores dados anteriormente:
\(y=3\sin \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)+4\)
Será útil comenzar con la gráfica padre y traducirla paso a paso. Esta es la gráfica de la función\(y=\sin (x) \)
La gráfica de y = sin x
Ahora ajusta el desplazamiento de fase de la función, que desplaza la gráfica hacia la izquierda por\(\dfrac{\pi }{2}\) o\(90^{\circ}\). El gráfico azul a continuación es de la función\(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\).
Las gráficas y = sin x (naranja) y\(y = \sin \left(x- \dfrac{\pi}{2}\right)\) (azul)
Ahora ajusta la línea media de la función. La ubicación de la línea media se ve impactada por el valor de k. En este ejemplo,\(k = 4\), que desplaza la gráfica hacia arriba en 4 unidades en el eje y. La gráfica púrpura a continuación es de la función\(y=\sin (x−\dfrac{\pi }{2})+4\).
Las gráficas\(y = \sin \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\) (azul) y\(y = \sin \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)+4\) (púrpura)
Siguiente ajustar la amplitud de la función. La amplitud de la gráfica púrpura es 1, pero la nueva ecuación tiene una amplitud de 3, por lo que la distancia entre la línea media (que ahora está en\(y = 4\)) y los valores y máximo y mínimo debe ser 3. Por lo tanto, los valores máximo y mínimo deben estar en\(y = 1\) y\(y = 7\). La gráfica verde a continuación es para la ecuación:\(y=3\sin \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)+4\).
Las gráficas\(y = \sin \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)+4\) (púrpura) y\(y = 3\sin \left(x- \dfrac{\pi}{2}\right)+4\) (verde)
Por último, es necesario ajustar la frecuencia de la gráfica. Debido a que el valor de\(w = 2\), la gráfica necesita pasar por 2 ciclos completos entre\(0^{\circ}\) y\(360^{\circ}\) o entre 0 y\(2\pi \). El gráfico rojo a continuación es de la función\(y=3\sin \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)+4\).
El gráfico rojo es de la función\(y=3\sin \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)+4\).
Determinación de una ecuación trigonométrica a partir de una gráfica padre transformada
Encuentra la ecuación de la curva coseno a continuación.
Solución
La gráfica padre está en verde (abajo). Se mueve hacia arriba 3 unidades (rojo) y luego a la derecha 3\ pi 4 unidades (azul). Por lo tanto, la ecuación es\(y=\cos \left(x−\dfrac{3\pi }{4}\right)+3\).
Si moviste la curva coseno hacia atrás, entonces la ecuación sería\(y=\cos \left(x+\dfrac{5\pi }{4}\right)+3\).
Revisar
Para las preguntas 1-4, haga coincidir la ecuación con su gráfica.
Coincidir la Ecuación con la Gráfica.
- \(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\)
- \(y=\cos \left(x−\dfrac{\pi }{4}\right)+3\)
- \(y=\cos \left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)−2\)
- \(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi }{4}\right)+2\)
¿Qué gráfica anterior también representa estas ecuaciones en #5 y #6?
- \(y=\cos \left(x−\pi \right)\)
- \(y=\sin \left(x+\dfrac{3\pi }{4}\right)−2\)
- Escribe otra ecuación sinusoidal para la gráfica A.
- Escritura: ¿Cuántas ecuaciones de seno (o coseno) se pueden generar para una curva? ¿Por qué?
Para las preguntas 9 a 14, graficar las siguientes ecuaciones de\([−2\pi , 2\pi ]\).
- \(y=2\sin \left(x+\pi 4\right)\)
- \(y=1+\cos x\)
- \(y=\cos \left(x+\pi \right)−2\)
- \(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi}{6} \right)\)
- \(y=\cos \left(3(x−1)\right)−3\)
- Pensamiento Crítico: ¿Hay alguna diferencia entre\(y=\sin x+1\) y\(y=\sin (x+1)\)? Explica tu respuesta.