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# 4.1.5: Ángulo Lateral - El Caso Ambiguo

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## Posibles triángulos con ángulo lateral

Tu equipo acaba de ganar la bandera en un torneo de futbol de bandera en tu escuela. Como recompensa, puedes llevarte a casa la bandera y guardarla hasta el próximo juego, cuando el otro equipo intentará recuperarla. La bandera se ve así:

Hace un triángulo isósceles. Empiezas a preguntarte cuántos triángulos posibles diferentes hay para diferentes longitudes de lados. Por ejemplo, si haces un triángulo oblicuo que tiene un ángulo dado mayor a noventa grados, ¿cuántas formas hay de hacer esto? ¿Se puede determinar cuántos triángulos posibles diferentes hay si el triángulo es un triángulo isósceles?

### Triángulos SSA

En Geometría aprendiste que dos lados y un ángulo no incluido no necesariamente definen un triángulo único.

Considerar los siguientes casos dados$$a$$,$$b$$ y$$\angle A$$:

Caso 1: No existe ningún triángulo ($$a<b$$)

En este caso$$a<b$$ y lado$$a$$ es demasiado corto para llegar a la base del triángulo. Como no existe ningún triángulo, no hay solución.

Caso 2: Existe un triángulo ($$a<b$$)

En este caso,$$a<b$$ y lado$$a$$ es perpendicular a la base del triángulo. Dado que esta situación arroja exactamente un triángulo, hay exactamente una solución.

Caso 3: Existen dos triángulos ($$a<b$$)

En este caso,$$a<b$$ y lateral$$a$$ se encuentra con la base exactamente en dos puntos. Dado que existen dos triángulos, hay dos soluciones.

Caso 4: Existe un triángulo ($$a=b$$)

En este caso$$a=b$$ y lado$$a$$ se encuentra con la base exactamente en un punto. Como hay exactamente un triángulo, hay una solución.

Caso 5: Existe un triángulo ($$a>b$$)

En este caso,$$a>b$$ y el lado$$a$$ se encuentra con la base exactamente en un punto. Como hay exactamente un triángulo, hay una solución.

El Caso 3 es referido como el Caso Ambiguo porque hay dos triángulos posibles y dos posibles soluciones. Una forma de verificar para ver cuántas soluciones posibles (si las hay) tendrá un triángulo es comparar lados$$a$$ y$$b$$. Si te enfrentas a la primera situación, dónde$$a<b$$, aún podemos decir cuántas soluciones habrá mediante el uso de un y$$b\sin A$$.

Si: Entonces:
a. $$a<b$$ Sin solución, una solución, dos soluciones
i. $$a<b\sin A$$ Sin solución
ii. $$a=b\sin A$$ Una solución
iii. $$a>b\sin A$$ Dos soluciones
b. $$a=b$$ Una solución
c. $$a>b$$ Una solución

#### Identificación de triángulos

Para los siguientes problemas, determine si los lados y ángulos dados determinan no, uno o dos triángulos.

1. El conjunto contiene un ángulo, su lado opuesto y el lado entre ellos.

$$a=5$$,$$b=8$$,$$A=62.19^{\circ}$$

$$5<8$$,$$8 \sin62.19^{\circ} =7.076$$. Entonces$$5<7.076$$, lo que significa que no hay solución.

2. El conjunto contiene un ángulo, su lado opuesto y el lado entre ellos.

$$c=14$$,$$b=10$$,$$B=15.45^{\circ}$$

Aunque$$a$$,$$b$$ y no$$\angle A$$ se usa en este ejemplo, siga el mismo patrón de la tabla multiplicando el lado no opuesto (del ángulo) por el ángulo.

$$10<14$$,$$14\sin15.45^{\circ} =3.73$$. Entonces$$10>3.73$$, lo que significa que hay dos soluciones.

3. El conjunto contiene un ángulo, su lado opuesto y el lado entre ellos.

$$d=16$$,$$g=11$$,$$D=44.94^{\circ}$$

Aunque$$a$$,$$b$$ y no$$\angle A$$ se usa en este ejemplo, siga el mismo patrón de la tabla multiplicando el lado no opuesto (del ángulo) por el ángulo.

$$16>11$$, hay una solución.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Antes, te dieron un problema sobre un triángulo.

Solución

Como ya sabe, cuando se conocen dos lados de un triángulo con un lado incluido, y las longitudes de los dos lados son iguales, hay una posible solución. Dado que un triángulo isósceles cumple con estos criterios, solo hay una solución posible.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Determine cuántas soluciones habría para un triángulo en función de la información dada y calculándolo$$b \sin A$$ y comparándolo con un. Dibuje un diagrama aproximado para cada problema en la casilla etiquetada como “diagrama”.

Solución

$$A=32.5^{\circ}$$,$$a=26$$,$$b=37$$

$$A=32.5^{\circ}$$,$$a=26$$,$$b=37$$

$$26>19.9$$

2 soluciones

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Determine cuántas soluciones habría para un triángulo en función de la información dada y calculándolo$$b \sin A$$ y comparándolo con un. Dibuje un diagrama aproximado para cada problema en la casilla etiquetada como “diagrama”.

Solución

$$A=42.3^{\circ}$$,$$a=16$$,$$b=26$$

$$A=42.3^{\circ}$$,$$a=16$$,$$b=26$$

$$16<17.5$$

0 soluciones

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Determine cuántas soluciones habría para un triángulo en función de la información dada y calculándolo$$b \sin A$$ y comparándolo con un. Dibuje un diagrama aproximado para cada problema en la casilla etiquetada como “diagrama”.

Solución

$$A=47.8^{\circ}$$,$$a=13.48$$,$$b=18.2$$

$$A=47.8^{\circ}$$,$$a=13.48$$,$$b=18.2$$

$$13.48=13.48$$

1 solución

### Revisar

Determinar si los lados y el ángulo dado determinan no, uno o dos triángulos. El conjunto contiene un ángulo, su lado opuesto y otro lado del triángulo.

1. $$a=6$$,$$b=6$$,$$A=45^{\circ}$$
2. $$a=4$$,$$b=7$$,$$A=115^{\circ}$$
3. $$a=5$$,$$b=2$$,$$A=68^{\circ}$$
4. $$a=7$$,$$b=6$$,$$A=34^{\circ}$$
5. $$a=5$$,$$b=3$$,$$A=89^{\circ}$$
6. $$a=4$$,$$b=4$$,$$A=123^{\circ}$$
7. $$a=6$$,$$b=8$$,$$A=57^{\circ}$$
8. $$a=4$$,$$b=9$$,$$A=24^{\circ}$$
9. $$a=12$$,$$b=11$$,$$A=42^{\circ}$$
10. $$a=15$$,$$b=17$$,$$A=96^{\circ}$$
11. $$a=9$$,$$b=10$$,$$A=22^{\circ}$$
12. En$$\Delta ABC$$,$$a=4$$,$$b=5$$, y$$m\angle A=32^{\circ}$$. Encuentra el valor (s) posible (es) de$$c$$.
13. En$$\Delta DEF$$,$$d=7$$,$$e=5$$, y$$m\angle D=67^{\circ}$$. Encuentra el valor (s) posible (es) de$$f$$.
14. En$$\Delta KQD$$,$$m\angle K=20^{\circ}$$,$$k=24$$, y$$d=31$$. Encuentra$$m\angle D$$.
15. En$$\Delta MRS$$,$$m\angle M=70^{\circ}$$,$$m=44$$, y$$r=25$$. Encuentra$$m\angle R$$.

### Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.9.

## vocabulario

Término Definición
Triángulo lateral lateral Un triángulo de ángulo lateral es un triángulo donde la longitud de dos lados y uno de los ángulos que no está entre los dos lados son cantidades conocidas.