3.3.3: Fórmulas de suma sinusoidal y diferencia

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 107729

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

seno de una suma o diferencia relacionada con un conjunto de funciones coseno y seno.

Te has vuelto bastante bueno conociendo los valores de las funciones trig. Tanto es así que tú y tus amigos juegan un juego antes de clase todos los días para ver quién puede obtener las funciones más trig de diferentes ángulos correctas. No obstante, tu amiga Jane sigue consiguiendo las funciones trig de más ángulos correctos. Te sorprende su memoria, hasta que ella sonríe un día y te dice que te ha estado engañando todo este tiempo.

“¿A qué te refieres?” usted dice.

“Tengo un truco que me permite calcular más funciones en mi mente dividiéndolas en sumas de ángulos”, responde.

De veras te sorprende esto. ¡Y todo este tiempo pensaste que ella solo tenía un recuerdo increíble!

“Aquí, déjame mostrarte”, dice ella. Ella saca un trozo de papel y escribe:

\(\sin \dfrac{7\pi}{12}\)

“Esto parece un valor inusual para recordar para una función trig. Entonces tengo una regla especial que me ayuda a evaluarla dividiéndola en una suma de números diferentes”.

Sine Sum y Diferencia Fórmulas

Nuestro objetivo aquí es encontrar una fórmula que le permita dividir un seno de una suma de dos ángulos (o una diferencia de dos ángulos) en una fórmula más simple que le permita usar el seno de un solo argumento en cada término.

Para encontrar

\(\sin (a+b)\):

\ (\ begin {alineado}
\ sin (a+b) &=\ cos\ izquierda [\ dfrac {\ pi} {2} - (a+b)\ derecha]\ qquad &&\ text {Set}\ theta=a+b\\
&=\ cos\ left [\ left (\ dfrac {\ pi} {2} -a\ right) -b\ right]
&&\ text {Distribuir el negativo}\\
&
=\ cos\ left ( \ dfrac {\ pi} {2} -a\ derecha)\ cos b+\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {2} -a\ derecha)\ sin b &&\ text {Fórmula de diferencia para cosenos}\\
&=\ sin a\ cos b+\ cos a\ sin b &&\ text {Identidades de co-función}
\ end {alineado}\)

En conclusión,\(\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\), que es la fórmula de suma para seno.

Para obtener la identidad para\(\sin (a−b)\):

\(\begin{aligned} \sin (a−b)&=\sin [a+(−b)] \qquad & \\ &=\sin a\cos (−b)+\cos a\sin (−b) && \text{Use the sine sum formula} \\ \sin (a−b)&=\sin a\cos b−\cos a\sin b && \text{Use} \cos (−b)=\cos b \text{ , and } \sin (−b)=−\sin b \end{aligned}\)

En conclusión\(\sin (a−b)=\sin a \cos b−\cos a\sin b\), entonces, esta es la fórmula de diferencia para seno.

Uso de la fórmula de suma y diferencia sinusoidal

1. Encuentra el valor exacto de\(\sin \dfrac{5\pi}{12}\)

Recordemos que existen múltiples ángulos que suman o restan para igualar cualquier ángulo. Elige la fórmula con la que te sientas más cómodo.

\ (\ begin {alineado}
\ sin\ dfrac {5\ pi} {12} &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {3\ pi} {12} +\ dfrac {2\ pi} {12}\ derecha)\\
&=\ sin\ dfrac {3\ pi} {12}\ cos\ dfrac {2\ pi} {12} +\ cos\ dfrac {3\ pi} {12}\ sin\ dfrac {2\ pi} {12}\\
\ sin\ dfrac {5\ pi} {12} &=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ veces \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ veces\ dfrac {1} {2}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ end {alineado}\)

2. Dado\(\sin \alpha =\dfrac{12}{13}\), donde\(\alpha \) está en el Cuadrante II, y\(\sin \beta =\dfrac{3}{5}\), donde\(\beta \) está en el Cuadrante I, encontrar el valor exacto de\(\sin (\alpha +\beta )\).

Para encontrar el valor exacto de\(\sin (\alpha +\beta )\), aquí utilizamos\(\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta\). Los valores de\(\sin \alpha\) y\(\sin \beta\) son conocidos, sin embargo los valores de\(\cos \alpha\) y\(\cos \beta\) necesitan ser encontrados.

Utilice\(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\), para encontrar los valores de cada uno de los valores de coseno faltantes.

Para\(\cos a\):\(\sin^2\alpha +\cos^2 \alpha =1\), sustituyendo\(\sin \alpha =\dfrac{12}{13}\) transforma a\(\left(\dfrac{12}{13}\right)^2+\cos^2\alpha =\dfrac{144}{169}+\cos^2\alpha =1\) o\(\cos^2 \alpha =\dfrac{25}{169}\), sin embargo\(\cos \alpha =\pm \dfrac{5}{13}\), ya que\(\alpha \) está en el Cuadrante II, el coseno es negativo,\(\cos \alpha =−\dfrac{5}{13}\).

Para\(\cos \beta\) su uso\(\sin ^2\beta +\cos ^2\beta =1\) y sustituto\(\sin \beta =\dfrac{3}{5}\),\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\cos^2 \beta =\dfrac{9}{25}+\cos^2\beta =1\) o\(\cos^2\beta =\dfrac{16}{25}\)\(\cos \beta =\pm \dfrac{4}{5}\) y ya que\(\beta \) está en el Cuadrante I,\(\cos \beta =\dfrac{4}{5}\)

Ahora se puede encontrar la fórmula de suma para el seno de dos ángulos:

\ (\ begin {array} {l}
\ sin (\ alpha+\ beta) =\ dfrac {12} {13}\ veces\ dfrac {4} {5} +\ izquierda (-\ dfrac {5} {13}\ derecha)\ veces\ dfrac {3} {5}\ texto {o}\ dfrac {48} {65} -\ dfrac {15} {65}\\
\ sin (\ alpha+\ beta) =\ dfrac {33} {65}
\ end {array}\)

3. Encuentra el valor exacto de\(\sin 15^{\circ}\)

Recordemos que existen múltiples ángulos que suman o restan para igualar cualquier ángulo. Elige la fórmula con la que te sientas más cómodo.

\ (\ comenzar {alineado}
\ sin 15^ {\ circ} &=\ sin\ izquierda (45^ {\ circ} -30^ {\ circ}\ circ}\ derecha)\\
&=\ sin 45^ {\ circ}\ cos 30^ {\ circ} +\ cos 45^ {\ circ}\ sin 30^ {\ circ}
\ circ}\\ sin 15^ {\ circ} & =( .707)\ times (.866) + (.707)\ times (.5)\\
& =( .612262)\ times (.3535)\
&=.2164
\ fin {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le dio un problema sobre el uso de la fórmula de suma sinusoidal.

Solución

Con la fórmula de suma sinusoidal, puede dividir el seno en cantidades más fáciles de calcular:

\ (\ begin {alineado}
\ sin\ dfrac {7\ pi} {12} &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {4\ pi} {12} +\ dfrac {3\ pi} {12}\ derecha)\\
&=\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {3} +\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha)\\
=\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {3}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha) +\ cos\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {3}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha)\\
&=\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha) +\ izquierda (\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {\ sqr rt {2}} {2}\ derecha)\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6}} {4} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {4}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {4}
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentre el valor exacto para\(\sin 345^{\circ}\)

Solución

\ (\ comenzar {alineado}
\ sin 345^ {\ circ} &=\ sin\ izquierda (300^ {\ circ} +45^ {\ circ}\ circ}\ derecha) =\ sin 300^ {\ circ}\ cos 45^ {\ circ} +\ cos 300^ {\ circ}\ sin 45^ {\ circ}\
&=-\ dfrac {\ sqrt 3}} {2}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +\ dfrac {1} {2}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} =-\ dfrac {\ sqrt {6}} {4} +\ dfrac {\ sqrt {2 }} {4} =\ dfrac {\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {4}
\ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentre el valor exacto para\(\sin \dfrac{17\pi}{12}\)

Solución

\ (\ begin {alineado}
\ sin\ dfrac {17\ pi} {12} &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {9\ pi} {12} +\ dfrac {8\ pi} {12}\ derecha) =\ sin\ izquierda (\ dfrac {3\ pi} {4} +\ dfrac {2\ pi} {3}\ derecha) =\ sin\ dfrac {3\ pi} {4}\ cos\ dfrac {2\ pi} {3} +\ cos\ dfrac {3\ pi} {4}\ sin\ dfrac {2\ pi} {3}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ izquierda (-\ dfrac {1} {2}\ derecha) +-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} =-\ dfrac {\ sqrt {2}} {4} -\ dfrac {\ sqrt {6}} {4} =\ dfrac -\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {4}
\ final {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Si\(\sin y=−\dfrac{5}{13}\), y está en quad III, y\(\sin z=\dfrac{4}{5}\),\(z\) está en quad II encontrar\(\sin (y+z)\)

Solución

Si\(\sin y=−\dfrac{5}{13}\) y en el Cuadrante III, entonces el coseno también es negativo. Por el Teorema de Pitágoras, el partido de vuelta es\(12(5^2+b^2=13^2)\), así\(\cos y=−\dfrac{12}{13}\). Si el\(\sin z=\dfrac{4}{5}\) y en el Cuadrante II, entonces el coseno también es negativo. Por el Teorema de Pitágoras, el partido de vuelta es\(3(4^2+b^2=5^2)\), así\(\cos =−\dfrac{3}{5}\). Para encontrar\(\sin (y+z)\), conecte esta información a la fórmula de suma sinusoidal.

\(\begin{aligned} \sin (y+z)&=\sin y\cos z+\cos y\sin z \\&=−\dfrac{5}{13} \cdot −\dfrac{3}{5}+−\dfrac{12}{13} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &=\dfrac{15}{65}−\dfrac{48}{65} \\ &=−\dfrac{33}{65}\end{aligned}\)

Revisar

Encuentra el valor exacto para cada expresión sinusoidal.

\(\sin 75^{\circ}\)
\(\sin 105^{\circ}\)
\(\sin 165^{\circ}\)
\(\sin^255^{\circ}\)
\(\sin −15^{\circ}\)

Escribe cada expresión como el seno de un ángulo.

\(\sin 46^{\circ} \cos^20^{\circ} +\cos 46^{\circ} \sin^20^{\circ}\)
\(\sin 3x\cos^2x−\cos 3x\sin^2x\)
\(\sin 54^{\circ} \cos 12^{\circ} +\cos 54^{\circ} \sin 12^{\circ}\)
\(\sin^29^{\circ} \cos 10^{\circ} −\cos^29^{\circ} \sin 10^{\circ}\)
\(\sin 4y \cos 3y+\cos 4y\sin^2y\)
Demostrar que\(\sin \left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)=−\cos (x)\)
Supongamos que\(x\)\(y\),, y\(z\) son los tres ángulos de un triángulo. Demostrar que\(\sin (x+y)=\sin (z)\)
Demostrar que\(\sin \left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)=\cos (x)\)
Demostrar que\(\sin (x+\pi )=−\sin (x)\)
Demostrar que\(\sin (x−y)+\sin (x+y)=2\sin (x)\cos (y)\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.7.

El vocabulario

Término	Definición
Fórmula de diferencia sinusoidal	La fórmula de diferencia sinusoidal relaciona el seno de una diferencia de dos argumentos con un conjunto de funciones sinusoidales y cosenos, cada una de las cuales contiene un argumento.
fórmula de suma sinusoidal	La fórmula de suma sinusoidal relaciona el seno de una suma de dos argumentos con un conjunto de funciones sinusoidales y cosenos, cada una de las cuales contiene un argumento.

Recursos adicionales

Video: Identidades de suma y diferencia para seno