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4.1.9: Identificar dibujos precisos de triángulos

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    107615
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    Si un triángulo es correcto basado en la ley de los cosenos.

    Tu amigo está creando un nuevo juego de mesa que involucra varias piezas diferentes en forma de triángulo. Sin embargo, el juego requiere mediciones precisas de varias piezas diferentes que todas tienen que encajar entre sí. Ella te trae algunas de las piezas y te pregunta si puedes verificar que sus medidas de las longitudes y ángulos laterales de las piezas son correctas.

    Saca la primera pieza. Según tu amigo, la pieza tiene lados de longitud 4 in, 5 in y 7 in, y el ángulo entre el lado de la longitud 4 y el lado de longitud 5 es\(78^{\circ} \). Ella tiene mucha confianza en los largos de los costados, pero no muy segura si midió el ángulo correctamente. ¿Hay alguna manera de determinar si la pieza de juego de tu amiga tiene las medidas correctas, o se equivocó?

    Análisis de triángulos

    Nuestra extensión del análisis de triángulos nos atrae naturalmente a triángulos oblicuos.

    La Ley de Cosinos puede ser utilizada para verificar que los dibujos de triángulos oblicuos sean precisos. En un triángulo rectángulo, podríamos usar el Teorema de Pitágoras para verificar que los tres lados tienen la longitud correcta, o podríamos usar relaciones trigonométricas para verificar una medición de ángulo. No obstante, cuando se trata de un triángulo obtuso o agudo, debemos apoyarnos en la Ley de los Cosinos.

    Para los siguientes problemas, usemos la Ley de Cosinos

    1. En\(\Delta ABC\) a la derecha,\(a=32\),\(b=20\),\(c=16\) Y. ¿El dibujo es exacto si etiqueta\(\angle C\) como\(35.2^{\circ} \)? Si no, ¿qué se debe\(\angle C\) medir?

    f-d_6f12bbea01616ec2ef2e132d8a1601dd3b8fcf02383c528fa728b914+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Utilizaremos la Ley de Cosinos para comprobar si\(\angle C\) es o no\(35.2^{\circ} \).

    \ (\ begin {alineado}
    16^ {2} &=20^ {2} +32^ {2} -2 (20) (32)\ cos 35.2 &&\ text {Ley de Cosinos}\\
    256&=400+1024-2 (20) (32)\ cos 35.2 &&\ text {Simplemente cuadrados}\\
    256&=400+1024-1045.94547 &&\ text {Multiplicar}\\
    256 &\ neq 378.05453 &&\ text {Sumar y restar}
    \ end {alineado}\)

    Ya que\(256\neq 378.05453\), sabemos que no lo\(\angle C\) es\(35.2^{\circ} \). Utilizando la Ley de Cosinos, podemos averiguar la medición correcta de\(\angle C\).

    \ (\ begin {alineado}
    16^ {2} &=20^ {2} +32^ {2} -2 (20) (32)\ cos C &&\ text {Ley de Cosinos}\\
    256&=400+1024-2 (20) (32)\ cos C &&\ text {Simplificar Cuadrados}\\
    256&=400+1024-1280\ cos C &&\ text {Multiplicar}\
    256&=1424- 1280\ cos C &&\ texto {Agregar}\\
    -1168&=-1280\ cos C &&\ texto {Restar}\\
    0.9125&=\ cos C &&\ texto {Dividir}
    \\
    24.1^ {\ circ} &\ approx\ ángulo C &&\ cos^ {−1} (0.9125)
    \ final {alineado}\)

    Para algunas situaciones, será necesario utilizar no sólo la Ley de los Cosinos, sino también el Teorema de Pitágoras y las proporciones trigonométricas para verificar que un triángulo o cuadrilátero ha sido dibujado con precisión.

    2. Un constructor recibió planos para la construcción de una adición de segundo piso en una casa. El diagrama muestra cómo el arquitecto quiere enmarcar el techo, mientras que la longitud de la casa es de 20 pies. El constructor decide agregar una viga de soporte perpendicular desde el pico de la cubierta hasta la base. Estima que la nueva viga debe tener 8.3 pies de altura, pero quiere volver a verificar antes de comenzar la construcción. ¿Es correcta la estimación del constructor de 8.3 pies para la nueva viga? Si no, ¿a qué distancia está?

    F-d_b3d232a87428f9dc9789ed9fe11356e0483baa7102a7cc8bbb767420+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Si lo sabíamos\(\angle A\) o\(\angle C\), podríamos usar relaciones trigonométricas para encontrar la altura de la viga de soporte. No obstante, no se nos da ninguna de estas medidas de ángulo. Como conocemos los tres lados de\(\Delta ABC\), podemos usar la Ley de Cosinos para encontrar uno de estos ángulos. Vamos a encontrar\(\angle A\).

    \(\begin{aligned} 14^2 &=12^2+20^2−2(12)(20)\cos A && \text{Law of Cosines}\\ 196&=144+400−480\cos A &&\text{Simplify}\\ 196& =544−480\cos A && \text{Add}\\ −348&=−480\cos A && \text{Subtract}\\ 0.725&=\cos A &&\text{Divide}\\ 43.5^{\circ}&\approx \angle A && \cos ^{−1}(0.725)\end{aligned}\)

    Ahora que sabemos\(\angle A\), podemos usarlo para encontrar la longitud de\(BD\).

    \(\begin{aligned} \sin 43.5 &=\dfrac{x}{12}\\ 12 \sin43.5 &=x\\ 8.3&\approx x\end{aligned}\)

    Sí, la estimación del constructor de 8.3 pies para la viga de soporte es precisa.

    En\(\Delta CIR\),\(c=63\),\(i=52\), y\(r=41.9\). Encuentra la medida de los tres ángulos.

    \(\begin{aligned} 63^2&=52^2+41.9^2−2\cdot 52\cdot 41.9\cdot \cos C \\ 52^2&=63^2+41.9^2−2\cdot 63\cdot 41.9\cdot \cos I \\ 180^{\circ} −83.5^{\circ} −55.1^{\circ} &=41.4^{\circ} \\ \angle C &\approx 83.5^{\circ} \\ \angle I&\approx 55.1^{\circ} \\ \angle R&\approx 41.4^{\circ} \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, te preguntaron si había alguna manera de determinar si la pieza de juego de tu amigo tiene las medidas correctas.

    Solución

    Ya que tu amigo está seguro de las longitudes de los lados del triángulo, debes usar esas como las cantidades conocidas en la Ley de Cosinos y resolver para el ángulo:

    \(\begin{aligned} 7^2&=5^2+4^2+(2)(5)(4)\cos \theta \\ 49&=25+16+40\cos \theta \\ 49−25−16&=40\cos \theta \\ \dfrac{8}{40}&=\cos \theta \\ \cos ^{−1}\dfrac{8}{40}&=\theta \\ \theta &=78.46 \end{aligned}\)

    Entonces como resulta, tu amigo es bastante cercano. Sus medidas probablemente fueron ligeramente inexactas debido a su redondeo del trasportador.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra\(AD\) usando el Teorema de Pitágoras, Ley de Cosinos, funciones trigonométricas, o cualquier combinación de los tres.

    f-d_91da870713c3fb20dcfab839f117eaf4f61bce235dbb7f4cad11e06e+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Solución

    Primero, encuentra\(AB\).

    \(AB^2=14.2^2+15^2−2\cdot 14.2\cdot 15\cdot \cos 37.4^{\circ} \),\(AB=9.4\). \(\sin 23.3^{\circ} =\dfrac{AD}{9.4}\),\(AD=3.7\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra\(HK\) usando el Teorema de Pitágoras, Ley de Cosinos, funciones trigonométricas, o cualquier combinación de los tres if\(JK=3.6\),\(KI=5.2\),\(JI=1.9\),\(HI=6.7\), y\(\angle KJI=96.3^{\circ} \).

    F-d_28db44a544cd1a70b1c7e340c08ae89fe85e6f8c2a08ad9ad103fc4b+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    \(\angle HJI=180^{\circ} −96.3^{\circ} =83.7^{\circ} \)(estos dos ángulos son un par lineal). \(6.7^2=HJ^2+1.9^2−2\cdot HJ\cdot 1.9\cdot \cos 83.7^{\circ} \). Esto simplifica a la ecuación cuadrática\(HJ^2−0.417HJ−41.28\). Usando la fórmula cuadrática, podemos determinar eso\(HJ\approx 6.64\). Entonces, ya que\(HJ+JK=HK\),\(6.64+3.6\approx HK\approx 10.24\).

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Utilice la Ley de Cosinos para determinar si el siguiente triángulo se dibuja con precisión o no. De no ser así, determine qué tan lejos está la medición del lado\(d\) "" del valor correcto.

    f-d_d97e2bbed5ebcd67484fe9980d75952226499068d5905e14c85aa340+image_tiny+image_tiny.jpg
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Solución

    Para determinarlo, utilice la Ley de Cosinos y resuelva para d para determinar si la imagen es exacta. \(d^2=12^2+24^2−2\cdot 12\cdot 24\cdot \cos 30^{\circ} \)\(d=14.9\), lo que significa que\(d\) en la imagen está apagada por 1.9.

    Revisar

    1. Si conoces las longitudes de los tres lados de un triángulo y la medida de un ángulo, ¿cómo puedes determinar si el triángulo se dibuja con precisión?

    Determina si cada triángulo está etiquetado correctamente o no.


    1. f-d_99e3471662d49713d54d32faf9556be5d4baf4ba130dab415ef8ee64+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{6}\)
    2. f-d_1fb37842e69323eac3a25b00fcd5b9010fa34b3e5e8f18a0639dad25+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)
    3. F-d_1480048cd2b91707cb43debb861b075d70ed5d910f0a121d18f7b608+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)

    4. f-d_5ce85f26ae281303f83ded94c4997151ab2aba5b338a4a2bd985dee0+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)
    5. f-d_a9ca3780841607b8ff634d316e7ce1c789e579368d5ff7e2b351956e+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)
    6. F-d_e26880f530f5d54ffa71c2f92f63e64bc31014d590eb55eb4c1fae44+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{11}\)

    Determinar si cada triángulo descrito es posible o no. Supongamos que los ángulos se han redondeado al grado más cercano.

    1. En\(\Delta BCD\),\(b=4\),\(c=4\),\(d=5\), y\(m\angle B=51^{\circ} \).
    2. En\(\Delta ABC\),\(a=7\),\(b=4\),\(c=9\), y\(m\angle B=34^{\circ} \).
    3. En\(\Delta BCD\),\(b=3\),\(c=2\),\(d=7\), y\(m\angle D=138^{\circ} \).
    4. En\(\Delta ABC\),\(a=8\),\(b=6\),\(c=13.97\), y\(m\angle C=172^{\circ} \).
    5. En\(\Delta ABC\),\(a=4\),\(b=4\),\(c=9\), y\(m\angle B=170^{\circ} \).
    6. En\(\Delta BCD\),\(b=3\),\(c=5\),\(d=4\), y\(m\angle C=90^{\circ} \).
    7. En\(\Delta ABC\),\(a=8\),\(b=3\),\(c=6\), y\(m\angle A=122^{\circ} \).
    8. Si utilizas la Ley de Cosinos para resolver por\(m\angle C\) en\(\Delta ABC\) donde\(a=3\),\(b=7\), y\(c=12\), vas a un error. Explique por qué.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.3.

    El vocabulario

    Término Definición
    ley de cosenos La ley de los cosenos es una norma que relaciona los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. La ley de los cosenos establece que\(c^2=a^2+b^2−2ab\cos C\), dónde\(C\) está el ángulo a través de lado\(c\).

    Recursos adicionales

    Elemento interactivo

    Video: La Ley de los Cosinos: Aplicaciones


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