3.4.6: Ecuaciones Trigonométricas Usando Fórmulas de Medio Ángulo

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Simplificando las seis funciones trigonométricas con medio ángulo dado.

Como has visto muchas veces, la capacidad de encontrar los valores de las funciones trigonométricas para una variedad de ángulos es un componente crítico para un curso en Trigonometría. Si te dieran un ángulo como argumento de una función trigonométrica que era la mitad de un ángulo con el que estabas familiarizado, ¿podrías resolver la función trigonométrica?

Por ejemplo, si te pidieron que encontraras

\(\sin 22.5^{\circ}\)

¿Serías capaz de hacerlo? Sigue leyendo, y en esta sección aprenderás a hacerlo.

Uso de fórmulas de medio ángulo en ecuaciones trigonométricas

Es fácil recordar los valores de las funciones trigonométricas para ciertos valores comunes de\(\theta \). Sin embargo, a veces habrá valores fraccionarios de funciones trigonométricas conocidas, como querer conocer el seno de la mitad del ángulo con el que estás familiarizado. En situaciones como esa, una identidad de medio ángulo puede resultar valiosa para ayudar a calcular el valor de la función trigonométrica.

Además, las identidades de medio ángulo se pueden utilizar para simplificar problemas a resolver para ciertos ángulos que satisfacen una expresión. Para ello, primero recuerde las identidades de medio ángulo para seno y coseno:

\(\sin \alpha 2=\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha }{2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el primer o segundo cuadrante.

\(\sin \alpha 2=−\sqrt{\dfrac{1−\cos \alpha}{ 2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante.

\(\cos \alpha 2=\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{ 2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el primer o cuarto cuadrante.

\(\cos \alpha 2=−\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}\)si\(\dfrac{\alpha}{2}\) se encuentra en el segundo o cuarto cuadrante.

Al intentar resolver ecuaciones usando una identidad de medio ángulo, busque un lugar para sustituir usando una de las identidades anteriores. Esto puede ayudar a simplificar la ecuación a resolver.

Veamos algunos problemas que utilizan la fórmula de medio ángulo.

1. Resolver la ecuación trigonométrica\(\sin ^2\theta =2\sin ^2 \dfrac{\theta }{2}\) a lo largo del intervalo\([0,2\pi )\).

\(\begin{aligned} \sin ^2\theta&=2\sin ^2 \dfrac{\theta }{2} \\ \sin ^2\theta&=2\left(\dfrac{1−\cos \theta }{2}\right) && \text{ Half angle identity}\\ 1−\cos ^2\theta &=1−\cos \theta &&\text{Pythagorean identity}\\ \cos \theta −\cos ^2\theta&=0 \\ \cos \theta (1−\cos \theta )&=0 \end{aligned}\)

Entonces\(\cos \theta =0\) o\(1−\cos \theta =0\), que es\(\cos \theta\).

\(\theta =0,\; \dfrac{\pi }{2},\; \dfrac{3\pi }{2},\; \text{ or } 2\pi \).

2. Resolver\(2\cos ^2\dfrac{x}{2}=1\) para\(0\leq x<2\pi\)

Para resolver\(2\cos ^2\dfrac{x}{2}=1\), primero necesitamos aislar el coseno, luego usar la fórmula de medio ángulo.

\(\begin{aligned} 2\cos ^2\dfrac{x}{2}&=1 \\ \cos ^2 \dfrac{x}{2}&=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1+\cos x}{2}&=\dfrac{1}{2} \\ 1+\cos x&=1 \\ \cos x&=0 \end{aligned}\)

\(\cos x=0\)cuando\(x=\dfrac{\pi }{2},\; \dfrac{3\pi }{2}\)

3. Resolver\(\tan \dfrac{a}{2}=4\) para\(0^{\circ} \leq a<360^{\circ}\)

Para resolver\(\tan \dfrac{a}{2}=4\), primero aísla la tangente, luego usa la fórmula de medio ángulo.

\ (\ begin {alineado}
\ tan\ dfrac {a} {2} &=4\\
\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos a} {1+\ cos a}} &=4\
\\ dfrac {1-\ cos a} {1+\ cos a} &=16\
16+16\ cos a &=1-\ cos a\
17\ cos a &=-15\\
\ cos a &=-\ dfrac {15} {17}
\ end {alineado}\)

usando tu calculadora gráfica,\(\cos a=−\dfrac{15}{17}\) cuando\(a=152^{\circ} ,\; 208^{\circ}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se te pidió que resolvieras el pecado\(22.5^{\circ}\).

Solución

Conociendo las fórmulas de medio ángulo, puede calcular\(\sin 22.5^{\circ} \) fácilmente:

\ (\ comenzar {alineado}
\ sin 22.5^ {\ circ} &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {45^ {\ circ}} {2}\ derecha)\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos 45^ {\ circ}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ dfrac {\ sqr rt {2}} {2}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {2}} {2}}\\
&= sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {4}}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {2-\ sqrt {2}}} {2}
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor exacto de\(\cos 112.5^{\circ}\)

Solución

\ (\ begin {alineado}
\ sin 105^ {\ circ} &=\ sin\ dfrac {210^ {\ circ}} {2}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos 210^ {\ circ}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {1-\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {2-\ sqrt {3}} {2}} {2}}\\
&=\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {3}} {4}}\\
&=\ dfrac {\ sqrt {2-\ sqrt {3}}} {2}
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor exacto de\(\sin 105^{\circ}\)

Solución

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor exacto de\(\tan \dfrac{7\pi }{8}\).

Solución

\(\begin{aligned} \tan \dfrac{7\pi }{8} &=\tan \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{7\pi }{4} \\ &=\dfrac{1−\cos \dfrac{7\pi }{4} }{\sin \dfrac{7\pi }{4}} \\ &=\dfrac{1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{−\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ &=\dfrac{\dfrac{2−\sqrt{2}}{2}}{−\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\&=−\dfrac{2−\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{−2\sqrt{2}+2}{2} \\ &=−\sqrt{2}+1 \end{aligned}\)

Revisar

Usa identidades de medio ángulo para encontrar el valor exacto de cada expresión.

\(\tan 15^{\circ}\)
\(\tan 22.5^{\circ}\)
\(\cot 75^{\circ}\)
\(\tan 67.5^{\circ}\)
\(\tan 157.5^{\circ}\)
\(\tan 112.5^{\circ}\)
\(\cos 105^{\circ}\)
\(\sin 112.5^{\circ}\)
\(\sec 15^{\circ}\)
\(\csc 22.5^{\circ}\)
\(\csc 75^{\circ}\)
\(\sec 67.5^{\circ}\)
\(\cot 157.5^{\circ}\)

Utilice identidades de medio ángulo para ayudar a resolver cada una de las siguientes ecuaciones en el intervalo\([0,2\pi )\).

\(3\cos ^2 \left(\dfrac{x}{2}\right)=3\)
\(4\sin ^2x=8\sin ^2\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.12.

El vocabulario

Término	Definición
Identidad de medio ángulo	Una identidad de medio ángulo relaciona una función trigonométrica de la mitad de un argumento con un conjunto de funciones trigonométricas, cada una de las cuales contiene el argumento original.