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3.4.5: Fórmulas de ángulo medio

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Derivación de fórmulas de seno y coseno para medio ángulo dado

    Después de toda tu experiencia con funciones trigonométricas, te sientes bastante bien. Conoces los valores de las funciones trigonométricas para muchos ángulos comunes\(30^{\circ} \), como,\(60^{\circ}\) etc. y para otros ángulos, usas regularmente tu calculadora. Supongamos que alguien te dio una ecuación como esta:

    \(\cos 75^{\circ}\)

    ¿Podrías resolverlo sin la calculadora? Podrías notar que esto es la mitad de\(150^{\circ} \). ¡Esto podría darte una pista!

    Fórmulas de ángulo medio

    Aquí intentaremos derivar y usar fórmulas para funciones trigonométricas de ángulos que son la mitad de algún valor particular.

    Para ello, comenzaremos con la fórmula de doble ángulo para coseno:\(\cos 2\theta =1−2\sin ^2\theta \). Establecer\(\theta =\dfrac{\alpha}{2}\), por lo que la ecuación anterior se convierte\(\cos 2\dfrac{\alpha}{2}=1−2\sin ^2\dfrac{\alpha}{2}\).

    Resolviendo esto para\(\sin \dfrac{\alpha}{2}\), obtenemos:

    \(\begin{aligned} \cos 2\dfrac{\alpha}{2}&=1−2\sin 2\dfrac{\alpha}{2} \\ \cos \alpha&=1−2\sin 2\dfrac{\alpha}{2} \\ 2 \sin ^2\dfrac{\alpha}{2}&=1−\cos \alpha \\ \sin ^2\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{1−\cos \alpha }{ 2} \\ \sin \dfrac{\alpha}{2}&=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}} \end{aligned}\)

    \(\sin \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el primer o segundo cuadrante.

    \(\sin \dfrac{\alpha}{2}=−\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante.

    Esta fórmula muestra cómo encontrar el seno de la mitad de algún ángulo particular.

    Una de las otras fórmulas que se derivó para el coseno de un ángulo doble es:

    \(\cos 2\theta =2\cos ^2\theta −1\). Establecer\(\theta =\dfrac{\alpha}{2}\), así la ecuación se convierte\(\cos 2\dfrac{\alpha}{2}=−1+2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}\). Resolviendo esto para\(\cos \dfrac{\alpha}{2}\), obtenemos:

    \(\begin{aligned} \cos 2\dfrac{\alpha}{2}&=2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}−1 \\ \cos \alpha&=2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}−1 \\ 2\cos ^2\dfrac{\alpha}{2}&=1+\cos \alpha \\ \cos ^2\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{1+\cos \alpha }{2} \\ \cos \dfrac{\alpha}{2} &=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\end{aligned}\)

    \(\cos \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el primer o cuarto cuadrante.

    \(\cos \dfrac{\alpha}{2}=−\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el segundo o cuarto cuadrante.

    Esta fórmula muestra cómo encontrar el coseno de la mitad de algún ángulo particular.

    Veamos algunos ejemplos de estas dos fórmulas (seno y coseno de medio ángulos) en acción.

    1. Determinar el valor exacto de\(\sin 15^{\circ} \).

    Utilizando la identidad de medio ángulo\(\alpha =30^{\circ} \),, y\(15^{\circ} \) se ubica en el primer cuadrante. Por lo tanto,\(\sin \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\).

    \(\begin{aligned} \sin 15^{\circ} &=\sqrt{\dfrac{1−\cos 30^{\circ} }{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{2−\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2−\sqrt{3}}{4}} \end{aligned}\)

    Al enchufar esto a una calculadora,\(\sqrt{\dfrac{2−\sqrt{3}}{4}}\approx 0.2588\). El uso de la función seno en su calculadora validará que esta respuesta sea correcta.

    2. Utilice la identidad de medio ángulo para encontrar el valor exacto de\(\sin 112.5^{\circ}\)

    Ya que\(\sin \dfrac{225^{\circ} }{2}=\sin 112.5^{\circ} \), use la fórmula de medio ángulo para seno, donde\(\alpha =225^{\circ} \). En este ejemplo, el ángulo\(112.5^{\circ} \) es un ángulo de segundo cuadrante, y el SIN[1] de un segundo ángulo de cuadrante es positivo.

    \(\begin{aligned} \sin 112.5^{\circ} &=\sin \dfrac{225^{\circ} }{2} \\&=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos 225^{\circ} }{2}}\\ &=+\sqrt{\dfrac{1−\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ &=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}} \end{aligned}\)

    3. Utilice la fórmula de medio ángulo para la función coseno para probar que la siguiente expresión es una identidad:\(2\cos ^2 \dfrac{x}{2}−\cos x=1\)

    Usa la fórmula\(\cos \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}\) y sumételo en el lado izquierdo de la expresión.

    \(\begin{aligned} 2 \left(\sqrt{\dfrac{1+\cos \theta }{2}}\right)^2−\cos \theta&=1 \\ 2\left(\dfrac{1+\cos \theta }{2}\right)−\cos \theta&=1\\ 1+\cos \theta −\cos \theta&=1 \\ 1&=1 \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Antes, te pidieron que encontraras\(\cos 75^{\circ} \). Si usa la fórmula de medio ángulo, entonces\(\alpha =150^{\circ}\)

    Sustituyendo esto en la fórmula de medio ángulo:

    Solución

    \(\sin \dfrac{150^{\circ} }{2}=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\dfrac{1−\cos 150^{\circ} }{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar la identidad:\(\tan \dfrac{b}{2} =\dfrac{\sec b}{\sec b \csc b+\csc b}\)

    Solución

    Paso 1: Cambia el lado derecho a seno y coseno.

    \ (\ begin {alineado}
    \ tan\ dfrac {b} {2} &=\ dfrac {\ sec b} {\ sec b\ csc b+\ csc b}\\
    &=\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ csc b (\ seg b+1)\\
    &=\ dfrac {1} {\ cos}\ div\ dfrac {1} {\ sin b}\ izquierda (\ dfrac {1} {\ cos b} +1\ derecha)\\
    &=\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ dfrac {1} {\ sin b}\ izquierda (\ dfrac {1+\ cos b} {\ cos b}\ derecha)\\
    &=\ dfrac {1} {\ cos b}\ div\ dfrac {1+\ cos b} {\ sin b\ cos b}\\
    &=\ dfrac {1} {\ cos b}\ cdot\ dfrac {\ sin b\ cos b} {\ cos b}\\
    &=\ dfrac {\ sin b} {1+\ cos b}
    \ final {alineado}\)

    Paso 2: En el último paso anterior, hemos simplificado el lado derecho tanto como sea posible, ahora simplificamos el lado izquierdo, usando la fórmula de medio ángulo.

    \ (\ begin {alineado}
    \ sqrt {\ dfrac {1-\ cos b} {1+\ cos b}} &=\ dfrac {\ sin b} {1+\ cos b}\
    \ dfrac {1-\ cos b} {1+\ cos b} &=\ dfrac {\ sin ^ {2} b} {(1+\ cos b) ^ {2}}\
    (1-\ cos b) (1+\ cos b) ^ {2} &=\ sin ^ {2} b (1+\ cos b)\\
    (1-\ cos b) (1+\ cos b) &=\ sin ^ {2} b\ \
    1-\ cos ^ {2} b &=\ sin ^ {2} b
    \ final {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Verificar la identidad:\(\cot \dfrac{c}{2} =\dfrac{\sin c}{1-\cos c}\)

    Solución

    Paso 1: cambiar cotangente a coseno sobre seno, luego multiplica de forma cruzada.

    \ (\ comenzar {alineado}
    \ cuna\ dfrac {c} {2} &=\ dfrac {\ sin c} {1-\ cos c}\\
    &=\ dfrac {\ cos\ dfrac {c} {2}} {\ sin\ dfrac {c} {2}} =\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {1+\ cos c} {1- cos\ c}}
    \\\ sqrt {\ dfrac {1+\ cos c} {1-\ cos c}} &=\ dfrac {\ sin c} {1-\ cos c}\
    \ dfrac {1+\ cos c} {1-\ cos c} & amp; =\ dfrac {\ sin ^ {2} c} {(1-\ cos c) ^ {2}}\\
    (1+\ cos c) (1-\ cos c) ^ {2} &=\ sin ^ {2} c (1-\ cos c)\\
    (1+\ cos c) (1-\ cos c) &=\ sin ^ {2} c\\
    1- cos ^ {2} c &=\ sin ^ {2} c
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que\(\sin x \tan \dfrac{x}{2}+2\cos x=2\cos ^2 \dfrac{x}{2}\)

    Solución

    \ (\ comenzar {matriz} {l}
    \ sin x\ tan\ dfrac {x} {2} +2\ cos x=\ sin x\ izquierda (\ dfrac {1-\ cos x} {\ sin x}\ derecha) +2\ cos x\
    \ sin x\\ sin x\ dfrac {x} {2} +2\ cos x=1-\ cos x+2\ cos x
    \\ sin x\ tan\ dfrac {x} {2} +2\ cos x=1+\ cos x\
    \ sin x\ tan\ dfrac {x} {2} +2\ cos x=2\ cos ^ {2 }\ dfrac {x} {2}
    \ end {array}\)

    Revisar

    Usa identidades de medio ángulo para encontrar los valores exactos de cada expresión.

    1. \(\sin 22.5^{\circ}\)
    2. \(\sin 75^{\circ}\)
    3. \(\sin 67.5^{\circ}\)
    4. \(\sin 157.5^{\circ}\)
    5. \(\cos 22.5^{\circ}\)
    6. \(\cos 75^{\circ}\)
    7. \(\cos 157.5^{\circ}\)
    8. \(\cos 67.5^{\circ}\)
    9. Utilice las dos identidades de medio ángulo que se presentan en esta sección para demostrarlo\(\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\).
    10. Usa el resultado del problema anterior para demostrarlo\(\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1−\cos x}{\sin x}\).
    11. Usa el resultado del problema anterior para demostrarlo\(\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\).

    Usa identidades de medio ángulo para ayudarte a encontrar todas las soluciones a las siguientes ecuaciones en el intervalo\([0,2\pi)\).

    1. \(\sin ^2x=\cos ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
    2. \(\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}\)
    3. \(\cos ^2x=\sin ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
    4. \(\sin ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=2\cos ^2x−1\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.11.

    El vocabulario

    Término Definición
    Identidad de medio ángulo Una identidad de medio ángulo relaciona una función trigonométrica de la mitad de un argumento con un conjunto de funciones trigonométricas, cada una de las cuales contiene el argumento original.

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Fórmulas de medio ángulo - Descripción general


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