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4.1.6: Ley de Cosinos

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    Encontrar lado desconocido dado dos lados y ángulo incluido.

    Lados de un triángulo oblicuo

    Estás jugando un juego llamado “Over the Line”, donde te paras en una esquina de un triángulo y golpeas una pelota. El campo se ve así:

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Los puntos se anotan golpeando la pelota para que aterrice más allá de la primera línea del triángulo, pero antes de la segunda línea.

    Dado que el ángulo en el lado izquierdo del triángulo es\(15^{\circ}\), y la longitud de los lados del triángulo que van a la primera línea de anotación son 30 yardas, ¿puedes calcular la longitud de la línea que tienes que golpear el balón pasado para anotar?

    Encontrar los lados de un triángulo oblicuo

    Esta lección toma ideas que sólo se han aplicado a los triángulos rectos y las interpreta para que puedan ser utilizadas para cualquier tipo de triángulo.

    Primero, las leyes de los senos y cosenos toman el Teorema de Pitágoras y las proporciones y las aplican a cualquier triángulo.

    La Ley de Cosinos es una generalización del Teorema de Pitágoras, donde el ángulo C es el ángulo entre los dos lados dados de un triángulo:

    \(c^2=a^2+b^2−2(a)(b)\cos C\)

    Notarás que si esto fuera un triángulo rectángulo,\(\cos C=\cos 90^{\circ}=0\), y así el tercer término desaparecería, dejando el familiar Teorema de Pitágoras.

    Un caso donde podemos usar la Ley de Cosinos es cuando conocemos dos lados y el ángulo incluido en un triángulo (SAS) y queremos encontrar el tercer lado.

    Resolviendo valores desconocidos

    1. Usando\(\Delta DEF\),\(\angle E=12^{\circ}\),\(d=18\), y\(f=16.8\). Encuentra\(e\).

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Como\(\Delta DEF\) no es un triángulo rectángulo, no podemos usar el Teorema de Pitágoras o funciones de trigonometría para encontrar el tercer lado. Sin embargo, podemos utilizar nuestra recién derivada Ley de Cosinos.

    \(\begin{aligned} e^2&=18^2+16.8^2−2(18)(16.8)\cos 12 && \text{ Law of Cosines} \\ e^2 &=324+282.24−2(18)(16.8)\cos 12 && \text{ Simplify squares} \\ e^2&=324+282.24−591.5836689 && \text{ Multiply} \\ e^2&=14.6563311 && \text{ Add and subtract from left to right} \\ e&\approx 3.8 && \text{ Square root} \end{aligned}\)

    *Obsérvese que la respuesta negativa se descarta por no tener ningún significado geométrico en este caso.

    2. Un arquitecto está diseñando una cocina para un cliente. Al diseñar una cocina, el arquitecto debe prestar especial atención a la colocación de la estufa, fregadero y refrigerador. Para que una cocina sea utilizada de manera efectiva, estas tres amenidades deben formar un triángulo entre sí. Esto se conoce como el “triángulo de trabajo”. Por diseño, las tres partes del triángulo de trabajo deben estar no menos de 3 pies de distancia y no más de 7 pies de distancia. Con base en las dimensiones de la cocina actual, el arquitecto ha determinado que el fregadero estará a 3.6 pies de distancia de la estufa y 5.7 pies de distancia del refrigerador. Si el fregadero forma un\(103^{\circ}\) ángulo con la estufa y el refrigerador, ¿la distancia entre la estufa y el refrigerador permanecerá dentro de los confines del triángulo de trabajo?

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Para encontrar la distancia desde el fregadero hasta el refrigerador, necesitamos encontrar lado\(x\). Para encontrar lado\(x\), usaremos la Ley de Cosinos porque estamos tratando con un triángulo obtuso (y por lo tanto no tenemos ángulos rectos con los que trabajar). Conocemos la longitud de dos lados: el fregadero a la estufa y el fregadero al refrigerador. También sabemos que el ángulo incluido (el ángulo entre las dos longitudes conocidas) es\(103^{\circ}\). Esto significa que tenemos el caso SAS y podemos aplicar la Ley de Cosinos.

    \(\begin{aligned} x^2 &=3.6^2+5.7^2−2(3.6)(5.7)\cos 103 && \text{ Law of Cosines} \\ x^2 &=12.96+32.49−2(3.6)(5.7)\cos 103 && \text{ Simplify squares} \\ x^2 &=12.96+32.49+9.23199127 && \text{ Multiply} \\ x^2 &=54.68199127 && \text{ Evaluate} \\ x &\approx 7.4 && \text{ Square root} \end{aligned}\)

    No, este triángulo no se ajusta a la definición de triángulo de trabajo. El fregadero y el refrigerador están demasiado separados por 0.4 pies.Resolver para\(j\).

    3. Usando\(\Delta JKL\),\(\angle J=2^{\circ}\),\(l=25\), y\(k=27\). Encuentra\(j\).

    Como\(\Delta JKL\) no es un triángulo rectángulo, no podemos usar el Teorema de Pitágoras o funciones de trigonometría para encontrar el tercer lado. Sin embargo, podemos utilizar nuestra recién derivada Ley de Cosinos.

    \(\begin{aligned} j^2 &=25^2+27^2−2(25)(27)\cos 2 && \text{ Law of Cosines} \\ j^2&=625+729−2(25)(27)\cos 2 && \text{ Simplify squares} \\ j^2 &=625+729−1349.18 && \text{ Multiply} \\ j^2&=4.82 && \text{ Add and subtract from left to right} \\ j &\approx 2.20 && \text{ Square root} \end{aligned}\)

    *Obsérvese que la respuesta negativa se descarta por no tener ningún significado geométrico en este caso.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Antes, se te pidió que calcularas la longitud de la línea que tienes que golpear la pelota más allá para anotar.

    Solución

    Ya que sabes que la longitud de cada uno de los otros 2 lados es de 30 yardas\(15^{\circ}\), y el ángulo es, puedes usar la Ley de Cosinos para encontrar la longitud del tercer lado.

    \(\begin{aligned} c^2&=a^2+b^2−2ab\cos \theta \\ c^2&=30^2+30^2−(2)(30)(30)\cos 15^{\circ} \\ c^2&=900+900−1738.67 \\ c^2&=1800−1738.67 \\ c^2&=61.33c\approx 7.83 \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el lado\(a\) "" en este triángulo\(\angle A=50^{\circ}\), donde\(b=8\),\(c=11\)

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    \(a^2=8^2+11^2−2\cdot 8\cdot 11\cdot \cos 50^{\circ}\),\(a\approx 8.5\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el lado\(l\) "" en este triángulo donde\(\angle L=79.5^{\circ}\)\(m=22.4\),\(p=13.17\)

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Solución

    \(l^2=22.4^2+13.17^2−2\cdot 22.4\cdot 13.17\cdot \cos 79.5^{\circ}\),\(l\approx 23.8\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el lado\(b\) "" en este triángulo donde\(\angle B=67.2^{\circ}\)\(d=43\),\(e=39\)

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Solución

    \(b^2=39^2+43^2−2\cdot 39\cdot 43\cdot \cos 67.2^{\circ}\),\(b\approx 45.5\)

    Revisar

    1. Estado la Ley de Cosinos.

    Para cada triángulo a continuación, indicar los valores de\(a\),\(b\), y\(c\).


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      Figura\(\PageIndex{7}\)

    2. f-d_5c252a3d7d9948af388da049f5c499e021a445e5d3926a117ef55089+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)

    3. f-d_78b2f9b7a8ee921c632e883d8e4aabc2782c0e628fa0890281591535+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)

    4. f-d_ec9ba4270c2b6a0602a02d4d34daba743e3f2a51ce813196a88a3ffe+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)

    5. f-d_d1e382aaae511c02b86d0ad8b97070c98b838b418502950e2c8c113e+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{11}\)

    6. f-d_1c9acf952cfdb70cfa90b9b16614ad4659829b45bc70f9c22574dd41+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{12}\)

    7. F-D_b02a0c410e73f281269864f92553d458c9cc647eb68712dbc36a952c+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{13}\)

    Ahora, para cada triángulo, resuelve por el lado faltante usando la Ley de Cosinos.


    1. f-d_1866fea5ddb4fecd8fc8c30dfe1995a88cc6b5d49040e2488023be5c+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{14}\)

    2. f-d_5c252a3d7d9948af388da049f5c499e021a445e5d3926a117ef55089+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{15}\)

    3. f-d_78b2f9b7a8ee921c632e883d8e4aabc2782c0e628fa0890281591535+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{16}\)

    4. f-d_ec9ba4270c2b6a0602a02d4d34daba743e3f2a51ce813196a88a3ffe+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{17}\)

    5. f-d_d1e382aaae511c02b86d0ad8b97070c98b838b418502950e2c8c113e+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{18}\)

    6. f-d_1c9acf952cfdb70cfa90b9b16614ad4659829b45bc70f9c22574dd41+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{19}\)

    7. F-D_b02a0c410e73f281269864f92553d458c9cc647eb68712dbc36a952c+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{20}\)
    8. Demostrar que la Ley de Cosinos es equivalente al Teorema de Pitágoras para todos los triángulos rectos.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.1.

    vocabulario

    Término Definición
    Ángulo incluido El ángulo incluido en un triángulo es el ángulo entre dos lados conocidos.
    ley de cosenos La ley de los cosenos es una norma que relaciona los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. La ley de los cosenos establece que\(c^2=a^2+b^2−2ab\cos C\), dónde\(C\) está el ángulo a través de lado\(c\).
    Triángulo oblicuo Un triángulo oblicuo es un triángulo sin ángulo recto como uno de sus ángulos internos.
    Ángulo Lateral Triángulo Lateral Un triángulo lateral de ángulo lateral es un triángulo donde dos de los lados y el ángulo entre ellos son cantidades conocidas.

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