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# 5.3.5: Teoremas de Producto y Cociente

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Forma simplificada de multiplicar y dividir números complejos.

Los números complejos se encuentran en cálculos del mundo real que involucran: mecánica cuántica, análisis de señales, dinámica de fluidos, teoría de control y muchos otros campos.

En ingeniería eléctrica, se utilizan números complejos para cálculos que involucran impedancia (la resistencia al flujo eléctrico en un circuito).

Los ingenieros eléctricos están familiarizados con la fórmula:

$$V=V_0e^{j\omega t}=V_0(\cos \omega t+j\sin \omega t)$$

comparándolo con la expresión similar a continuación, que se explora en esta lección, ¿se puede identificar la variable$$j$$?

$$r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)$$

### Teoremas de Producto y Cociente

#### El teorema del producto

Dado que los números complejos pueden transformarse en forma polar, la multiplicación de números complejos también se puede hacer en forma polar. Supongamos que sabemos$$z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$$,$$z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$$

Para multiplicar los dos números complejos en forma polar:

\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)\cdot r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)\\ &=r_1r_2(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)(\cos \theta_2+i \sin \theta_2) \\ &=r_1r_2\cdot (\cos \theta_1 \cos \theta_2+i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2+i^2 \sin \theta_1 \sin \theta_2) \\ &=r_1r_2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 +i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2 −\sin \theta_1 \sin \theta_2)\\ &=r_1r_2 (\cos \theta_1 \cos \theta_2−\sin \theta_1 \sin \theta_2+i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2) \\ &=r_1r_2 ([\cos \theta_1 \cos \theta_2−\sin \theta_1 \sin \theta_2]+i[\cos \theta_1 \sin \theta_2+\sin \theta_1 \cos \theta_2]) \end{aligned}

(Use$$i^2 = -1$$, reúna términos similares, facture i, sustituya las fórmulas de suma de ángulo para seno y coseno)

$$z_1 \cdot z_2 =r_1r_2 cis \; [(\theta_1+\theta_2)]$$

Esta última ecuación establece que el producto de dos números complejos en forma polar se puede obtener multiplicando los valores polares r de cada uno de los números complejos y luego multiplicando ese valor por cis de la suma de cada uno de los dos ángulos de los números complejos individuales. Esto es más conciso que la forma rectangular para la multiplicación de números complejos.

#### El teorema del cociente

La división de números complejos en forma polar se puede mostrar usando una prueba similar que se utilizó para mostrar la multiplicación de números complejos. Aquí omitimos la prueba y damos el resultado. Para$$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$$ y$$z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$$, entonces$$\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{r_1}{r_2} \times \; cis \; [\theta_1−\theta_2]$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Anteriormente, se le pidió que identificara la variable j en la siguiente fórmula:

$$V=V_0e^{j\omega t}=V_0(\cos \omega t+j\sin \omega t)$$

Solución

En los cálculos eléctricos, la letra I se usa comúnmente para denotar corriente, por lo tanto, los números imaginarios se identifican con una j.

Tenga en cuenta el uso similar de i en$$r(\cos \theta+i\sin \theta)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Multiplicar$$z_1 \cdot z_2$$ dónde$$z_1 =2+2i$$ y$$z_2 =1−\sqrt{3i}$$.

Solución

Para$$z_1$$,

\begin{aligned} r_1&=\sqrt{2^2+2^2} \\ &=\sqrt{8} \\ &=2\sqrt{2} \end{aligned}

y

\begin{aligned} \tan \theta_1&=\dfrac{2}{2} \\ \tan \theta_1&=1 \\ \theta_1&=\dfrac{\pi }{4}\end{aligned}

Tenga en cuenta que$$\theta_1$$ se encuentra en el primer cuadrante desde$$a$$, y$$b > 0$$.

Para$$z_2$$,

\begin{aligned} r_2&=\sqrt{1^2+(−\sqrt{3})^2} \\&=\sqrt{1+3} \\ &=\sqrt{4}\\ &=2\end{aligned}

y

\begin{aligned} \tan \theta_2 &=\dfrac{- \sqrt{3}}{1} \\ \theta_2&=\dfrac{5 \pi}{3} \end{aligned}

Ahora podemos usar la fórmula$$z_1 \cdot z_2 =r_1\cdot r_2\; cis \; (\theta_1+\theta_2)$$

Sustituir da:

\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 =2\sqrt{2} \times 2 \; cis \; \left[\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{3} \right] \\ =4\sqrt{2} \; cis \; \left[\dfrac{23\pi }{12}\right] \end{aligned}

Así que tenemos

$$z_1 \cdot z_2 =4\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{23\pi }{12} +i \sin \dfrac{23\pi }{12}\right)$$

$$5.656 (0.966 – 0.259i)$$

$$5.46 - 1.46i$$

Si el problema se hizo usando solo unidades rectangulares entonces

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &=(2+2i)(1−\sqrt{3} i) \text{ or }\\ &=2−2\sqrt{3} i+2i−2\sqrt{3} i^2 \end{aligned}

Recopilación de términos similares y uso$$i^2 = -1$$

$$=(2+2\sqrt{3} )−(2\sqrt{3} +2)i$$

o

$$5.46−1.46i$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Usando la multiplicación polar, encuentra el producto$$(6−2\sqrt{3} i)(4+4\sqrt{3} i)$$.

Solución

Let$$z_1 =6−2\sqrt{3} i$$ y$$z_2 =4+4\sqrt{3} i$$

$$r_1=\sqrt{(6)^2−(2\sqrt{3} )^2}$$y$$r_2=\sqrt{(4)^2+(4\sqrt{3} )^2}$$

$$r_1=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$$y$$r_2=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8$$

Para$$\theta_1$$, primero encontrar$$\tan \theta_{ref}=\left | \dfrac{y}{x} \right|$$

\begin{aligned} \tan \theta_{ref}&=\dfrac{(2\sqrt{3} )}{6} \\ \tan \theta_{ref}&=\dfrac{\sqrt{3} }{3} \\ \theta_{ref}&=\dfrac{\pi}{6} \end{aligned}

Ya$$x > 0$$ y$$y < 0$$ sabemos que$$\theta_1$$ está en el cuadrante 4 º:

$$\theta_1=11\dfrac{\pi}{6}$$

Para$$\theta_2$$,

\begin{aligned} \tan \theta_{ref}&=\dfrac{(4\sqrt{3} )}{4} \\ \tan \theta_{ref}&=\sqrt{3} \\ \theta_{ref}&=\dfrac{\pi}{3} \end{aligned}

Dado que$$\theta_2$$ está en el primer cuadrante,

$$\theta_2=\dfrac{\pi}{3}$$

Usando la multiplicación polar,

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &=4\sqrt{3} \times 8\left(\; cis \; \left[\dfrac{11\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right] \right) \\ z_1 \times z_2 &=32\sqrt{3} \left(\; cis \; \left[\dfrac{13 \pi}{6}\right] \right) \end{aligned}

restando$$2\pi$$ del aumento:

$$z_1 \times z_2 =32\sqrt{3} \left(\; cis \; \left[\dfrac{\pi}{6}\right]\right)$$

o en forma expandida:$$32\sqrt{3} \left(\cos \left[\dfrac{\pi}{6}\right]+i \sin \left[\dfrac{\pi}{6}\right] \right)$$

En forma decimal esto se convierte en:$$55.426(0.866 + 0.500i)$$ o$$48 + 27.713i$$

Comprobar:

\begin{aligned} (6−2\sqrt{3} i)(4+4\sqrt{3} i)&=24+24\sqrt{3} i−8\sqrt{3} i−24i^2\\ &=24+16\sqrt{3} i+24 \\ &=48+27.713i \end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Usando división polar, encontrar el cociente de$$z_1 z_2$$ dado que$$z_1 =5−5i$$ y$$z_2 =−2\sqrt{3} −2i$$.

Solución

Para$$z_1$$:$$r_1=\sqrt{5^2+(−5)^2}$$ o$$5\sqrt{2}$$ y$$\tan \theta_1=\dfrac{−5}{5}$$, así$$\theta_1=\dfrac{7\pi}{4}$$ (4º cuadrante)

Para$$z_2$$:$$r_2=\sqrt{(−2\sqrt{3} )^2+(−2)^2}$$ o$$\sqrt{16}=4$$ y$$\tan \theta_2=\dfrac{−2}{(−2\sqrt{3} )}$$, así$$\theta_2=\dfrac{7 \pi}{6}$$ (tercer cuadrante)

Usando la fórmula,$$z_1 z_2 =r_1r_2\times \; cis \; [\theta_1−\theta_2]$$ o

\begin{aligned} &=5\sqrt{2} 4\times \; cis \; \left[\dfrac{7\pi}{4}−\dfrac{7 \pi}{6}\right] \\ &=5\sqrt{2} 4\times \; cis \; \left[\dfrac{7 \pi}{12}\right] \\ &=5\sqrt{2} 4\left[\cos \dfrac{7 \pi}{12}+i \sin \dfrac{7 \pi}{12}\right]\\ &=1.768[−0.259+(0.966)i] \\ &=−0.458+1.708i \end{aligned}

Verifique usando el conjugado complejo para hacer la división en forma rectangular:

\ dfrac {5-5 i} {-2\ sqrt {3} -2 i}\ cdot\ dfrac {-2\ sqrt {3} +2 i} {-2\ sqrt {3} +2 i} &=\ dfrac {-10\ sqrt {3} +10 i+10\ sqrt {3} i-10 i^ {2}} {(-2\ sqrt {3} i-10 i^ {2}} {(-2\ sqrt {3}) ^ {2} - (2 i) ^ {2}}\\
&=\ dfrac {-10\ sqrt {3} +10 i+10\ sqrt {3} i+10} {12+4}\\
&=\ dfrac {(-10\ sqrt {3} +10 ) + (10+10\ sqrt {3}) i} {16}\\
&=\ dfrac {(-17.3+10) + (10+17.3) i} {16}\\
&=\ dfrac {(-7.3) + (27.3) i} {16}\ qquad\ text {o}\; -0.456+1.706 i

Los dos enfoques radicalmente diferentes dan la misma respuesta. La pequeña diferencia entre las dos respuestas es resultado del redondeo decimal.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Encuentra el producto:$$\left(7\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\cdot \left(5 \left (−\dfrac{\pi}{4}\right) \right)$$.

Solución

Este es más fácil de lo que parece: Recordemos$$z_1 \cdot z_2 =r_1\cdot r_2 \; cis \; (\theta_1+\theta_2)$$.

\ (\ begin {alineado} r_ {1}\ cdot r_ {2} &\ fila derecha 7\ cdot 5=35 &&\ text {Por sustitución y multplicación}\\ theta_ {1} +\ theta_ {2} &\ derecha_izquierda (\ dfrac {\ pi} {6}\ derecha) +\ izquierda (\ dfrac {-\ pi} {4}\ derecha) &&\ texto {Sustituto}\\
&\ izquierda (\ dfrac {2\ pi} {12}\ derecha) +\ izquierda (\ dfrac {- 3\ pi} {12}\ derecha) &&\ text {Buscar denominadores comunes}\\ &\ left (\ dfrac {-\ pi} {12}\ right) &&\ text {Simplificar}\\
&\ por lo tanto 35\; cis\;\ left (\ dfrac {-\ pi} {12}\ right) &&\ text {es el producto}\ end {alineado}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Encuentra el cociente:$$\dfrac{1+2i}{2−i}$$.

Solución

Primero, encuentra el cociente por multiplicación polar:

$$r_1=\sqrt{(1)^2+(2)^2}=\sqrt{5} \qquad r_2=\sqrt{(2)^2+(−1)^2}=\sqrt{5}$$

\begin{aligned} \tan \theta_1&=\dfrac{2}{1} \\ \tan \theta_1&=2 \\ \theta_{ref}&=1.107 \text{ radians} \end{aligned}

ya que el ángulo está en el primer cuadrante

$$\theta_1 = 1.107 \text{ radians}$$

para$$\theta_2$$,

\begin{aligned} \tan \theta_2&=\dfrac{−1}{2} \\ \tan \theta_{ref}&=\dfrac{1}{2} \\ \theta_{ref}&=0.464 \text{ radians }\end{aligned}

ya que$$\theta_2$$ está en el cuadrante 4, entre 4.712 (o$$\dfrac{3 \pi }{2}$$) y 6.282 radianes (o$$2\pi$$)

$$\theta_2 = 5.820 radians$$

Por último, utilizando la fórmula de división,

\begin{aligned} \dfrac{z_1 }{z_2} &=\dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{5} }[\; cis \; (1.107−5.820)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2} &=[\; cis \; (−4.713)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=[\cos (−4.713)+i \sin (−4.713)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=[\cos (1.570)+i \sin (1.570)] \end{aligned}

Si asumimos eso$$\dfrac{\pi }{2}=1.570$$, entonces

\begin{aligned} &\approx \dfrac{z_1 }{z_2}=[\cos \left(\dfrac{\pi }{2}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi }{2}\right)] \\ \dfrac{z_1 }{z_2}&=0+1i=i \end{aligned}

### Revisar

1. Encuentra el producto usando forma polar:$$(2+2i)(\sqrt{3}−i)$$
2. $$2 cis \; (40)\cdot 4 cis \; (20)$$
3. Multiplicar:$$2\left(\cos \dfrac{\pi }{8}+i \sin \dfrac{\pi }{8}\right)\cdot 2 \left(\cos \dfrac{\pi }{10}+i \sin \dfrac{\pi }{10}\right)$$
4. $$\dfrac{2cis \; (80)}{6cis \; (200)}$$
5. Dividir:$$3cis \; (130^{\circ}) \div 4cis \; (270^{\circ})$$

Si$$z_1 =7\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$$ y$$z_2 =5\left(\dfrac{−\pi }{4}\right)$$ encuentra:

1. $$z_1 \cdot z_2$$
2. $$\left(\dfrac{z_1 }{z_2} \right)$$
3. $$\left(\dfrac{z_2 }{z_1 }\right)$$

Si$$z_1 =8\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$$ y$$z_2 =5\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$$ encuentra:

1. $$z_1 z_2$$
2. $$\left(\dfrac{z_1 }{z_2} \right)$$
3. $$\left(\dfrac{z_2 }{z_1 }\right)$$
4. $$(z_1 )^2$$
5. $$(z_2 )^3$$

Encuentra los productos.

1. Encuentra el producto usando forma polar:$$(2+2i)(\sqrt{3} −i)$$
2. $$2(\cos 40^{\circ}+i\sin 40^{\circ})\cdot 4(\cos 20^{\circ}+i\sin 20^{\circ})$$
3. $$2\left(\cos \dfrac{\pi }{8}+i\sin \dfrac{\pi }{8}\right)\cdot 2\left(\cos \dfrac{\pi }{10}+i\sin \dfrac{\pi }{10}\right)$$

Encuentra los cocientes.

1. $$2(\cos 80^{\circ}+i\sin 80^{\circ})\div 6(\cos 200^{\circ}+i\sin 200^{\circ})$$
2. $$3cis \; (130^{\circ})\div 4cis \; (270^{\circ})$$

### Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.9.

## El vocabulario

Término Definición
Conjugado complejo Los conjugados complejos son pares de binomios complejos. El complejo conjugado de$$a+bi$$ es$$a−bi$$. Cuando se multiplican los conjugados complejos, el resultado es un\ sin gle número real.
número complejo Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario, escritos en la forma$$a+bi$$.
forma rectangular La forma rectangular de un punto o una curva se da en términos de x e y y se grafica en el plano cartesiano.