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# 2.7.2: Gráficas tangentes

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Ajustar la longitud de la curva, o la distancia antes de que se repitan los valores y, desde$$2\pi$$.

Tu misión, en caso de que decidas aceptarla, ya que Trigonometría Agente es encontrar el periodo y los ceros de la función$$y=\dfrac{1}{2}\tan 4x$$.

### Gráfica de una función tangente

El gráfico de la función tangente es muy diferente de las funciones seno y coseno. Primero, recordemos que la relación tangente es$$\tan \theta =\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$. En radianes, la coordenada para la función tangente sería$$(\theta ,\tan \theta )$$

\ (\ begin {array} {lllllllll} x &\ theta & 0 &\ dfrac {\ pi} {6} &\ dfrac {\ pi} {4} &\ dfrac {\ pi} {3}\ dfrac {\ pi} {2} &\ dfrac {2\ pi} {3} &\ dfrac {3\ pi} {4} &\ dfrac {3\ pi} {6} &\ pi\\
y &\ tan\ theta &0 &\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &1 &\ sqrt {3}\;\ text {und.} & -\ sqrt {3} &-1 &-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &0\ end {array}\)

Después$$\pi$$, los valores y se repiten, haciendo que la función tangente sea periódica con un punto de$$\pi$$.

La porción roja de la gráfica representa las coordenadas de la tabla anterior. Repitiendo esta porción, obtenemos toda la gráfica tangente. Observe que hay asíntotas verticales en$$x=−\dfrac{3\pi }{2}$$,$$−\dfrac{\pi }{2}$$,$$\dfrac{\pi }{2}$$ y$$\dfrac{3\pi }{2}$$. Si tuviéramos que extender la gráfica en cualquier dirección, seguiría habiendo asíntotas verticales en los múltiplos impares de\ pi 2. Por lo tanto, el dominio es todo números reales$$x\neq n\pi \pm \dfrac{\pi }{2}$$,, donde$$n$$ es un entero. El rango serían todos números reales. Al igual que con las funciones de seno y coseno, puede cambiar la amplitud, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical.

La forma estándar de la ecuación es$$y=a\tan b(x−h)+k$$ donde$$a$$,$$b$$,$$h$$, y$$k$$ son las mismas que para las otras funciones trigonométricas. Por simplicidad, no abordaremos los desplazamientos de fase (k) en este concepto.

Gráfiquemos$$y=3\tan x+1$$ desde$$[−2\pi ,2\pi ]$$ y indiquemos el dominio y el rango.

Primero, la amplitud es 3, lo que significa que cada valor y se triplicará. Entonces, desplazaremos la función hacia arriba una unidad.

Observe que las asíntotas verticales no cambiaron. El periodo de esta función sigue siendo$$\pi$$. Por lo tanto, si cambiáramos el período de una función tangente, usaríamos una fórmula diferente a la que usamos para seno y coseno. Para cambiar el período de una función tangente, utilice la fórmula$$\dfrac{\pi }{\mid b\mid }$$.

El dominio serán todos números reales, excepto donde se presenten las asíntotas. Por lo tanto, el dominio de esta función será$$x\in R$$,$$x\not\in n\pi \pm \dfrac{\pi }{2}$$. El rango es todo números reales.

Ahora, graficemos$$y=−\tan 2\pi$$ desde$$[0,2\pi ]$$, indiquemos el dominio y el rango, y encontremos todos los ceros dentro de este dominio.

El periodo de esta función tangente será$$\dfrac{\pi }{2}$$ y las curvas se reflejarán sobre el eje x.

El dominio es todo números reales,$$x\not\in \dfrac{\pi }{4}, \dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}, \dfrac{\pi }{4} \pm \dfrac{\pi }{2}n$$ donde$$n$$ está cualquier entero. El rango es todo números reales. Para encontrar los ceros, establecer$$y=0$$.

0 &=-\ tan 2 x\\
0 &=\ tan 2 x\\
2 x &=\ tan ^ {-1} 0=0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi, 4\ pi\\
x &=0,\ dfrac {\ pi} {2},\ pi,\ dfrac {3\ pi} {2}, 2\ pi

Por último, graficemos$$[0,4\pi ]$$ y$$y=\dfrac{1}{4}\tan \dfrac{1}{4}x$$ indiquemos el dominio y el rango.

Esta función tiene un periodo de$$\dfrac{\pi }{\dfrac{1}{4}}=4\pi$$. El dominio es todo números reales, excepto$$2\pi ,\; 6\pi ,\; 10\pi ,\; 2\pi \pm 4\pi n$$, donde$$n$$ está cualquier entero. El rango es todo números reales.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Anteriormente, se le pidió que encontrara el periodo y ceros de la función$$y=\dfrac{1}{2}\tan 4x$$.

Solución

El periodo es$$\dfrac{\pi }{4}$$.

Los ceros son donde y es cero.

0&=\ dfrac {1} {2}\ tan 4 x\\
0 &=\ tan 4 x\\
4 x &=\ tan ^ {-1} 0=0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi\\
x &=\ dfrac {1} {4} (0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi)\
x &=0,\ dfrac {\ pi} {4},\ dfrac {\ pi} {2},\ dfrac {3} {4}\ pi

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encuentra el periodo de la función$$y=−4\tan \dfrac{3}{2}x$$.

Solución

El periodo es$$\dfrac{\pi }{\dfrac{3}{2}}=\pi \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\pi }{3}$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Encuentra los ceros de la función del Ejemplo 2, de$$[0,2\pi ]$$.

Solución

Los ceros son donde y es cero.

0 &=-4\ tan\ dfrac {3} {2} x\\
0 &=\ tan\ dfrac {3} {2} {2} x
\\ dfrac {3} {2} x &=\ tan ^ {-1} 0=0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi\\
x &=\ dfrac {2} {3} (0,\ pi, 2\ pi, 3\ pi)\\
x &=0,\ dfrac {2\ pi} {3},\ dfrac {4\ pi} {3}, 2\ pi

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Encuentra la ecuación de la función tangente con una amplitud de 8 y un periodo de$$6\pi$$.

Solución

La ecuación general es$$y=a\tan bx$$. Eso lo sabemos$$a=8$$. Usemos el periodo para resolver por la frecuencia, o$$b$$.

\begin{aligned} \dfrac{\pi }{b}&=6\pi \\ b&=\dfrac{\pi }{6\pi }=\dfrac{1}{6}\end{aligned}

La ecuación es$$y=8\tan \dfrac{1}{6}x$$.

### Revisar

Grafique las siguientes funciones tangentes sobre$$[0,4\pi ]$$. Determinar el periodo, el dominio y el rango.

1. $$y=2\tan x$$
2. $$y=−\dfrac{1}{3}\tan x$$
3. $$y=−\tan 3x$$
4. $$y=4\tan 2x$$
5. $$y=\dfrac{1}{2}\tan 4x$$
6. $$y=−\tan \dfrac{1}{2}x$$
7. $$y=4+\tan x$$
8. $$y=−3+\tan 3x$$
9. $$y=1+\dfrac{2}{3}\tan \dfrac{1}{2}x$$
10. Encuentra los ceros de la función de #1.
11. Encuentra los ceros de la función de #3.
12. Encuentra los ceros de la función de #5.

Escribe la ecuación de la función tangente, en la forma$$y=a\tan bx$$, con la amplitud y periodo dados.

1. Amplitud: 3 Periodo:$$\dfrac{3\pi }{2}$$
2. Amplitud:$$\dfrac{1}{4}$$ Periodo:$$2\pi$$
3. Amplitud: -2.5 Periodo: 8
4. Gráfico de desafío$$y=2\tan \dfrac{1}{3}\left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)−1$$ terminado$$[0,6\pi ]$$. Determinar el dominio y el periodo.

### Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.5.