2.7.5: Gráficas de Coseno y Secante
- Page ID
- 107654
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Onda basada en el valor x y el radio de un círculo; gráfica basada en el recíproco.
Imagina por un momento que tienes un reloj que tiene una sola mano, ¡que gira en sentido antihorario!. No obstante, la mano es muy delgada hasta la punta, donde hay una bola al final. De hecho, la mano es tan delgada que no la notarás. Solo notas la bola en el extremo de la mano giratoria. Esta mano está girando más rápido de lo normal.
Considera cómo sería si pones una luz por encima del reloj y dejas que la sombra de las manecillas caiga sobre la pared debajo del reloj. ¿Qué patrón trazaría esa sombra? Si lo piensas, podrías darte cuenta de que la sombra haría un movimiento de izquierda y derecha, una y otra vez a medida que giraba la manecilla del reloj. Ahora imagina que en lugar de una pared, había un gran trozo de papel para que cayera la sombra. Y donde quiera que cayera la sombra, habría una marca en el papel. Por último, imagínese mover el papel a medida que gira el reloj. ¿Te imaginas una especie de patrón que esto trazaría?
Gráficas de Coseno y Secante
Si has leído otras secciones de Trigonometría en este curso, es posible que hayas aprendido que el seno y el coseno están muy estrechamente relacionados. El coseno de un ángulo es el mismo que el seno de su ángulo complementario. Entonces, no debería sorprender que las ondas sinusoidales y cosenoidales sean muy similares en que ambas son periódicas con un periodo de\(2\pi \), un rango de -1 a 1, y un dominio de todos los ángulos reales.
El coseno de un ángulo es la relación de\(\dfrac{x}{r}\), así que en el círculo unitario, el coseno es la coordenada x del punto de rotación. Si trazamos la coordenada x a través de una rotación, observe el cambio en la distancia de\(\cos x\) inicios en uno. La coordenada x en\(0^{\circ}\) es 1 y la coordenada x para\(90^{\circ}\) es 0, por lo que el valor del coseno disminuye de 1 a 0 hasta el primer cuadrante.
Aquí hay una secuencia de rotaciones. Compare la coordenada x− del punto de rotación con la altura del punto a medida que se traza a lo largo de la horizontal. Estas imágenes se trazan\((\theta ,\cos \theta )\) en el plano de coordenadas como\((x,y)\).
Trazando los ángulos del cuadrante y rellenando los valores intermedios muestra la gráfica de\(y=\cos x\)
La gráfica de\(y=\cos x\) tiene un periodo de\(2\pi \). El rango de una curva coseno es\({−1\leq y\leq 1}\) y el dominio de\(\cos x\) es todos reales. Si has estudiado la función sinusoidal, puedes notar que la forma de la curva es exactamente la misma, pero desplazada por\(\dfrac{\pi }{2}\).
Secante es el recíproco del coseno, o\(\dfrac{1}{x}\). Por lo tanto, siempre que el coseno sea cero, la secante va a tener una asíntota vertical porque quedará indefinida. También tiene el mismo signo que la función coseno en los mismos cuadrantes. Aquí está la gráfica.
El periodo de la función es\(2\pi \), al igual que el coseno. El dominio de la función es todos los números reales, excepto los múltiplos de\(\pi \) comenzar en\(\dfrac{\pi }{2} \cdot \left\{\ldots, −\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}, 0, \dfrac{3\pi }{2}, \dfrac{5 \pi }{2} \ldots \right\}\). El rango es todos los números reales mayores o iguales a 1 así como todos los números reales menores o iguales a -1. Observe que el rango es todo excepto donde se define el coseno (que no sean las partes superiores e inferiores de la curva del coseno).
Observe nuevamente las relaciones recíprocas en 0 y las asíntotas. También observe los puntos de intersección de las gráficas en 1 y -1. Nuevamente, esta gráfica parece parabólica, pero no lo es.
Esbozar la gráfica
Esboce una gráfica de\(h(x)=5+\dfrac{1}{2}\sec 4x\) sobre el intervalo\([0,2\pi ]\).
Si compara este ejemplo con\(f(x)=\sec x\), se traducirá 5 unidades hacia arriba, con una amplitud de\(\dfrac{1}{2}\) y una frecuencia de 4. Esto significa que en nuestro intervalo de 0 a\(2\pi \), habrá 4 curvas secantes.
Encuentra la ecuación para la gráfica a continuación.
En primer lugar, esto podría ser una función secante o cosecante. Digamos que esta es una función secante. La secante generalmente cruza el eje y en (0,1) como mínimo. Ahora, ese mínimo correspondiente es\(\left(\dfrac{\pi }{2},−2\right)\). Debido a que no hay cambio de amplitud, podemos decir que el desplazamiento vertical es la diferencia entre los dos valores y−3. Parece que hay un cambio de fase y un cambio de periodo. De mínimo a mínimo es un periodo, que es\(\dfrac{9 \pi }{2}−\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{8\pi }{2}=4\pi \) y\(B=\dfrac{2\pi }{4\pi} =\dfrac{1}{2}\). Por último, necesitamos encontrar el desplazamiento horizontal. Dado que la secante generalmente cruza el eje y como mínimo, y ahora el mínimo correspondiente es\(\left(\dfrac{\pi }{2},−2\right)\), podemos decir que el desplazamiento horizontal es la diferencia entre los dos valores x,\(\dfrac{\pi }{2}\).\((0,1)\) Por lo tanto, nuestra ecuación es\(f(x)=−3+\sec \left(\dfrac{1}{2}\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).
Graficar la función\(h(x)=2−3\cos 4x\)
Antes, se le preguntó qué trazaría la sombra.
Solución
Como has aprendido en esta sección, una luz que brilla hacia abajo en la mano giratoria crearía una sombra en el patrón de una función coseno, comenzando en un valor máximo ya que la mano está tendida a lo largo del eje “x”, pasando por cero hasta un valor máximo negativo cuando la mano está acostada a lo largo del eje negativo “y”. Entonces comenzaría a aumentar hasta que volviera a un valor máximo cuando la mano giratoria volviera a estar acostada a lo largo del eje “x” positivo.
Gráfica\(y=−2+\dfrac{1}{2}\sec (4(x−1))\).
Solución
Determine la función que crea esta gráfica:
Solución
Esto podría ser una función secante o cosecante. Usaremos un modelo cosecante. En primer lugar, el desplazamiento vertical es -1. El periodo es la diferencia entre los dos valores x dados\(7\dfrac{\pi }{4}−\dfrac{3 \pi }{4}=\pi \), así que la frecuencia es\(\dfrac{2\pi }{\pi }=2\). El desplazamiento horizontal incorpora la frecuencia, por lo que en\(y=\csc x\) el valor x correspondiente a\(\left(\dfrac{3 \pi }{4},0\right)\) es\(\left(\dfrac{\pi }{2},1\right)\). La diferencia entre los x−valores es\(\dfrac{3 \pi }{4}−\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{3 \pi }{4}−\dfrac{2\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4}\) y luego se multiplica por la frecuencia,\(2\cdot \dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}\). La ecuación es\(y=−1+\csc \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).
Gráfica\(h(x)=\dfrac{1}{3}\cos 2x\)
Solución
Revisar
Grafica cada una de las siguientes funciones.
- \(f(x)=\cos (x)\).
- \(h(x)=\cos (2x)\).
- \(k(x)=\cos (2x+\pi )\).
- \(m(x)=−2\cos (2x+\pi )\).
- \(g(x)=−2\cos (2x+\pi )+1\).
- \(f(x)=\sec (x)\).
- \(h(x)=\sec (3x)\).
- \(k(x)=\sec (3x+\pi )\).
- \(m(x)=2\sec (3x+\pi )\).
- \(g(x)=3+2\sec (3x+\pi )\).
- \(h(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2} \right )\).
- \(k(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right)\).
- \(m(x)=2\cos \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right)\).
- \(g(x)=2\cos \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right)−3\).
- \(h(x)=\sec \left(\dfrac{x}{4}\right)\).
- \(k(x)=\sec \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3\pi }{2}\right)\).
- \(m(x)=−3\sec \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3\pi }{2}\right)\).
- \(g(x)=2−3\sec \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3\pi }{2}\right)\).
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.10.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Función Circular | Una función circular es una función medida al examinar el ángulo de rotación alrededor del plano de coordenadas. |
Recursos adicionales
Video: Animación: Gráfica de la función coseno usando el círculo unitario