3.2.7: Ecuaciones Trigonométricas Usando la Fórmula Cuadrática

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La fórmula cuadrática con una función trigonométrica en lugar de la variable.

Resolver ecuaciones es una parte fundamental de las matemáticas. Poder encontrar qué valores de una variable se ajustan a una ecuación nos permite determinar todo tipo de comportamientos interesantes, tanto en matemáticas como en ciencias. Resolver ecuaciones trigonométricas para ángulos que satisfacen la ecuación es una aplicación de métodos matemáticos para resolver ecuaciones. Supongamos que alguien te dio la siguiente ecuación:

\(3 \sin^2 \theta +8 \sin\theta −3=0\)

Funciones cuadráticas con ecuaciones trigonométricas

A la hora de resolver ecuaciones cuadráticas que no facetúan, a menudo se usa la fórmula cuadrática.

Recuerde que la ecuación cuadrática es:

\(ax^2+bx+c=0\)(donde\(a\),\(b\), y\(c\) son constantes)

En esta situación, se puede utilizar la fórmula cuadrática para averiguar qué valores de “x” satisfacen la ecuación.

El mismo método se puede aplicar a la hora de resolver ecuaciones trigonométricas que no factean. Los valores para\(a\) es el coeficiente numérico del término cuadrado de la función,\(b\) es el coeficiente numérico del término de función que es a la primera potencia y\(c\) es una constante. La fórmula dará como resultado dos respuestas y ambas deberán evaluarse dentro del intervalo designado.

Resolviendo valores desconocidos

1. Resuelva\(3 \cot ^2 x−3 \cot x=1\) para valores exactos de\(x\) sobre el intervalo\([0,2\pi ]\).

\(\begin{aligned} 3\cot ^2 x−3\cot x &=1 \\ 3\cot ^2x−3\cot x−1&=0 \end{aligned}\)

La ecuación no facetará. Utilice la fórmula cuadrática para\(\cot x\),\(a=3\),\(b=−3\),\(c=−1\).

\ (\ begin {alineado}
\ cot x&=\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}\\
\ cot x&=\ dfrac {- (-3)\ pm\ sqrt {(-3) ^ {2} -4 (3) (-1)}} {2 (3)}\
\ cot x&=\ dfrac {3\ pm\ sqrt {9+12}} {6}\\
\ cot x&=\ dfrac {3+\ sqrt {21}} {6} &\ quad\ text {o}\ quad&\ cot x= \ dfrac {3-\ sqrt {21}} {6}\\
\ cuna x&=\ dfrac {3+4.5826} {6} &\ quad&\ cot x=\ dfrac {3-4.5826} {6}\
\ cuna x&=1.2638 &\ quad &\ cuna x=-0.2638\
\ tan x&=\ dfrac {1} 1.2638} &\ quad &\ tan x=\ dfrac {1} {-0.2638}\\
x&=0.6694,3.81099 & ; &x=1.8287,4.9703
\ end {alineado}\)

2. Resuelva\(−5 \cos ^2 x+9 \sin x+3=0\) para valores de x sobre el intervalo\([0,2\pi ]\).

Cambio\(\cos ^2 x\) a\(1−\sin ^2 x\) de la Identidad Pitagórica.

\(\begin{aligned} −5\cos ^2 x +9\sin x+3 &=0 \\ −5(1−\sin ^2 x )+9\sin x+3 &=0 \\ −5+5\sin ^2 x +9\sin x+3 &=0 \\ 5\sin ^2 x +9\sin x−2 &=0 \end{aligned}\)

\ (\ begin {array} {l}
\ sin x=\ dfrac {-9\ pm\ sqrt {9^ {2} -4 (5) (-2)}} {2 (5)}\
\ sin x=\ dfrac {-9\ pm\ sqrt {81+40}} {10}\\
\ sin x=\ dfrac {-9\ pm\ sqrt {121}} {10}\
\ sin x=\ dfrac {-9+11} {10}\ texto {y}\ sin x=\ dfrac {-9-11} {10}\\
\ sin x=\ dfrac {1} {5 }\ text {y} -2\\
\ sin ^ {-1} (0.2)\ text {y}\ sin ^ {-1} (-2)
\ end {array}\)

\(x\approx .201 \text{rad}\)y\(\pi −.201\approx 2.941\)

Esta es la única solución para\(x\) ya que no\(−2\) está en el rango de valores.

3. Resolver\(3\sin ^2 x −6\sin x−2=0\) para valores de\(x\) sobre el intervalo\([0,2\pi ]\).

\ (\ begin {array} {l}
\ quad 3\ sin ^ {2} x-6\ sin x-2=0\\
\ sin x=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(-6) ^ {2} -4 (3) (-2)}} {2 (3)}\
\ sin x=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {36-24}} {6}\
\ sin x=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {12}} {6}\\
\ sin x=\ dfrac {6+3.46} {10}\ text { y}\ sin x=\ dfrac {6-3.46} {10}\\
\ sin x=.946\ texto {y} .254\\
\ sin ^ {-1} (0.946)\ text {y}\ sin ^ {-1} (0.254)
\ end {array}\)

\(x\approx 71.08 \text{ deg}\)y\(\approx 14.71 \text{ deg}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que resolviera una ecuación.

La ecuación original a resolver fue:

3sin2\ theta +8sin\ theta −3=0

Solución

Usando la fórmula cuadrática, con a=3, b=8, c=−3, obtenemos:

\(\sin\theta =\dfrac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a}=\dfrac{−8\pm \sqrt{64−(4)(3)(−3)}}{6}=\dfrac{−8\pm \sqrt{100}}{6}=\dfrac{−8\pm 10}{6}=\dfrac{1}{3} \text{or} −3\)

La solución de -3 se ignora porque sine no puede tomar ese valor, sin embargo:

\(\sin^{−1} \dfrac{1}{3}=19.471^{\circ}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver\(\sin ^2 x −2\sin x−3=0\) por\(x\) más\([0,\pi ]\).

Solución

Se puede factorial éste como un cuadrático.

\ (\ begin {alineado}
\ sin ^ {2} x-2\ sin x-3 &=0 & & &\\
(\ sin x-3) (\ sin x+1) &=0 & &
\\ sin x-3=0 & &\
\\ sin x=3 & &\ text {o} &\ sin x+1 = 0\
x=\ sin ^ {-1} (3) & & & x=\ dfrac {3\ pi} {2}
\ final {alineado}\)

Para este problema la única solución es\(\dfrac{3\pi}{2}\) porque el seno no puede ser\(3\) (no está en el rango).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver\(\tan^2 x+\tan x−2=0\) para valores de\(x\) sobre el intervalo\(\left[−\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Solución

\(\tan^2 x+\tan x−2=0\)

\ (\ begin {alineado}
-1\ pm\ sqrt {1^ {2} -4 (1) (-2)} &=\ tan x\\
2 &\
\\ dfrac {-1\ pm\ sqrt {1+8}} {2} &=\ tan x\
\ dfrac {-1\ pm 3} {2} &=\ tan x\
\ tan x &=-2\ quad\ texto {o}\; 1
\ final {alineado}\)

\(\tan x=1\)cuando\(x=\dfrac{\pi}{4}\), en el intervalo\(\left[−\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{\pi}{2}\right]\)

\(\tan x=−2\)cuando\(x=−1.107 \text{rad}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver la ecuación trigonométrica tal que\(5 \cos^2 \theta −6 \sin\theta =0\) a lo largo del intervalo\([0,2\pi ]\).

Solución

\(5\cos^2\theta −6\sin \theta =0\)sobre el intervalo\([0,2\pi ]\).

\ (\ comenzar {alineado}
5\ izquierda (1-\ sin ^ {2} x\ derecha) -6\ sin x &=0\\
-5\ sin ^ {2} x-6\ sin x+5 &=0\\
5\ sin ^ {2} x+6\ sin x-5 &=0\\
-6\ pm\ sqrt {6^ {2} -4 (5) (-5)} &=\ sin x\\
2 (5) &\\
\ dfrac {-6\ pm\ sqrt {36+100 }} {10} &=\ sin x\
\ dfrac {-6\ pm\ sqrt {136}} {10} &=\ sin x\
\ dfrac {-6\ pm 2\ sqrt {34}} {10} &=\ sin x\
\ dfrac {-3\ pm\ sqrt {34}} {5} &=\ sin x
\ fin {alineado}\)

\(x=\sin^{−1}\left(\dfrac{−3+\sqrt{34}}{5}\right)\)\(\sin^{−1}\left(\dfrac{−3−\sqrt{34}}{5}\right) x=0.6018 \text{ rad}\)o bien\(2.5398 \text{ rad}\) desde la primera expresión, la segunda expresión no dará ninguna respuesta porque está fuera del rango de seno.

Revisar

Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.

\(3x^2+10x+2=0\)
\(5x^2+10x+2=0\)
\(2x^2+6x−5=0\)

Usa la fórmula cuadrática para resolver cada ecuación cuadrática a lo largo del intervalo\([0,2\pi )\).

\(3\cos^2(x)+10\cos(x)+2=0\)
\(5\sin^2(x)+10\sin(x) +2=0\)
\(2\sin^2(x)+6\sin(x) −5=0\)
\(6\cos^2(x)−5\cos(x)−21=0\)
\(9\tan^2(x)−42\tan(x) +49=0\)
\(\sin^2(x)+3\sin(x) =5\)
\(3\cos^2(x)−4\sin(x) =0\)
\(−2\cos^2(x)+4\sin(x) =0\)
\(\tan^2(x)+\tan(x) =3\)
\(\cot^2(x)+5\tan(x) +14=0\)
\(\sin^2(x)+\sin(x) =1\)
¿Qué tipo de ecuaciones de seno o coseno no tienen solución?

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.5.

El vocabulario

Término	Definición
Ecuación cuadrática	Una ecuación cuadrática es una ecuación que se puede escribir en la forma\(=ax^2+bx+c=0\), donde\(a\)\(b\),, y\(c\) son constantes reales y\(a\neq 0\).

Recursos adicionales

Video: Resolver ecuaciones trigonométricas usando la fórmula cuadrática