3.5.1: Fórmulas de suma a producto para seno y coseno

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 107714

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Relación de la suma o diferencia de dos funciones trigonométricas con un producto.

¿Se pueden resolver problemas que involucren la suma de senos o cosenos? Por ejemplo, considere la ecuación:

\(\cos 10t+\cos 3t\)

Podrías simplemente calcular cada expresión por separado y agregar sus valores al final. No obstante, hay una manera más fácil de hacer esto. Se puede simplificar la ecuación primero, y luego resolver.

Seno y Cosino Suma a Fórmulas de Producto

En algunos problemas, el producto de dos funciones trigonométricas se encuentra más convenientemente por la suma de dos funciones trigonométricas mediante el uso de identidades.

Aquí hay un ejemplo:

\(\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\)

Esto se puede verificar usando las fórmulas de suma y diferencia:

\ (\ begin {array} {l}
2\ sin\ dfrac {\ alpha+\ beta} {2}\ cos\ dfrac {\ alpha-\ beta} {2}\\
=2\ izquierda [\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ alpha} {2} +\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ dfrac {\ alpha} {2} -\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha)\ derecha]\\
=2\ izquierda [\ izquierda (\ sin\ dfrac {\ alpha} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2} +\ cos \ dfrac {\ alpha} {2}\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha)\ izquierda (\ cos\ dfrac {\ alpha} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2} +\ sin\ dfrac {\ alpha} {2}\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha)\ derecha]\\
=2\ izquierda [\ sin\ dfrac {\ alfa} {2}\ cos\ dfrac {\ alfa} {2}\ cos ^ {2}\ dfrac {\ beta} {2} +\ sin ^ {2}\ dfrac {\ alpha} {2}\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2} +\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ cos ^ {2}\ dfrac {\ alpha} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2} +\ sin\ dfrac {\ alpha} {2}\ sin ^ {2}\ dfrac {\ beta} {2}\ cos\ dfrac {alfa\} {2}\ derecha]\\
=2\ izquierda [\ sin\ dfrac {\ alfa} {2}\ cos\ dfrac {\ alpha} {2}\ izquierda (\ sin ^ {2}\ dfrac {\ beta} {2} +\ cos ^ {2}\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha) +\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2}\ izquierda (\ sin ^ {2}\ dfrac {\ alpha} {2} +\ cos ^ {2}\ dfrac {\ alfa} {2}\ derecha)\ derecha]\
= 2\ izquierda [\ sin\ dfrac {\ alfa} {2}\ cos\ dfrac {\ alfa} {2} +\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha]\\
=2\ sin\ dfrac {\ alfa} {2}\ cos\ dfrac {\ alfa} {2} +2\ sin\ dfrac {\ beta} {2}\ cos\ dfrac {\ beta} {2}\\
=\ sin\ izquierda (2\ cdot\ dfrac {\ alpha} {2}\ derecha) +\ sin\ izquierda (2\ cdot\ dfrac {\ beta} {2}\ derecha)\\
=\ sin\ alpha+\ sin\ beta
\ end {array}\)

Las siguientes variaciones se pueden derivar de manera similar:

\(\begin{aligned} \sin \alpha −\sin \beta &=2\sin \dfrac{\alpha −\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta &=2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2} \\ \cos \alpha −\cos \beta &=−2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \sin \dfrac{\alpha −\beta }{2}\end{aligned}\)

Aquí hay algunos problemas al utilizar este tipo de transformación de una suma de términos a un producto de términos.

1. Cambiar\(\sin 5x−\sin 9x\) a un producto.

Usa la fórmula\(\sin \alpha −\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha −\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\).

\(\begin{aligned} \sin 5x−\sin 9x&=2\sin \dfrac{5x−9x}{2} \cos \dfrac{5x+9x}{2} \\&=2\sin (−2x)\cos 7x \\ &=−2\sin 2x\cos 7x \end{aligned}\)

2. Cambiar\(\cos (−3x)+\cos 8x\) a un producto.

Usa la fórmula\(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2} \times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\)

\(\begin{aligned} \cos (−3x)+\cos (8x)&=2\cos \dfrac{−3x+8x}{2} \cos \dfrac{−3x−8x}{2} \\&=2\cos (2.5x)\cos (−5.5x)\\&=2\cos (2.5x)\cos (5.5x) \end{aligned}\)

3. Cambiar\(2\sin 7x\cos 4x\) a una suma.

Esto es lo contrario de lo que se hizo en los dos ejemplos anteriores. Mirando las cuatro fórmulas anteriores, tomar como producto la que tiene seno y coseno,\(\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2} \times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\). Por lo tanto,\(7x=\dfrac{\alpha +\beta }{2}\) y\(4x=\dfrac{\alpha −\beta }{2}\).

\(\begin{aligned} 7x&=\dfrac{\alpha +\beta }{2} & 4x&=\dfrac{\alpha −\beta }{2} \\ & \qquad \qquad \qquad \text{and}& & \\ 14x&=\alpha +\beta & 8x&=\alpha −\beta \\ \alpha &=14x−\beta & 8x&=[14x−\beta ]−\beta \\ & \qquad \qquad \qquad \text{so}& &\\ \alpha &=14x−3x & −6x&=−2\beta \\ \alpha &=11x & 3x&=\beta \end{aligned}\)

Entonces, esto se traduce en\(\sin (11x)+\sin (3x)\). Un atajo para este problema, sería notar que la suma de\(7x\) y\(4x\) es\(11x\) y la diferencia es\(3x\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se le pidió que resolviera

\(\cos 10t+\cos 3t\)

Solución

Puede transformar fácilmente esta ecuación en un producto de dos funciones trigonométricas usando:

\(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2} \times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\)

Sustituyendo las cantidades conocidas:

\(\cos 10t+\cos 3t=2\cos \dfrac{13t}{2} \times \cos \dfrac{7t}{2}=2\cos (6.5t)\cos (3.5t)\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Exprese la suma como producto:\(\sin 9x+\sin 5x\)

Solución

Usando la fórmula de suma a producto:

\(\begin{aligned} &\sin 9x+\sin 5x \\ &2\left(\sin \left(\dfrac{9x+5x}{2}\right)\cos \left(\dfrac{9x−5x}{2}\right)\right) \\ & 2\sin 7x\cos 2x \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Expresa la diferencia como producto:\(\cos 4y−\cos 3y\)

Solución

Usando la fórmula de la diferencia al producto:

\(\begin{aligned} &\cos 4y−\cos 3y \\ &−2\sin \left(\dfrac{4y+3y}{2}\right) \sin \left(\dfrac{4y−3y}{2}\right) \\ &−2\sin \dfrac{7y}{2} \sin \dfrac{y}{2} \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Verifique la identidad (usando la fórmula de suma a producto):\(\dfrac{\cos 3a−\cos 5a}{\sin 3a−\sin 5a}=−\tan 4a\)

Solución

Usando las fórmulas de diferencia a producto:

\(\begin{aligned} \dfrac{\cos 3a−\cos 5a}{\sin 3a−\sin 5a}&=−\tan 4a \\ \dfrac{−2\sin \left(\dfrac{3a+5a}{2}\right)\sin \left(\dfrac{3a−5a}{2}\right) }{2\sin \left(\dfrac{3a−5a}{2}\right) \cos \left(\dfrac{3a+5a}{2}\right)}& \\ −\dfrac{\sin 4a}{\cos 4a }&\\ −\tan 4a & \end{aligned}\)

Revisar

Cambiar cada suma o diferencia en un producto.

\(\sin 3x+\sin 2x\)
\(\cos 2x+\cos 5x\)
\(\sin (−x)−\sin 4x\)
\(\cos 12x+\cos 3x\)
\(\sin 8x−\sin 4x\)
\(\sin x+\sin \dfrac{1}{2} x\)
\(\cos 3x−\cos (−3x)\)

Cambiar cada producto en una suma o diferencia.

\(−2\sin 3.5x\sin 2.5x\)
\(2\cos 3.5x\sin 0.5x\)
\(2\cos 3.5x\cos 5.5x\)
\(2\sin 6x\cos 2x\)
\(−2\sin 3x\sin x\)
\(2\sin 4x\cos x\)
\(\cos \dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{A−B}{2}=\dfrac{1}{2}(\cos A+\cos B)\)Demuéstralo.
Dejar\(u=\dfrac{A+B}{2}\) y\(v=\dfrac{A−B}{2}\). \(\cos u\cos v=\dfrac{1}{2}(\cos (u+v)+\cos (u−v))\)Demuéstralo.

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.13.

vocabulario

Término	Definición
Suma a la fórmula del producto	Una fórmula de suma a producto relaciona la suma o diferencia de dos funciones trigonométricas con el producto de dos funciones trigonométricas.

Recursos adicionales

Video: Fórmulas Suma a Producto - Descripción