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# 5.1.1: Gráficas de Coordenadas Polares

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Puntos como distancia desde el origen y ángulo desde un eje.

Mientras juegas un juego de dardos con tu amigo, decides ver si puedes trazar las coordenadas de donde aterrizan tus dardos. La dianas se ve así

Al intentar configurar un sistema de coordenadas rectangulares, tu amigo te dice que sería más fácil trazar las posiciones de tus dardos usando un “sistema de coordenadas polares”. ¿Puedes hacer esto?

El papel cuadriculado que ha utilizado para trazar puntos y esbozar gráficos ha sido papel cuadriculado rectangular. Todos los puntos se trazaron en forma rectangular$$(x,y)$$ haciendo referencia a un conjunto de ejes perpendiculares$$x$$$$y$$ − y −. En esta sección descubrirás una alternativa a graficar en papel de rejilla rectangular — graficar sobre papel de rejilla circular.

Mira las dos opciones a continuación:

Todos están familiarizados con el papel de rejilla rectangular que se muestra arriba. Sin embargo, el papel circular se presta a nuevos descubrimientos. El artículo consiste en una serie de círculos-círculos concéntricos que comparten un centro común. El centro común$$O$$, se conoce como polo u origen y el eje polar es la línea horizontal$$r$$ que se dibuja desde el polo en una dirección positiva. El punto$$P$$ que se traza se describe como una distancia dirigida$$r$$ desde el polo y por el ángulo que$$\overline{OP}$$ hace con el eje polar. Las coordenadas de$$P$$ son$$(r,\theta )$$.

Estas coordenadas son el resultado de suponer que el ángulo se gira en sentido antihorario. Si el ángulo se girara en sentido horario entonces las coordenadas de$$P$$ serían$$(r,−\theta )$$. Estos valores para$$P$$ se denominan coordenadas polares y son de la forma$$P(r,\theta )$$ donde$$r$$ está el valor absoluto de la distancia desde el polo hasta$$P$$ y$$\theta$$ es el ángulo formado por el eje polar y el brazo terminal$$\overline{OP}$$.

Trazar el punto$$A(5,−255^{\circ})$$ y el punto$$B(3,60^{\circ})$$.

Para trazar A, muévase del polo al círculo que tiene$$r=5$$ y luego rote en el$$255^{\circ}$$ sentido de las agujas del reloj desde el eje polar y traza el punto en el círculo. Etiquetarlo$$A$$.

Para trazar B, muévase del polo al círculo que tiene$$r=3$$ y luego gire en sentido$$60^{\circ}$$ contrario a las agujas del reloj desde el eje polar y grafique el punto en el círculo. Etiquetarlo$$B$$.

## Determinación de Pares de Coordenadas Polares

Determinar cuatro pares de coordenadas polares que representan el siguiente punto$$P(r,\theta )$$ tal que$$−360^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}$$.

Par 1$$\rightarrow (4,120^{\circ})$$. El par 2$$\rightarrow (4,−240^{\circ})$$ proviene de usar$$k=−1$$ y$$(r,\theta +360^{\circ}k)$$, (4,120^ {\ circ} +360 (−1)). El par 3$$\rightarrow (−4,300^{\circ})$$ viene de usar$$k=0$$ y$$(−r,\theta +[2k+1]180^{\circ}),(−4,120^{\circ}+[2(0)+1]180^{\circ})$$. El par 4$$\rightarrow (−4,−60^{\circ})$$ viene de usar$$k=−1$$ y$$(−r,\theta +[2k+1]180^{\circ})$$,$$(−4,120^{\circ}+[2(−1)+1]180^{\circ})$$.

Trazar las siguientes coordenadas en forma polar y dar su descripción en términos polares:$$(1,0)$$,$$(0,1)$$,$$(-1,0)$$,$$(-1,1)$$.

El primer punto se encuentra en el eje positivo 'x', por lo que el ángulo en coordenadas polares es$$0^{\circ}$$. El segundo punto se encuentra en el eje positivo 'y', por lo que el ángulo en las coordenadas polares es$$90^{\circ}$$. El tercer punto se encuentra en el eje negativo 'x', por lo que el ángulo en coordenadas polares es$$180^{\circ}$$. El cuarto punto se encuentra en el eje negativo 'y', por lo que el ángulo en las coordenadas polares es$$270^{\circ}$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Anteriormente, se le pidió que trazara las posiciones de sus dardos usando un sistema de coordenadas polares.

Ya que tienes las posiciones de los dardos en el tablero tanto con la distancia desde el origen como con el ángulo que hacen con la horizontal, puedes describirlos usando coordenadas polares.

Solución

Como puedes ver, las posiciones de los dardos son:

$$(3,45^{\circ} )$$,$$(6,90^{\circ} )$$

y

$$(4,0^{\circ} )$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Trazar el punto$$M\left(2.5, 210^{\circ} \right)$$.

Solución

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Trazar el punto$$S\left(−3.5,\dfrac{5\pi }{6}\right)$$.

Solución

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Trazar el punto$$A\left(1, \dfrac{3\pi }{4}\right)$$.

Solución

### Revisar

1. $$(3,150^{\circ})$$
2. $$(2,90^{\circ})$$
3. $$(5,60^{\circ})$$
4. $$(4,120^{\circ})$$
5. $$(3,210^{\circ})$$
6. $$(−2,120^{\circ})$$
7. $$(4,−90^{\circ})$$
8. $$(−5,−30^{\circ})$$
9. $$(2,−150^{\circ})$$
10. $$(−3,300^{\circ})$$

Dar tres conjuntos alternos de coordenadas para el punto dado dentro del rango$$−360^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}$$.

1. $$(3,60^{\circ})$$
2. $$(2,210^{\circ})$$
3. $$(4,330^{\circ})$$
4. Encuentra la longitud del arco entre los puntos$$(2,30^{\circ})$$ y$$(2,90^{\circ})$$.
5. Encuentra la zona del sector creada por el origen y los puntos$$(4,30^{\circ})$$ y$$(4,90^{\circ})$$.

### Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.1.