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# 5.3.1: Números imaginarios

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El número imaginario 'i' es igual a la raíz cuadrada del negativo 1.

### De cuadráticas a números complejos

Esta sección introduce números imaginarios y complejos en el contexto de soluciones a ecuaciones cuadráticas que no tienen soluciones de números reales.

### Calentamiento

Las ubicaciones donde las funciones cuadráticas cruzan el eje x representan las soluciones a la función. Utilice el interactivo a continuación para graficar diferentes parábolas. Más adelante en esta sección verá cómo se pueden usar números complejos para representar soluciones a funciones cuadráticas que no cruzan el eje x dos veces.

##### Elemento Interactivo

Agrega el texto del elemento interactivo aquí. Esta caja NO se imprimirá en pdf

#### Trabaje a cabo 1

Comience con la ecuación cuadrática:$$y=x^2−9$$.

1. Utilice el interactivo a continuación para graficar la ecuación.
2. Recordemos que las soluciones a una ecuación son los valores x que hacen$$y=0$$. Estimar la (s) ubicación (es) en la gráfica que representan estos$$(x,y)$$ puntos. Redondear al número entero más cercano.
3. Sustituir las$$x$$ coordenadas -en lugar de$$x$$ en la ecuación original,$$y=x^2−9$$. Explica cómo usar el resultado para determinar si tus estimaciones fueron precisas.
##### Elemento Interactivo

Agrega el texto del elemento interactivo aquí. Esta caja NO se imprimirá en pdf

Discusión

¿Cuáles son las$$y$$ coordenadas de cualquier punto en el eje x? ¿Cuáles son las$$x$$ coordenadas de las ubicaciones donde la gráfica cruza el$$x$$ eje -eje?

Recordemos que las soluciones a una ecuación cuadrática son los valores para$$x$$ que hacen$$y$$ igual a cero. Si revisas tus respuestas sustituyéndolas de nuevo en la ecuación, ¿hacen$$y=0$$?

#### Trabaje a cabo 2

Comience con la ecuación cuadrática:$$y=2x^2−2x+2$$.

1. Usa el interactivo para graficar la ecuación.
2. Recordemos que las soluciones a una ecuación son los$$x$$ -valores que hacen$$y=0$$. Estimar la ubicación en la gráfica que representa estos$$(x,y)$$ puntos. Explique cualquier dificultad que encuentre.

Discusión

¿Por qué no pudiste visualizar dónde a lo largo de la curva hay un$$x$$ -valor que hace$$y=0$$?

Dado que la gráfica no es útil, ¿de qué otra manera podría encontrar la (s) solución (s) a la ecuación:$$0=2x^2−2x+2$$?

#### Resuélvelo 3: La fórmula cuadrática y el discriminante

Utilizando el interactivo de Aprendizaje Activo 1, considere las gráficas de cada una de estas ecuaciones cuadráticas. Se dan en la forma:$$y=ax^2+bx+c$$. Preste especial atención al número de lugares donde la gráfica cruza el eje x en cada ecuación.

1. $$y=0.5x^2−x−4$$
2. $$y=x^2−2x+1$$
3. $$y=x^2+2x+4$$

Recuerda, la Fórmula Cuadrática es:$$x= \dfrac{−b\pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a}$$. El término binomial por debajo del signo radical,$$b^2−4ac$$, se llama el discriminante.

Calcula el discriminante para cada una de las tres ecuaciones que graficaste.

A continuación, compare el valor del discriminante y la gráfica de cada ecuación cuadrática, prestando especial atención a si el discriminante es menor que, igual o mayor que cero. ¿Qué notas? En base a sus hallazgos, ¿cuántas soluciones cree que hay para una ecuación cuadrática donde el discriminante es mayor que, menor o igual a cero?

#### Discusión

La gráfica a continuación es de la primera ecuación:$$y=\dfrac{1}{2} x^2−x−4$$.

Puede calcular el discriminante a partir de esta ecuación de la siguiente manera:

\begin{aligned} \text{Given: }a&=\dfrac{1}{2}, b=-1, c=-4 \\ &=(-1)^2−4\left(\dfrac{1}{2}\right)(-4) \\ &=1−(-8) \\ &=9 \end{aligned}

Cuando el discriminante de una ecuación cuadrática es positivo, la ecuación tendrá dos soluciones distintas numéricas reales. En este caso, las soluciones son$$x=-2$$ y$$x=4$$.

Determinar el discriminante de las otras dos ecuaciones. ¿Qué generalización se puede hacer relacionando el número de soluciones reales con el valor de que el discriminante sea positivo, negativo o cero?

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

El discriminante y soluciones a las ecuaciones cuadráticas

Calcular el discriminante de la ecuación$$y=2x^2−5x+4$$, y usar esa información para hacer una declaración sobre las soluciones.

Solución

El discriminante se puede calcular de la siguiente manera:

\begin{aligned} \text{Given: } b&=-5, a=2, c=4 \\ &=b^2−4(a)(c) \\ &=(-5)^2−4(2)(4) \\ &=-7\end{aligned}

Debido a que el discriminante es menor que cero, esta ecuación no tiene soluciones reales.

Consideremos la ecuación$$y=2x^2−5x+4$$ de este ejemplo. Debido a que el discriminante es menor que 0, esta ecuación no tiene soluciones reales. Sin embargo, tiene dos soluciones no reales. En otras palabras, las soluciones a esta ecuación cuadrática incluyen un componente imaginario. Los números con un componente real y un componente imaginario se llaman complejos.

## Números imaginarios y complejos

Cuando los humanos crearon por primera vez el concepto de números, solo tenían los números de conteo (números enteros mayores a cero) 1, 2, 3... y así sucesivamente, porque los números estaban destinados a contar objetos físicos. Durante mucho tiempo, se aceptó que la raíz cuadrada de un número negativo no existía.

Para que existiera una solución a la ecuación x2=-1, los matemáticos inventaron una solución. Esta solución se llama el número imaginario y se anota con la letra i. Los números imaginarios, 1i,2i,3i... se llaman imaginarios porque no se pueden encontrar en una línea numérica tradicional de números reales.

Un número imaginario puro es un número en la forma bi donde b es un número real distinto de cero. Los ejemplos incluyen$$4i$$,$$i\sqrt{2}$$, y$$−6i$$.

Un número complejo tiene partes tanto reales como imaginarias, y está escrito en la forma a\ pm bi. Curiosamente, cualquier número puede escribirse como un número complejo, ya que o bien el componente real o imaginario puede ser cero o tener un coeficiente cero.

### Ejemplos de números complejos

1. El conjunto de números complejos es un 'superconjunto' de todos los demás conjuntos de números. Eso significa que cualquier otro conjunto de números es parte del conjunto de números complejos.
2. Los números complejos aparecen en la forma$$a+bi$$, donde$$a$$ y$$b$$ son Números reales, y$$i=\sqrt{-1}$$.
3. CUALQUIER número puede escribirse como un Número Complejo:

\begin{aligned} \text{The Real Number 4 in Complex form} && =4+0i\\ \text{The Imaginary Number } 5i \text{ in Complex form} && =0+5i\\ \text{The Complex Number } 4+5i \text{ in Complex form } && =4+5i \end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Dado eso$$\sqrt{-1}=i$$, ¿a qué$$i^2$$ equivale? Explique por qué esto es notable.

Solución

Antes de intentar responder a esta pregunta, piensa en cómo responderías a esta pregunta por números positivos. Por ejemplo, 9—√=3, y por lo tanto, al cuadrar ambos lados:$$3^2=9$$. De igual manera,$$\sqrt{49}=7$$, y por lo tanto$$49=7^2$$. Entonces, si -1−−√=i, ¿qué pasa con cada lado de la ecuación si cuadras ambos lados? En otras palabras, ¿a qué$$i^2$$ equivale?

\begin{aligned} i^2&=i\cdot i \\ &=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \\&=(\sqrt{-1})^2 \\ &=(-1) \\&=-1 \end{aligned}

Una forma entretenida de pensar en esto es considerar lo extraño que sería si dos personas imaginarias pudieran tener un hijo real juntas. Esto es similar en concepto al resultado de cuadrar un número imaginario, o multiplicar dos números imaginarios juntos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir en términos del número imaginario i. Reescribe lo siguiente como números imaginarios:

1. $$\sqrt{-4}$$
2. $$\sqrt{-5}$$
3. $$\sqrt{-6}$$

Solución

• $$\sqrt{4}=\sqrt{4\cdot -1}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2i$$
• $$\sqrt{-5}=\sqrt{5\cdot -1}=\sqrt{5}\sqrt{-1}=i\sqrt{5}$$
• $$\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot -1}=\sqrt{16}\sqrt{-1}=4i$$

#### Trabaje a cabo 4

Simplifica lo siguiente:

1. $$\sqrt{-49}$$
2. $$\sqrt{-40}$$

Discusión

Si puedes reducir el número bajo el radical después de haberlo convertido en un número positivo, deberías hacerlo.

\begin{aligned} \sqrt{-49} \\ &=\sqrt{49\cdot -1} \\ &=\sqrt{49}\sqrt{-1} \\ &=7i \end{aligned}

Simplifique de$$\sqrt{-40}$$ manera similar, pero no olvide simplificar$$\sqrt{40}$$ después de tratar con la raíz cuadrada de -1.

#### Trabaje a cabo 5

La parábola no$$y=x^2−2x+3$$ tiene$$x$$ -intercepciones, como se muestra a continuación. ¿Significa esto que no hay soluciones? ¿Cómo podrían ayudar los números complejos a resolver la ecuación$$0=x^2−2x+3$$? ¿Cuáles son las soluciones a esta función?

Discusión

La gráfica siguiente muestra que la curva de esta ecuación no se cruza con el eje x.

Esto quiere decir que las soluciones a la ecuación no$$x^2−2x+3=0$$ son números reales. Las soluciones son números complejos (que involucran partes reales e imaginarias). Las soluciones aún se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática, pero el resultado serán 2 soluciones de números complejos. ¿Qué son?

El siguiente video demuestra cómo determinar las soluciones complejas de una ecuación cuadrática.

Soluciones Complejas de una Ecuación Cuadrática

#### Resuélvelo 6: Soluciones de números complejos para funciones cuadráticas

Recordemos que cuando el valor del discriminante es menor que cero, la ecuación tiene dos soluciones de números complejos desiguales. Sustituir$$-1+2i$$ a la ecuación cuadrática$$x^2+2x+5=0$$ para determinar si es una solución. Usa lo que determines a partir de la sustitución para hacer una conjetura educada sobre cuál podría ser otra solución. Pruebe esa solución también.

Discusión

Al igual que con cualquier otra ecuación cuadrática, para verificar una solución, sustituir la solución en lugar de$$x$$, y simplificar la expresión para determinar si es o no igual a cero.

## CK-12 INTERACTIVO

El siguiente PLIX CK-12, “Desplazamiento vertical y horizontal 2", ofrece una oportunidad adicional de explorar raíces complejas de cuadráticas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Soluciones de números complejos para funciones cuadráticas

¿Es$$\dfrac{3}{2}−i$$ una solución para$$2x^2−6x+5=0$$?

Solución

Sustituir los coeficientes en la fórmula cuadrática, y simplificar para generar la ecuación:

&\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(-6) ^ {2} -4 (2) (5)}} {2 (2)}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {(36) -40}} {4}\\
=&\ dfrac {6\ pm\ sqrt {-4}} {4}\\
x=&\ izquierda\ {\ dfrac {3} {2} +\ dfrac {1} {2} i\ derecha\}\ texto {o}\ izquierda\ {\ dfrac {3} {2} -\ dfrac {1} {2} i\ derecha\}

Cuando se simplifica, ya que ninguna de las soluciones es la que se plantea en el problema, es decir$$\dfrac{3}{2}−i$$, no es una solución.

Alternativamente, se podría sustituir en la solución dada y ver si la ecuación es igual a cero.

\ (\ begin {array} {r}
2\ left (\ dfrac {3} {2} -i\ right) ^ {2} -6\ left (\ dfrac {3} {2} -i\ right) +5=0? \\
2\ izquierda (\ dfrac {9} {4} -3 i+i^ {2}\ derecha) -6\ izquierda (\ dfrac {3} {2} -i\ derecha) +5=0? \\
2\ izquierda (\ dfrac {9} {4} -3 i+ (-1)\ derecha) -6\ izquierda (\ dfrac {3} {2} -i\ derecha) +5=0? \\
2\ izquierda (\ dfrac {5} {4} -3 i\ derecha) -6\ izquierda (\ dfrac {3} {2} -i\ derecha) +5=0? \\
\ dfrac {5} {2} -\ cancel {6 i} -9+\ cancel {6i} +5=0? \\
-\ dfrac {3} {2}\ neq 0
\ end {array}\)

Ya que no equivale a cero, no$$\dfrac{3}{2}−i$$ es una solución.

### Revisar

1. Utilice una utilidad gráfica como la interactiva al comienzo de esta lección para graficar la ecuación$$x^2+2x+1=0$$. Usa la gráfica para determinar la solución a la ecuación, y luego usa Álgebra para confirmar que tu respuesta es correcta.

Calcular el discriminante:

1. $$6x^2+10−1=0$$
2. $$3x^2+24x+48=0$$

1. Componer una función cuadrática con dos soluciones reales.
2. Componer una función cuadrática con una solución real y una imaginaria.
3. Componer una función cuadrática con dos soluciones imaginarias.

1. $$\sqrt{-300}$$
2. $$\sqrt{-32}$$
3. $$4\sqrt{-18}$$
4. $$\sqrt{-75}$$
5. $$\sqrt{-98}$$

1. $$8x^2−5x+11=0$$
2. $$34\dfrac{1}{2}x^2−23x+19\dfrac{1}{6}=0$$