3.5.2: Fórmulas de producto a suma para seno y coseno

Relación del producto de dos funciones trigonométricas con una suma o diferencia.

Digamos que algún día estás en clase, trabajando en calcular los valores de las funciones trigonométricas, cuando tu instructor te da una ecuación como esta:

\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}\)

¿Se puede resolver este tipo de ecuaciones? Es posible que desee calcular cada término por separado y luego calcular el resultado. No obstante, hay otra manera. Puede transformar este producto de funciones trigonométricas en una suma de funciones trigonométricas.

Sigue leyendo, y al final de esta lección, sabrás cómo resolver este problema cambiándolo en una suma de funciones trigonométricas.

Fórmulas de producto a suma para seno y coseno

Aquí comenzaremos derivando fórmulas de cómo convertir el producto de dos funciones trigonométricas en una suma o diferencia de funciones trigonométricas.

Existen dos fórmulas para transformar un producto de seno o coseno en una suma o diferencia. Primero, veamos el producto del seno de dos ángulos. Para ello, necesitamos comenzar con el coseno de la diferencia de dos ángulos.

\ (\ begin {array} {l}
\ cos (a-b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b\ texto {y}\ cos (a+b) =\ cos a\ cos b-\ sin a\ sin b\
\ cos (a-b) -\ cos (a+b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b- (\ cos a\ cos b- sin a\ sin b)\\
\ cos (a-b) -\ cos (a+b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b-\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b\\
\ cos (a-b) -\ cos (a+b) =2\ sin a\ sin b\
\ dfrac {1} {2} [\ cos (a-b) -\ cos (a+b)] =\ sin a\ sin b
\ end {array}\)

Las siguientes fórmulas de producto para sumar se pueden derivar usando el mismo método:

\(\begin{aligned} \cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha −\beta )+\cos (\alpha +\beta )] \\ \sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha −\beta )] \\ \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )−\sin (\alpha −\beta )] \end{aligned}\)

Uso de la fórmula del producto para sumar

1. Cambiar\(\cos 2x\cos 5y\) a una suma.

Usa la fórmula\(\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha −\beta )+\cos (\alpha +\beta )]\). Establecer\(\alpha =2x\) y\(\beta =5y\).

\(\cos 2x \cos 5y=\dfrac{1}{2}[\cos (2x−5y)+\cos (2x+5y)]\)

2. Cambiar\(\dfrac{\sin 11z+\sin z}{2}\) a un producto.

Usa la fórmula\(\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha −\beta )]\). Por lo tanto,\(\alpha +\beta =11z\) y\(\alpha −\beta =z\). Resuelve la segunda ecuación para\ alpha y conéctalo a la primera.

\(\begin{aligned} \alpha =z+\beta \rightarrow (z+\beta )+\beta &=11z \qquad \text{ and }\quad \alpha =z+5z=6z\\ z+2\beta &=11z \\ 2\beta &=10z \\ \beta &=5z \end{aligned}\)

\(\dfrac{\sin 11z+\sin z}{2}=\sin 6z\cos 5z\). Nuevamente, la suma de\(6z\) y\(5z\) es\(11z\) y la diferencia es\(z\).

3. Resolver\(\cos 5x+\cos x=\cos 2x\).

Usa la fórmula\(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\).

\ (\ begin {alineado}
\ cos 5 x+\ cos x&=\ cos 2 x\
2\ cos 3 x\ cos 2 x&=\ cos 2 x\
2\ cos 3 x\ cos 3 x\ cos 2 x-\ cos 2 x&=0\
\ cos 2 x (2\ cos 3 x-1) &=0\ end {alineado}\\\ begin {alineado}
\ swarrow &&\ searrow\ qquad\ qquad y ;\\
\ cos 2 x&=0 & 2\ cos 3 x-1&=0\\
& & 2\ cos 3 x&=1\\
2 x&=\ dfrac {\ pi} {2},\ dfrac {3\ pi} {2} &\ text {y}\ quad\ cos 3 x=&\ dfrac {1} {2}\
x&=\ dfrac {\ pi} {4},\ dfrac {3\ pi} {4} & 3 x&=\ dfrac {\ pi} {3},\ dfrac {5\ pi} {3},\ dfrac {7\ pi} {3},\ dfrac {11\ pi} {3},\ dfrac {13\ pi} {3},\ dfrac {17\ pi} {3}\\
& & x&=\ dfrac {\ pi} {9},\ dfrac {5\ pi} {9},\ dfrac {7\ pi} {9},\ dfrac {11\ pi} {9},\ dfrac {13\ pi} {9},\ dfrac {17\ pi} {9}
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, se te pidió que resolvieras el pecado\(75^{\circ} \sin 15^{\circ}\).

Solución

El cambio\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}\) a un producto de funciones trigonométricas se puede lograr usando

\(\sin a\sin b=\dfrac{1}{2} [\cos (a−b)−\cos (a+b)]\)

Sustituir en valores conocidos da:

\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}=\dfrac{1}{2} [\cos (60^{\circ})−\cos (90^{\circ})]=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}−0\right]=\dfrac{1}{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Exprese el producto como una suma:\(\sin (6\theta )\sin (4\theta )\)

Solución

Usando la fórmula de producto a suma:

\(\sin 6\theta \sin 4\theta \\ \dfrac{1}{2} (\cos (6\theta −4\theta )−\cos (6\theta +4\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\cos 2\theta −\cos 10\theta )\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Exprese el producto como una suma:\(\sin (5\theta )\cos (2\theta )\)

Solución

Usando la fórmula de producto a suma:

\(\sin 5\theta \cos 2\theta \\ \dfrac{1}{2}(\sin (5\theta +2\theta )−\sin (5\theta −2\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\sin 7\theta −\sin 3\theta )\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Exprese el producto como una suma:\(\cos (10\theta )\sin (3\theta )\)

Solución

Usando la fórmula de producto a suma:

\(\cos 10\theta \sin 3\theta \\ \dfrac{1}{2}(\sin (10\theta +3\theta )−\sin (10\theta −3\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\sin 13\theta −\sin 7\theta ) \)

Revisar

Exprese cada producto como suma o diferencia.

1. \(\sin (5\theta )\sin (3\theta )\)
2. \(\sin (6\theta )\cos (\theta )\)
3. \(\cos (4\theta )\sin (3\theta )\)
4. \(\cos (\theta )\cos (4\theta )\)
5. \(\sin (2\theta )\sin (2\theta )\)
6. \(\cos (6\theta )\sin (8\theta )\)
7. \(\sin (7\theta )\cos (4\theta )\)
8. \(\cos (11\theta )\cos (2\theta )\)

Exprese cada suma o diferencia como un producto.

9. \(\dfrac{\sin 8\theta +\sin 6\theta }{2}\)
10. \(\dfrac{\sin 6\theta −\sin 2\theta }{2}\)
11. \(\dfrac{\cos 12\theta +\cos 6\theta }{2}\)
12. \(\dfrac{\cos 12\theta −\cos 4\theta }{2}\)
13. \(\dfrac{\sin 10\theta +\sin 4\theta }{2}\)
14. \(\dfrac{\sin 8\theta −\sin 2\theta }{2}\)
15. \(\dfrac{\cos 8\theta −\cos 4\theta }{2}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.14.

El vocabulario

Término	Definición
Fórmula de producto a suma	Una fórmula de producto a suma relaciona el producto de dos funciones trigonométricas con la suma de dos funciones trigonométricas.

Recursos adicionales

Video: Fórmulas de producto a suma - Ejemplo 1

Práctica: Fórmulas de producto a suma para seno y coseno