3.5.2: Fórmulas de producto a suma para seno y coseno
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Relación del producto de dos funciones trigonométricas con una suma o diferencia.
Digamos que algún día estás en clase, trabajando en calcular los valores de las funciones trigonométricas, cuando tu instructor te da una ecuación como esta:
\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}\)
¿Se puede resolver este tipo de ecuaciones? Es posible que desee calcular cada término por separado y luego calcular el resultado. No obstante, hay otra manera. Puede transformar este producto de funciones trigonométricas en una suma de funciones trigonométricas.
Sigue leyendo, y al final de esta lección, sabrás cómo resolver este problema cambiándolo en una suma de funciones trigonométricas.
Fórmulas de producto a suma para seno y coseno
Aquí comenzaremos derivando fórmulas de cómo convertir el producto de dos funciones trigonométricas en una suma o diferencia de funciones trigonométricas.
Existen dos fórmulas para transformar un producto de seno o coseno en una suma o diferencia. Primero, veamos el producto del seno de dos ángulos. Para ello, necesitamos comenzar con el coseno de la diferencia de dos ángulos.
\ (\ begin {array} {l}
\ cos (a-b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b\ texto {y}\ cos (a+b) =\ cos a\ cos b-\ sin a\ sin b\
\ cos (a-b) -\ cos (a+b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b- (\ cos a\ cos b- sin a\ sin b)\\
\ cos (a-b) -\ cos (a+b) =\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b-\ cos a\ cos b+\ sin a\ sin b\\
\ cos (a-b) -\ cos (a+b) =2\ sin a\ sin b\
\ dfrac {1} {2} [\ cos (a-b) -\ cos (a+b)] =\ sin a\ sin b
\ end {array}\)
Las siguientes fórmulas de producto para sumar se pueden derivar usando el mismo método:
\(\begin{aligned} \cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha −\beta )+\cos (\alpha +\beta )] \\ \sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha −\beta )] \\ \cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )−\sin (\alpha −\beta )] \end{aligned}\)
Uso de la fórmula del producto para sumar
1. Cambiar\(\cos 2x\cos 5y\) a una suma.
Usa la fórmula\(\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\cos (\alpha −\beta )+\cos (\alpha +\beta )]\). Establecer\(\alpha =2x\) y\(\beta =5y\).
\(\cos 2x \cos 5y=\dfrac{1}{2}[\cos (2x−5y)+\cos (2x+5y)]\)
2. Cambiar\(\dfrac{\sin 11z+\sin z}{2}\) a un producto.
Usa la fórmula\(\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha −\beta )]\). Por lo tanto,\(\alpha +\beta =11z\) y\(\alpha −\beta =z\). Resuelve la segunda ecuación para\ alpha y conéctalo a la primera.
\(\begin{aligned} \alpha =z+\beta \rightarrow (z+\beta )+\beta &=11z \qquad \text{ and }\quad \alpha =z+5z=6z\\ z+2\beta &=11z \\ 2\beta &=10z \\ \beta &=5z \end{aligned}\)
\(\dfrac{\sin 11z+\sin z}{2}=\sin 6z\cos 5z\). Nuevamente, la suma de\(6z\) y\(5z\) es\(11z\) y la diferencia es\(z\).
3. Resolver\(\cos 5x+\cos x=\cos 2x\).
Usa la fórmula\(\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\times \cos \dfrac{\alpha −\beta }{2}\).
\ (\ begin {alineado}
\ cos 5 x+\ cos x&=\ cos 2 x\
2\ cos 3 x\ cos 2 x&=\ cos 2 x\
2\ cos 3 x\ cos 3 x\ cos 2 x-\ cos 2 x&=0\
\ cos 2 x (2\ cos 3 x-1) &=0\ end {alineado}\\\ begin {alineado}
\ swarrow &&\ searrow\ qquad\ qquad y ;\\
\ cos 2 x&=0 & 2\ cos 3 x-1&=0\\
& & 2\ cos 3 x&=1\\
2 x&=\ dfrac {\ pi} {2},\ dfrac {3\ pi} {2} &\ text {y}\ quad\ cos 3 x=&\ dfrac {1} {2}\
x&=\ dfrac {\ pi} {4},\ dfrac {3\ pi} {4} & 3 x&=\ dfrac {\ pi} {3},\ dfrac {5\ pi} {3},\ dfrac {7\ pi} {3},\ dfrac {11\ pi} {3},\ dfrac {13\ pi} {3},\ dfrac {17\ pi} {3}\\
& & x&=\ dfrac {\ pi} {9},\ dfrac {5\ pi} {9},\ dfrac {7\ pi} {9},\ dfrac {11\ pi} {9},\ dfrac {13\ pi} {9},\ dfrac {17\ pi} {9}
\ end {alineado}\)
Antes, se te pidió que resolvieras el pecado\(75^{\circ} \sin 15^{\circ}\).
Solución
El cambio\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}\) a un producto de funciones trigonométricas se puede lograr usando
\(\sin a\sin b=\dfrac{1}{2} [\cos (a−b)−\cos (a+b)]\)
Sustituir en valores conocidos da:
\(\sin 75^{\circ}\sin 15^{\circ}=\dfrac{1}{2} [\cos (60^{\circ})−\cos (90^{\circ})]=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}−0\right]=\dfrac{1}{4}\)
Exprese el producto como una suma:\(\sin (6\theta )\sin (4\theta )\)
Solución
Usando la fórmula de producto a suma:
\(\sin 6\theta \sin 4\theta \\ \dfrac{1}{2} (\cos (6\theta −4\theta )−\cos (6\theta +4\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\cos 2\theta −\cos 10\theta )\)
Exprese el producto como una suma:\(\sin (5\theta )\cos (2\theta )\)
Solución
Usando la fórmula de producto a suma:
\(\sin 5\theta \cos 2\theta \\ \dfrac{1}{2}(\sin (5\theta +2\theta )−\sin (5\theta −2\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\sin 7\theta −\sin 3\theta )\)
Exprese el producto como una suma:\(\cos (10\theta )\sin (3\theta )\)
Solución
Usando la fórmula de producto a suma:
\(\cos 10\theta \sin 3\theta \\ \dfrac{1}{2}(\sin (10\theta +3\theta )−\sin (10\theta −3\theta )) \\ \dfrac{1}{2} (\sin 13\theta −\sin 7\theta ) \)
Revisar
Exprese cada producto como suma o diferencia.
- \(\sin (5\theta )\sin (3\theta )\)
- \(\sin (6\theta )\cos (\theta )\)
- \(\cos (4\theta )\sin (3\theta )\)
- \(\cos (\theta )\cos (4\theta )\)
- \(\sin (2\theta )\sin (2\theta )\)
- \(\cos (6\theta )\sin (8\theta )\)
- \(\sin (7\theta )\cos (4\theta )\)
- \(\cos (11\theta )\cos (2\theta )\)
Exprese cada suma o diferencia como un producto.
- \(\dfrac{\sin 8\theta +\sin 6\theta }{2}\)
- \(\dfrac{\sin 6\theta −\sin 2\theta }{2}\)
- \(\dfrac{\cos 12\theta +\cos 6\theta }{2}\)
- \(\dfrac{\cos 12\theta −\cos 4\theta }{2}\)
- \(\dfrac{\sin 10\theta +\sin 4\theta }{2}\)
- \(\dfrac{\sin 8\theta −\sin 2\theta }{2}\)
- \(\dfrac{\cos 8\theta −\cos 4\theta }{2}\)
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
Término | Definición |
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Fórmula de producto a suma | Una fórmula de producto a suma relaciona el producto de dos funciones trigonométricas con la suma de dos funciones trigonométricas. |