3.2.3: Pruebas de Identidades Trigonométricas

Convierta a seno/coseno, use identidades básicas y simplifique los lados de la ecuación.

Verifica eso\(\dfrac{\sin^2 x}{\tan^2 x}=1−\sin^2 x\).

Verificación de identidades trigonométricas

Ahora que te sientes cómodo simplificando expresiones, extenderemos la idea a verificar identidades enteras. Aquí hay algunas sugerencias útiles para verificar una identidad:

• Cambia todo en términos de seno y coseno.
• Usa las identidades cuando puedas.
• Comienza simplificando el lado izquierdo de la ecuación, luego, una vez que te quedes atascado, simplifica el lado derecho. Siempre y cuando los dos lados terminen con la misma expresión final, la identidad es verdadera.

Verifiquemos las siguientes identidades.

1. \(\dfrac{\cot^2 x}{\csc x}=\csc x−\sin x\)

En lugar de tener un signo igual entre los dos lados de la ecuación, dibujaremos una línea vertical para que sea más fácil ver lo que hacemos a cada lado de la ecuación. Empieza por cambiar todo en seno y coseno.

\ (\ begin {array} {l|l}
\ dfrac {\ cot ^ {2} x} {\ csc x} &\ csc x-\ sin x\
\ dfrac {\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {\ sin ^ {2} x}} {\ dfrac {1} {\ sin x}} &\ dfrac {1}\ sin x}\\
\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {\ sin x} &
\ fin {matriz}\)

Ahora, parece que estamos en un callejón sin salida con el lado izquierdo. Combinemos el lado derecho dándoles el mismo denominador.

\ (\ begin {array} {|c}
\ dfrac {1} {\ sin x} -\ dfrac {\ sin ^ {2} x} {\ sin x}\
\ dfrac {1-\ sin ^ {2} x} {\ sin x}\\ sin x}
\\ dfrac {\ cos ^ {2} x} {\ sin x}
\ end {array}\)

Los dos lados reducen a la misma expresión, por lo que podemos concluir que esta es una identidad válida. En el último paso, utilizamos la Identidad Pitagórica,\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\), y aislamos el\(\cos^2 x=1−\sin^2x\).

Por lo general, hay más de una forma de verificar una identidad trigonométrica. Al probar esta identidad en el primer paso, en lugar de cambiar la cotangente a\(\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\), también podríamos haber sustituido la identidad\(\cot^2 x=\csc^2 x−1\).

2. \(\dfrac{\sin x}{1−\cos x}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\)

Multiplique el lado izquierdo de la ecuación por\(\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\).

\ (\ comenzar {alineado}
\ dfrac {\ sin x} {1-\ cos x} &=\ dfrac {1+\ cos x} {\ sin x}\
\ dfrac {1+\ cos x} {1+\ cos x}\ cdot\ dfrac {\ sin x} {1-\ cos x} &=\
\ dfrac {\ sin (1+\ cos x)} {1-\ cos ^ {2} x} &=\
\ dfrac {\ sin (1+\ cos x)} {\ sin ^ {2} x} &=\
\ dfrac {1+\ cos x} {\ sin x} &=
\ end {alineado}\)

Las dos partes son iguales, así que ya terminamos.

3. \(\sec(−x)=\sec x\)

Cambiar secante a coseno.

\(\sec(−x)=\dfrac{1}{cos(−x)}\)

Desde las Identidades de Ángulo Negativo, lo sabemos\(\cos(−x)=\cos x\).

\(\begin{aligned} &=\dfrac{1}{\cos x} \\&=\sec x\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que verificara eso\(\sin^2 x \tan^2 x=1−\sin^2 x\).

Solución

Comience simplificando el lado izquierdo de la ecuación.

\(\sin ^2 x \tan ^2 x=\dfrac{\sin ^2 x}{\dfrac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}}=\cos ^2 x\)

Ahora simplifica el lado derecho de la ecuación. Al manipular la Identidad Trigonométrica,

\(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\), obtenemos\(\cos ^2 x=1−\sin ^2 x\).

\(\cos ^2 x=\cos ^2 x\)y se verifica la ecuación.

Verificar las siguientes identidades.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(\cos x \sec x=1\)

Solución

Cambiar secante a coseno.

\(\begin{aligned} \cos x \sec x&=\cos x \cdot \dfrac{1}{\cos x} \\&=1\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(2−sec^2 x=1−\tan ^2 x\)

Solución

Usa la identidad\(1+\tan^2 \theta =\sec^2 \theta\).

\(\begin{aligned} 2−\sec^2 x &=2−(1+\tan ^2 x) \\&=2−1−\tan ^2 x \\&=1−\tan ^2 x\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{\cos(−x)}{1+\sin(−x)}=\sec x+\tan x\)

Solución

Aquí, comienza con las Identidades de Ángulo Negativo y multiplica la parte superior e inferior por\(\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x}\) para hacer del denominador un monomio.

\ (\ begin {alineado}
\ dfrac {\ cos (-x)} {1+\ sin (-x)} &=\ dfrac {\ cos x} {1-\ sin x}\ cdot\ dfrac {1+\ sin x} {1+\ sin x}\\
&=\ dfrac {\ cos x (1+\ sin x)} {1-\ sin ^ {2}}\\
&=\ dfrac {\ cos x (1+\ sin x)} {\ cos ^ {2} x}\\
&=\ dfrac {1+\ sin x} {\ cos x}\\
&=\ dfrac {1} {\ cos x} +\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}\\
&=\ seg x+\ tan x
\ end {alineado}\)

Revisar

Verificar las siguientes identidades.

1. \(\cot(−x)=−\cot x\)
2. \(\csc(−x)=−\csc x\)
3. \(\tan x \csc x \cos x=1\)
4. \(\sin x+\cos x \cot x=\csc x\)
5. \(\csc\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\sec x\)
6. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\tan x\)
7. \(\dfrac{\csc x}{\sin x}−\dfrac{\cot x}{\tan x}=1\)
8. \(\dfrac{\tan ^2 x}{\tan ^2 x+1}=\sin ^2 x\)
9. \((\sin x−\cos x)^2+(\sin x+\cos x)^2=2\)
10. \(\sin x−\sin x \cos ^2 x=\sin ^3 x\)
11. \(\tan ^2 x+1+\tan x \sec x=\dfrac{1+\sin x}{\cos ^2 x}\)
12. \(\cos ^2 x=\csc x \cos x \tan x+\cot x\)
13. \(\dfrac{1}{1−\sin x}−\dfrac{1}{1+\sin x}=2\tan x \sec x\)
14. \(\csc^4 x−\cot^4 x=\csc ^2 x+\cot^2x\)
15. \((\sin x−\tan x)(\cos x−\cot x)=(\sin x−1)(\cos x−1)\)

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.9.

Recursos adicionales

Video: Verificación de Identidades Trigonométricas - Ejemplo 2