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2.7.2: Gráficas tangentes

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    107660
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ajustar la longitud de la curva, o la distancia antes de que se repitan los valores y, desde\(2\pi\).

    Tu misión, en caso de que decidas aceptarla, ya que Trigonometría Agente es encontrar el periodo y los ceros de la función\(y=\dfrac{1}{2}\tan 4x\).

    Gráfica de una función tangente

    El gráfico de la función tangente es muy diferente de las funciones seno y coseno. Primero, recordemos que la relación tangente es\(\tan \theta =\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\). En radianes, la coordenada para la función tangente sería\((\theta ,\tan \theta )\)

    \ (\ begin {array} {lllllllll} x &\ theta & 0 &\ dfrac {\ pi} {6} &\ dfrac {\ pi} {4} &\ dfrac {\ pi} {3}\ dfrac {\ pi} {2} &\ dfrac {2\ pi} {3} &\ dfrac {3\ pi} {4} &\ dfrac {3\ pi} {6} &\ pi\\
    y &\ tan\ theta &0 &\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &1 &\ sqrt {3}\;\ text {und.} & -\ sqrt {3} &-1 &-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &0\ end {array}\)

    Después\(\pi \), los valores y se repiten, haciendo que la función tangente sea periódica con un punto de\(\pi \).

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    La porción roja de la gráfica representa las coordenadas de la tabla anterior. Repitiendo esta porción, obtenemos toda la gráfica tangente. Observe que hay asíntotas verticales en\(x=−\dfrac{3\pi }{2}\),\(−\dfrac{\pi }{2}\),\(\dfrac{\pi }{2}\) y\(\dfrac{3\pi }{2}\). Si tuviéramos que extender la gráfica en cualquier dirección, seguiría habiendo asíntotas verticales en los múltiplos impares de\ pi 2. Por lo tanto, el dominio es todo números reales\(x\neq n\pi \pm \dfrac{\pi }{2}\),, donde\(n\) es un entero. El rango serían todos números reales. Al igual que con las funciones de seno y coseno, puede cambiar la amplitud, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical.

    La forma estándar de la ecuación es\(y=a\tan b(x−h)+k\) donde\(a\),\(b\),\(h\), y\(k\) son las mismas que para las otras funciones trigonométricas. Por simplicidad, no abordaremos los desplazamientos de fase (k) en este concepto.

    Gráfiquemos\(y=3\tan x+1\) desde\([−2\pi ,2\pi ]\) y indiquemos el dominio y el rango.

    Primero, la amplitud es 3, lo que significa que cada valor y se triplicará. Entonces, desplazaremos la función hacia arriba una unidad.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Observe que las asíntotas verticales no cambiaron. El periodo de esta función sigue siendo\(\pi \). Por lo tanto, si cambiáramos el período de una función tangente, usaríamos una fórmula diferente a la que usamos para seno y coseno. Para cambiar el período de una función tangente, utilice la fórmula\(\dfrac{\pi }{\mid b\mid }\).

    El dominio serán todos números reales, excepto donde se presenten las asíntotas. Por lo tanto, el dominio de esta función será\(x\in R\),\(x\not\in n\pi \pm \dfrac{\pi }{2}\). El rango es todo números reales.

    Ahora, graficemos\(y=−\tan 2\pi\) desde\([0,2\pi ]\), indiquemos el dominio y el rango, y encontremos todos los ceros dentro de este dominio.

    El periodo de esta función tangente será\(\dfrac{\pi }{2}\) y las curvas se reflejarán sobre el eje x.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    El dominio es todo números reales,\(x\not\in \dfrac{\pi }{4}, \dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}, \dfrac{\pi }{4} \pm \dfrac{\pi }{2}n\) donde\(n\) está cualquier entero. El rango es todo números reales. Para encontrar los ceros, establecer\(y=0\).

    \ (\ begin {alineado}
    0 &=-\ tan 2 x\\
    0 &=\ tan 2 x\\
    2 x &=\ tan ^ {-1} 0=0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi, 4\ pi\\
    x &=0,\ dfrac {\ pi} {2},\ pi,\ dfrac {3\ pi} {2}, 2\ pi
    \ fin {alineado}\)

    Por último, graficemos\([0,4\pi ]\) y\(y=\dfrac{1}{4}\tan \dfrac{1}{4}x\) indiquemos el dominio y el rango.

    Esta función tiene un periodo de\(\dfrac{\pi }{\dfrac{1}{4}}=4\pi \). El dominio es todo números reales, excepto\(2\pi ,\; 6\pi ,\; 10\pi ,\; 2\pi \pm 4\pi n\), donde\(n\) está cualquier entero. El rango es todo números reales.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le pidió que encontrara el periodo y ceros de la función\(y=\dfrac{1}{2}\tan 4x\).

    Solución

    El periodo es\(\dfrac{\pi }{4}\).

    Los ceros son donde y es cero.

    \ (\ begin {alineado}
    0&=\ dfrac {1} {2}\ tan 4 x\\
    0 &=\ tan 4 x\\
    4 x &=\ tan ^ {-1} 0=0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi\\
    x &=\ dfrac {1} {4} (0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi)\
    x &=0,\ dfrac {\ pi} {4},\ dfrac {\ pi} {2},\ dfrac {3} {4}\ pi
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el periodo de la función\(y=−4\tan \dfrac{3}{2}x\).

    Solución

    El periodo es\(\dfrac{\pi }{\dfrac{3}{2}}=\pi \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\pi }{3}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra los ceros de la función del Ejemplo 2, de\([0,2\pi ]\).

    Solución

    Los ceros son donde y es cero.

    \ (\ begin {alineado}
    0 &=-4\ tan\ dfrac {3} {2} x\\
    0 &=\ tan\ dfrac {3} {2} {2} x
    \\ dfrac {3} {2} x &=\ tan ^ {-1} 0=0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi\\
    x &=\ dfrac {2} {3} (0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi)\\
    x &=0,\ dfrac {2\ pi} {3},\ dfrac {4\ pi} {3}, 2\ pi
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra la ecuación de la función tangente con una amplitud de 8 y un periodo de\(6\pi \).

    Solución

    La ecuación general es\(y=a\tan bx\). Eso lo sabemos\(a=8\). Usemos el periodo para resolver por la frecuencia, o\(b\).

    \(\begin{aligned} \dfrac{\pi }{b}&=6\pi \\ b&=\dfrac{\pi }{6\pi }=\dfrac{1}{6}\end{aligned}\)

    La ecuación es\(y=8\tan \dfrac{1}{6}x\).

    Revisar

    Grafique las siguientes funciones tangentes sobre\([0,4\pi ]\). Determinar el periodo, el dominio y el rango.

    1. \(y=2\tan x\)
    2. \(y=−\dfrac{1}{3}\tan x\)
    3. \(y=−\tan 3x\)
    4. \(y=4\tan 2x\)
    5. \(y=\dfrac{1}{2}\tan 4x\)
    6. \(y=−\tan \dfrac{1}{2}x\)
    7. \(y=4+\tan x\)
    8. \(y=−3+\tan 3x\)
    9. \(y=1+\dfrac{2}{3}\tan \dfrac{1}{2}x\)
    10. Encuentra los ceros de la función de #1.
    11. Encuentra los ceros de la función de #3.
    12. Encuentra los ceros de la función de #5.

    Escribe la ecuación de la función tangente, en la forma\(y=a\tan bx\), con la amplitud y periodo dados.

    1. Amplitud: 3 Periodo:\(\dfrac{3\pi }{2}\)
    2. Amplitud:\(\dfrac{1}{4}\) Periodo:\(2\pi\)
    3. Amplitud: -2.5 Periodo: 8
    4. Gráfico de desafío\(y=2\tan \dfrac{1}{3}\left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)−1\) terminado\([0,6\pi ]\). Determinar el dominio y el periodo.

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.5.

    Recurso Adicional

    Elemento Interactivo

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