3.4.4: Resolver ecuaciones con identidades de doble ángulo
- Page ID
- 107759
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Resuelve seno, coseno y tangente de ángulos multiplicados o divididos por 2.
Trig Riddle: Soy un ángulo x tal que\(0\leq x<2\pi \). Satisfaco la ecuación\(\sin 2x−\sin x=0\). ¿Qué ángulo soy?
Resolver ecuaciones trigonométricas
Podemos usar las fórmulas de ángulo medio y doble para resolver ecuaciones trigonométricas.
Resolvamos las siguientes ecuaciones trigonométricas.
- Resolver\(\tan 2x+\tan x=0\) cuándo\(0\leq x<2\pi \).
Cambiar\(\tan 2x\) y simplificar.
\(\begin{aligned} \tan 2x+\tan x &=0\\ \dfrac{2\tan x}{1−\tan ^2x}+\tan x &=0\\ 2\tan x+\tan x(1−\tan ^2x) &=0\rightarrow \text{Multiply everything by } 1−\tan ^2x \text{ to eliminate denominator. }\\ 2\tan x+\tan x−\tan ^3x&=0 \\ 3\tan x−\tan ^3x&=0 \\ \tan x(3−\tan ^2x)&=0 \end{aligned}\)
Establezca cada factor igual a cero y resuelva.
\(\begin{aligned} & & 3−\tan ^2 x&=0 \\ & & −\tan ^2x&=−3 \\ \tan x&=0 &\text{ and } \qquad \tan ^2x &=3 \\ x&=0 \text{ and } \pi & \tan x&=\pm \sqrt{3} \\ & & x&=\dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3},\; \dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}\)
- Resolver\(2\cos \dfrac{x}{2}+1=0\) cuándo\(0\leq x<2\pi \).
En este caso, no es necesario usar la fórmula de medio ángulo. Resolver para\(\dfrac{x}{2}\).
\(\begin{aligned}2\cos \dfrac{x}{2}+1=0 \\ 2\cos \dfrac{x}{2}=−1 \\ \cos \dfrac{x}{2}=−\dfrac{1}{2} \end{aligned}\)
Ahora, busquemos\(\cos a=−\dfrac{1}{2}\) y luego resolvamos para x dividiendo por 2.
\(\begin{aligned} \dfrac{x}{2}&=\dfrac{2 \pi}{3},\dfrac{4 \pi}{3} \\ &=\dfrac{4 \pi}{3},\; \dfrac{8 \pi}{3} \end{aligned}\)
Ahora bien, la segunda solución no está en nuestra gama, por lo que la única solución es\(x=\dfrac{4 \pi}{3}\).
- Resolver\(4\sin x\cos x=\sqrt{3} \) para\(0\leq x<2\pi \).
Saca un 2 del lado izquierdo y usa la\(\sin 2x\) fórmula.
\ begin {alineado} 4\ sin x\ cos x&=\ sqrt {3}\\ 2\ cdot 2\ sin x\ cos x&=\ sqrt {3}\\ 2\ cdot\ sin 2x&=\ sqrt {3}\\ sin 2x&=\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}\\ 2x &=\ dfrac {\ pi} 3},\;\ dfrac {5\ pi} {3},\;\ dfrac {7\ pi} {3},\;\ dfrac {11\ pi} {3}\ x&=\ dfrac {\ pi} {6},\;\ dfrac {5\ pi} {6},\;\ dfrac {7\ pi} {6},\;\ dfrac { 11\ pi} {6}\ final {alineado}
Anteriormente, se le pidió encontrar el ángulo x, donde\(0\leq x<2\pi \), tal que\(x\) satisface la ecuación\(\sin 2x−\sin x=0\).
Solución
Utilice la fórmula de doble ángulo y simplifique.
\(\begin{aligned} \sin 2x−\sin x&=0 \\ 2\sin x\cos x−\sin x&=0 \\ \sin x(2\cos x−1)&=0 \\ \sin x=0 \text{ OR } \cos x&=\dfrac{1}{2} \end{aligned}\)
Bajo la restricción\(0\leq x<2\pi \),\(\sin x=0\) cuándo\(x=0\) o cuándo\(x=\pi \). Bajo esta misma restricción,\(\cos x=\dfrac{1}{2}\) cuándo\(x=\dfrac{\pi }{3}\) o cuándo\(x=\dfrac{5 \pi}{3}\).
Resuelve la siguiente ecuación para\(0\leq x<2\pi \).
\(\sin \dfrac{x}{2}=−1\)
Solución
\(\begin{aligned} \sin \dfrac{x}{2}&=−1 \\ \dfrac{x}{2} &=\dfrac{3\pi }{2}\\ x&=3\pi \end{aligned}\)
De esto podemos ver que no hay soluciones dentro de nuestro intervalo.
Resuelve la siguiente ecuación para\(0\leq x<2\pi \).
\(\cos 2x−\cos x=0\)
Solución
\(\begin{aligned} \cos 2x−\cos x=0 \\ 2\cos 2x−\cos x−1=&0 \\ (2\cos x−1)(\cos x+1)&=0 \end{aligned}\)
Establezca cada factor igual a cero y resuelva.
\(\begin{aligned} 2\cos x−1&=0 \\ 2\cos x&=1 & \cos x+1 &=0\\ \cos x&=\dfrac{1}{2} &\text{ and} \qquad \cos x&=−1\\ x&=\dfrac{\pi }{3},\; \dfrac{5\pi }{3} & x&=\pi \end{aligned}\)
Revisar
Resuelve las siguientes ecuaciones para\(0\leq x<2\pi \).
- \(\cos x−\cos \dfrac{1}{2} x=0\)
- \(\sin 2x\cos x=\sin x\)
- \(\cos 3x−\cos ^3x=3\sin ^2x\cos x\)
- \(\tan 2x−\tan x=0\)
- \(\cos 2x−\cos x=0\)
- \(2\cos ^2\dfrac{x}{2}=1\)
- \(\tan \dfrac{x}{2}=4\)
- \(\cos \dfrac{x}{2}=1+\cos x\)
- \(\sin 2x+\sin x=0\)
- \(\cos ^2x−\cos 2x=0\)
- \(\dfrac{\cos 2x}{\cos ^2x}=1\)
- \(\cos 2x−1=\sin ^2x\)
- \(\cos 2x=\cos x\)
- \(\sin 2x−\cos 2x=1\)
- \(\sin ^2x−2=\cos 2x\)
- \(\cot x+\tan x=2\csc 2x\)
Respuestas para problemas de revisión
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.17.