3.2.1: Identidades trigonométricas para encontrar valores trigonométricos exactos

Identidades pitagóricas, tangentes y recíprocas utilizadas para encontrar valores de funciones.

Uso de identidades trigonométricas para encontrar valores trigonométricos exactos

Se le da la siguiente información sobre\(\theta\)

\(\sin\theta =\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)

¿Qué son\(\cos\theta\) y\(\tan\theta \)?

Identidades trigonométricas

Puede utilizar las identidades pitagóricas, tangentes y recíprocas para encontrar los seis valores trigonométricos para ciertos ángulos. Vamos a recorrer algunos problemas para que entiendas cómo hacer esto.

Resolvamos los siguientes problemas usando identidades trigonométricas.

1. Dado eso\(\cos\theta =\dfrac{3}{5}\) y\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\), encontrar\(\sin \theta\).

Usa la identidad pitagórica para encontrar el pecado\ theta.

\ (\ comenzar {alineado}
\ sin ^ {2}\ theta+\ cos ^ {2}\ theta &=1\\
\ sin ^ {2}\ theta+\ izquierda (\ dfrac {3} {5}\ derecha) ^ {2} &=1\
\\ sin ^ {2}\ theta &=1-\ dfrac {9} {25}\
\ sin ^ {2}\ theta &=\ dfrac {16} {25}\\
\ sin\ theta &=\ pm\ dfrac {4} {5}
\ end {alineado}\)

Porque\(\theta\) está en el primer cuadrante, sabemos que el seno será positivo. \(\sin\theta =\dfrac{4}{5}\)

2. Encuentra\(\tan\theta \) de #1 arriba.

Usa la Identidad Tangente para encontrar\(\tan\theta\).

\(\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{4}{3}\)

3. Encuentra las otras tres funciones trigonométricas de\(\theta\) desde #1.

Para encontrar secante, cosecante y cotangente use las Identidades Recíprocas.

\(\csc \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{5}{4} \quad \sec \theta=\dfrac{1}{\cos \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{3} \quad \cot \theta=\dfrac{1}{\tan \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que encontrara\(\cos\theta\) y\(\tan\theta\) de\(\sin\theta =\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi \).

Solución

Primero, usa la Identidad Pitagórica para encontrar\(\cos\theta\).

\ (\ begin {alineado}
\ sin ^ {2}\ theta+\ cos ^ {2}\ theta &=1\\
\ izquierda (\ dfrac {2} {3}\ derecha) ^ {2} +\ cos ^ {2}\ theta&=1\\
\ cos ^ {2}\ theta &=1-\ dfrac {4} {9}\
\ cos ^ {2}}\ theta &=\ dfrac {5} {9}\\
\ cos\ theta &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {5}} {3}
\ fin {alineado}\)

Sin embargo, debido a que\(\theta\) está restringido al segundo cuadrante, el coseno debe ser negativo. Por lo tanto,\(\cos \theta =−\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

Ahora usa la Identidad Tangente para encontrar tan\ theta.

\(\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{−\dfrac{\sqrt{5}}{3}}=−2\sqrt{5}=\dfrac{−2\sqrt{5}}{5}\)

Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(\tan\theta =−\dfrac{5}{12}\),\(\dfrac{\pi}{ 2}<\theta <\pi\)

Solución

Primero, sabemos que\ theta está en el segundo cuadrante, haciendo que el seno sea positivo y el coseno negativo. Para este problema, usaremos la Identidad Pitagórica\(1+\tan^2\theta =\sec^2\theta\) para encontrar secante.

\ (\ comenzar {alineado}
1+\ izquierda (-\ dfrac {5} {12}\ derecha) ^ {2} &=\ seg ^ {2}\ theta\\
1+\ dfrac {25} {144} &=\ seg ^ {2}\ theta\
\ dfrac {169} {144} &=\ seg ^ {2}\ theta\\ pm
\ dfrac ac {13} {12} &=\ seg\ theta\\
-\ dfrac {13} {12} &=\ seg\ theta
\ end {alineado}\)

Si\(\sec\theta =−\dfrac{13}{12}\), entonces\(\cos\theta =−\dfrac{12}{13}\). \(\sin\theta =\dfrac{5}{13}\)porque el valor numerador de tangente es el seno y tiene el mismo valor denominador que el coseno. \(\csc\theta =\dfrac{13}{5}\)y\(\cot\theta =−\dfrac{12}{5}\) de las Identidades Recíprocas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(\csc \theta =−8\),\(\pi <\theta <\dfrac{3 \pi}{2}\)

Solución

\ theta está en el tercer cuadrante, así que tanto el seno como el coseno son negativos. El recíproco de\(\csc\theta =−8\), nos dará\(\sin\theta =−\dfrac{1}{8}\). Ahora, usa la Identidad Pitagórica\(sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\) para encontrar coseno.

\ (\ comenzar {alineado}
\ izquierda (-\ dfrac {1} {8}\ derecha) ^ {2} +\ cos ^ {2}\ theta &=1\
\\ cos ^ {2}\ theta &=1-\ dfrac {1} {64}\
\ cos ^ {2}\ theta &=\ dfrac {63} {64}\
\ cos\ theta &=\ pm\ dfrac {3\ sqrt {7}} {8}\\
\ cos\ theta &=-\ dfrac {3\ sqrt {7}} {8}
\ final {alineado}\)

\(\sec\theta =−\dfrac{8}{3\sqrt{7}}=−\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\),\(\tan\theta =\dfrac{1}{3\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{ 21}\), y\(\cot\theta =3\sqrt{7}\)

Revisar

1. ¿En qué cuadrantes es positivo el valor sinusoidal? ¿Negativo?
2. ¿En qué cuadrantes es positivo el valor del coseno? ¿Negativo?
3. ¿En qué cuadrantes es positivo el valor tangente? ¿Negativo?

Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de\(\theta \).

4. \(\sin\theta =\dfrac{8}{17}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
5. \(\cos\theta =−\dfrac{5}{6}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
6. \(\tan\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
7. \(\sec\theta =−\dfrac{41}{9}\),\(\pi <\theta <\dfrac{3\pi}{2}\)
8. \(\sin\theta =−\dfrac{11}{14}\),\(\dfrac{3\pi}{2}<\theta <2\pi\)
9. \(\cos\theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
10. \(\cot\theta =\sqrt{5}\),\(\pi <\theta <\dfrac{3\pi}{2}\)
11. \(\csc\theta =4\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
12. \(\tan\theta =−\dfrac{7}{10}\),\(\dfrac{3\pi}{2}<\theta <2\pi\)
13. Aparte de usar las identidades, ¿de qué otra manera se pueden encontrar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas?
14. Dado eso\(\cos\theta =\dfrac{6}{11}\) y\(\theta\) está en el\(2^{nd}\) cuadrante, ¿qué es\(\sin(−\theta )\)?
15. Dado eso\(\tan\theta =−\dfrac{5}{8}\) y\(\theta\) está en el\(4^{th}\) cuadrante, ¿qué es\(\sec(−\theta )\)?

Respuestas para problemas de revisión

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