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# 3.5.3: Fórmulas de triple ángulo y combinaciones lineales

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Combinación de las fórmulas suma y doble ángulo; conjunto de términos sumados o restados con un multiplicador constante.

En otras lecciones has tratado con fórmulas de doble ángulo. Esto fue útil para encontrar el valor de un ángulo que era el doble de su valor conocido. Consideremos ahora la idea de una “fórmula de triple ángulo”. Si alguien te dio un problema como este:

$$\sin 135^{\circ}$$

¿Podrías calcular su valor?

### Fórmulas de triple ángulo y combinaciones lineales

Las fórmulas de doble ángulo son excelentes para calcular el valor de una función trigonométrica en ciertos casos. Sin embargo, a veces se desean múltiplos diferentes a dos veces y ángulo. Por ejemplo, podría ser deseable tener tres veces el valor de un ángulo para usar como argumento de una función trigonométrica.

Al combinar la fórmula de suma y la fórmula de doble ángulo, se pueden encontrar fórmulas para ángulos triples y más.

Aquí, tomamos una ecuación que toma una combinación lineal de seno y coseno y la convierte en una función coseno más simple.

$$A\cos x+B\sin x=C\cos (x−D)$$, dónde$$C=\sqrt{A^2+B^2}$$,$$\cos D=\dfrac{A}{C}$$ y$$\sin D=\dfrac{B}{C}$$.

También puede utilizar el TI-83 para resolver ecuaciones trigonométricas. A veces es más fácil que resolver la ecuación algebraicamente. Solo ten cuidado con las indicaciones y asegúrate de que tu respuesta final esté en la forma que se pide. Tu calculadora no puede poner radianes en términos de\ pi.

#### Encontrar fórmulas

Encuentra la fórmula para$$\sin 3x$$

Utilice tanto la fórmula de doble ángulo como la fórmula de suma.

\begin{aligned} \sin 3x&=\sin (2x+x) \\ &=\sin (2x)\cos x+\cos (2x)\sin x \\&=(2\sin x\cos x)\cos x+(\cos 2x−\sin 2x)\sin x \\ &=2\sin x\cos 2x+\cos 2x\sin x−\sin 3x \\&=3\sin x\cos 2x−\sin 3x \\&=3\sin x(1−\sin 2x)−\sin 3x \\&=3\sin x−4\sin 3x \end{aligned}

#### Realización de Transformaciones

Transformar$$3\cos 2x−4\sin 2x$$ en la forma$$C\cos (2x−D)$$

$$A=3$$y$$B=−4$$, entonces$$C=\sqrt{3^2+(−4)^2}=5$$. Por lo tanto$$\cos D=\dfrac{3}{5}$$ y$$\sin D=−\dfrac{4}{5}$$ que hace que el ángulo de referencia sea$$−53.1^{\circ}$$ o$$−0.927$$ radianes. Dado que el coseno es positivo y el seno es negativo, el ángulo debe ser un ángulo de cuarto cuadrante. $$D$$por lo tanto, debe ser$$306.9^{\circ}$$ o$$5.36$$ radianes. La respuesta final es$$3\cos 2x−4\sin 2x=5\cos (2x−5.36)$$.

#### Resolviendo valores desconocidos

Resuelve$$\sin x=2\cos x$$ tal que$$0\leq x\leq 2\pi$$ usando una calculadora gráfica.

Solución: En$$y=$$, grafica$$y_1=\sin x$$ y$$y_2=2\cos x$$.

A continuación, utilice CALC para encontrar los puntos de intersección de las gráficas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Antes, se te pidió que resolvieras el pecado$$135^{\circ}$$.

Solución

Usando la fórmula de triple ángulo que aprendimos en esta lección para la función sinusoidal, podemos dividir el ángulo en tres veces un ángulo bien conocido:

$$\sin 3x=3\sin x−4\sin ^3x$$

podemos resolver este problema.

\begin{aligned} \sin (3×45^{\circ} )&=3\sin 45^{\circ} −4\sin ^3 45^{\circ} \\&=3\dfrac{\sqrt{2} }{2}−4\left(\dfrac{\sqrt{2} }{2}\right)^3 \\ &=3\dfrac{\sqrt{2} }{2}−\left(\dfrac{4(2)^{2/3}}{8}\right) \\ &=\dfrac{3\sqrt{2} −2\sqrt{2} }{2} \\ &=\dfrac{\sqrt{2} }{2} \end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Transformar$$5\cos x−5\sin x$$ a la forma$$C\cos (x−D)$$

Solución

Si$$5\cos x−5\sin x$$, entonces$$A=5$$ y$$B=−5$$. Por el teorema de Pitágoras,$$C=5\sqrt{2}$$ y$$\cos D=55\sqrt{2} =1\sqrt{2} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}$$. Entonces, porque$$B$$ es negativo,$$D$$ está en el Cuadrante IV. Por lo tanto,$$D=\dfrac{7\pi }{4}$$. Nuestra respuesta final es$$5\sqrt{2} \cos \left(x−\dfrac{7\pi }{4}\right)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Transformar$$−15\cos 3x−8\sin 3x$$ a la forma$$C\cos (x−D)$$

Solución

Si$$−15\cos 3x−8\sin 3x$$, entonces$$A=−15$$ y$$B=−8$$. Por el teorema de Pitágoras,$$C=17$$. Porque$$A$$ y ambos$$B$$ son negativos,$$D$$ está en el Cuadrante III, lo que significa$$D=\cos ^{−1} \left(\dfrac{15}{17}\right)=0.49+\pi =3.63 \text{ rad}$$. Nuestra respuesta final es$$17\cos 3(x−3.63)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Derivar una fórmula para$$\tan 4x$$.

Solución

\ tan 4 x &=\ tan (2 x+2 x)\\
&=\ dfrac {\ tan 2 x+\ tan 2 x} {1-\ tan 2 x\ tan 2 x\ tan 2 x}\\
&=\ dfrac {2\ tan 2 x} {1-\ tan ^ {2} 2 x}\
&=\ dfrac {2\ cdot\ frac {2\ tan x} {1-\ tan ^ {2} x}} {1-\ izquierda (\ dfrac {2\ tan x} {1-\ tan ^ {2} x}\ derecha) ^ { 2}}\\
&=\ dfrac {4\ tan x} {1-\ tan ^ {2} x}\ div\ dfrac {\ izquierda (1-\ tan ^ {2} x\ derecha) ^ {2} -4\ tan ^ {2} x} {\ izquierda (1-\ tan ^ {2} x\ derecha) ^ {2}}\\
&=\ dfrac {4\ tan x} {1-\ tan ^ {2} x}\ div\ dfrac {1-2\ tan ^ {2} x+\ tan ^ {4} x-4\ tan ^ {2} x} {\ izquierda (1-\ tan ^ {2} x\ derecha) ^ {2}}\\
& amp; =\ dfrac {4\ tan x} {1-\ tan ^ {2} x}\ cdot\ dfrac {\ izquierda (1-\ tan ^ {2} x\ derecha) ^ {2}} {1-6\ tan ^ {2} x+\ tan ^ {4} x}\
&=\ dfrac {4\ tan x-4\ tan ^ {3} x} {1-6\ tan ^ {2} x+\ tan ^ {4} x}

## Revisar

Transformar cada expresión a la forma$$C \cos (x−D)$$.

1. $$3\cos x−2\sin x$$
2. $$2\cos x−\sin x$$
3. $$−4\cos x+5\sin x$$
4. $$7\cos x−6\sin x$$
5. $$11\cos x+9\sin x$$
6. $$14\cos x+2\sin x$$
7. $$−2\cos x−4\sin x$$

Derivar una fórmula para cada expresión.

1. $$\sin 4x$$
2. $$\cos 6x$$
3. $$\cos 4x$$
4. $$\csc 2x$$
5. $$\cot 2x$$

Encuentra todas las soluciones a cada ecuación en el intervalo$$[0,2\pi )$$.

1. $$\cos x+\cos 3x=0$$
2. $$\sin 2x=\cos 3x$$
3. $$\cos 2x+\cos 4x=0$$

### Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.15.

## El vocabulario

Término Definición
Combinación lineal Una combinación lineal es un conjunto de términos que se suman o restan entre sí con una constante multiplicativa frente a cada término.
Identidad de triple ángulo Una identidad de ángulo triple (también conocida como fórmula de triple ángulo) relaciona una función trigonométrica de tres veces un argumento con un conjunto de funciones trigonométricas, cada una de las cuales contiene el argumento original. Los ejemplos incluyen: la fórmula de triple ángulo para seno$$\sin (3\theta )=3\sin \theta −4\sin ^3\theta$$, la fórmula de triple ángulo para coseno$$\cos (3\theta )=−3 \cos \theta +4 \cos ^3\theta$$ y la fórmula de triple ángulo para tangente$$\tan (3\theta )=\dfrac{3 \tan \theta − \tan ^3\theta }{1−3 \tan ^2\theta }$$.