5.3.10: Teorema de Demoivre y enésima Raíces
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Ya sabes cómo multiplicar dos números complejos juntos y has visto las ventajas de usar la forma polar trigonométrica, especialmente al multiplicar más de dos números complejos al mismo tiempo. Debido a que elevar un número a una potencia de número entero es multiplicación repetida, también se sabe cómo elevar un número complejo a una potencia numérica entera.
¿Qué es una interpretación geométrica de la cuadratura de un número complejo?
Recordemos que si\(z_1=r_1\cdot \; cis \; \theta_1\) y\(z_2=r_2\cdot \; cis \; \theta_2\) con\(r_2\neq 0\), entonces\(z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2\cdot \; cis \; (\theta 1+\theta 2)\).
Si\(z_1=z_2=z=r \; cis \; \theta \) entonces puedes determinar\(z_2\) y\(z_3\):
\(\begin{aligned} z^2 &=r\cdot r\cdot \; cis \; (\theta +\theta ) =r^2 \; cis \; (2\cdot \theta )\\ z^3&=r^3 \; cis \; (3\cdot \theta ) \end{aligned}\)
El teorema de De Moivre simplemente generaliza este patrón al poder de cualquier entero positivo.
\(z^n=r^n\cdot \; cis \; (n\cdot \theta )\)
Además de elevar un número complejo a una potencia, también puedes tomar raíces cuadradas, raíces cubicas y\(n^{th}\) raíces de números complejos. Supongamos que tienes un número complejo\(z=r \; cis \; \theta \) y quieres tomar la\(n^{th}\) raíz de z. En otras palabras, quieres encontrar un número\(v=s\cdot \; cis \; \beta \) tal que\(v^n=z\). Hacer alguna sustitución y manipulación:
\(\begin{aligned} v^n&=z \\ (s\cdot \; cis \; \beta )^n&=r\cdot \; cis \; \theta \\ s^n \cdot \; cis \; (n\cdot \beta )&=r\cdot \; cis \; \theta \end{aligned}\)
Se puede ver en este punto que para encontrar s se necesita tomar la\(n^{th}\) raíz de r. la parte más complicada es encontrar los ángulos, porque\(n\cdot \beta \) podría ser cualquier ángulo coterminal con\(\theta \). Esto significa que existen\(n\) diferentes\(n^{th}\) raíces de\(z\).
\(\begin{aligned} n\cdot \beta &=\theta +2\pi k\\ \beta &=\dfrac{\theta +2\pi k}{n} \end{aligned}\)
El número\(k\) puede ser todos los números de conteo incluyendo ceros hasta\(n−1\). Entonces si estás tomando la 4ta raíz, entonces\(k=0,1,2,3\).
Así, la\(n^{th}\) raíz de un número complejo requiere n cálculos diferentes, uno para cada raíz:
\(v=\sqrt{n}{r} \cdot \; cis \; \left(\dfrac{\theta +2\pi k}{n}\right)\)para\({k \in I | 0\leq k\leq n−1}\)
Para aplicar esta fórmula, encuentra la raíz cubo del número 8. La mayoría de los estudiantes saben que 23=8 y así saben que 2 es la raíz cubo de 8. Sin embargo, no se dan cuenta de que hay otras dos raíces cubicas que son mis\ sin g. Recuerda escribir\(k=0,1,2\) y usar el círculo unitario siempre que sea posible para ayudarte a encontrar las tres raíces cubicas.
\ (\ begin {aligned}
8 &=8\ nombreoperador {cis} 0 =( s\ cdot\ nombreoperador {cis}\ beta) ^ {3}\\
z_ {1} &=2\ cdot\ nombreoperador {cis}\ left (\ frac {0+2\ pi\ cdot 0} {3}\ derecha) =2\ nombreoperador {cis} 0=2 (\ cos 0+i\ cdot\ sin 0) =2 (1+0) =2\\
z_ {2} &=2\ cdot\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {0+2\ pi\ cdot 1} {3}\ derecha) =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {2\ pi} {3}\ derecha)\\
&=2\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ frac {2\ pi} {3}\ derecha) +i\ cdot\ sin\ izquierda (\ frac {2\ pi} {3}}\ derecha)\ derecha) =2\ izquierda (-\ frac {1} {2} +\ frac {\ sqrt {3}} {2} i\ derecha) =-1+i\ sqrt {3}\\
z_ {3} &=2\ cdot\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {0+2\ pi\ cdot 2} {3}\ derecha) =2\ nombreoperador {cis}\ izquierda (\ frac {4\ pi} {3}\ derecha)\\
&=2\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ frac {4\ pi} {3}\ derecha) +i\ cdot\ sin\ izquierda (\ frac {4\ pi} {3}\ derecha)\ derecha) =2\ izquierda (-\ frac {1} {2} -\ frac {\ sqrt {3}} {2} i\ derecha) =-1-i\ sqrt {3}
\ end {alineado}\)
Las raíces cubicas de 8 son 2,\(−1+i\sqrt{3} \),\(−1−i\sqrt{3} \).
Para comprobar, que son las raíces cubicas, las cubos todas simplifican.
\(\begin{aligned} z^3_1 &=2^3=8\\ z^3_2&=(−1+i\sqrt{3} )^3 \\ &=(−1+i\sqrt{3} )\cdot (−1+i\sqrt{3} )\cdot (−1+i\sqrt{3} )\\ &=(1−2i\sqrt{3} −3)\cdot (−1+i\sqrt{3} ) \\ &=(−2−2i\sqrt{3} )\cdot (−1+i\sqrt{3} ) \\ &=2−2i\sqrt{3} +2i\sqrt{3} +6 \\&=8\end{aligned}\)
Tenga en cuenta cuántos pasos y oportunidades hay para cometer un error al multiplicar múltiples términos en forma rectangular. Cuando compruebes z3, usa forma polar trigonométrica.
\(\begin{aligned} z^3_3&=2^3 \; cis \; \left(3\cdot \dfrac{4\pi }{3}\right) \\ &=8(\cos 4\pi +i\cdot \sin 4\pi ) \\ &=8(1+0)\\&=8 \end{aligned}\)
Anteriormente, se le preguntó qué es una interpretación geométrica de cuadrar un número complejo. Al cuadrar un número complejo se produce un nuevo número complejo. El ángulo se duplica y la magnitud se cuadra, por lo que geométricamente se ve una rotación.
Solución
Traza gráficamente las raíces de 8 y discute cualquier patrón que notes.
Solución
Los tres puntos están igualmente espaciados alrededor de un círculo de radio 2. Sólo uno de los puntos,\(2+0i\), se compone únicamente de números reales. Los otros dos puntos tienen tanto un componente real como uno imaginario por lo que están fuera del eje x.
A medida que se sienta más cómodo con las raíces, solo puede determinar el número de puntos que deben espaciarse uniformemente alrededor de un cierto círculo de radio y encontrar el primer punto. El resto es solo lógica.
¿De qué son las cuartas raíces\(16 \; cis \; 48^{\circ} \)?
Solución
Habrá 4 puntos, cada uno\(90^{\circ} \) aparte con el primer punto en\(2 \; cis \; (12^{\circ} )\).
\(2 \; cis \; (12^{\circ} )\),\( 2 \; cis \; (102^{\circ} )\),\(2 \; cis \; (192^{\circ} )\),\(2 \; cis \; (282^{\circ} )\)
Resuelve para z encontrando la\(n^{th}\) raíz del número complejo.
\(z^3=64−64\sqrt{3}i\)
Solución
Primero escribe el número complejo en\(\; cis \;\) forma. Acuérdate de identificar\(k=0,1,2\). Esto significa que las raíces aparecerán cada una\(\sqrt{360^{\circ} }{3}=120^{\circ} \).
\(\begin{aligned} z^3 &=64−64\sqrt{3}i =128\cdot \; cis \; 300^{\circ} \\ z_1&=128^{\dfrac{1}{3}} \cdot \; cis \; \left(\dfrac{300}{3}\right)^{\circ} =128^{\dfrac{1}{3}} \cdot \; cis \; \left(\dfrac{300}{3}\right)^{\circ} \\ z_2 &=128^{\dfrac{1}{3}} \cdot \; cis \; (220^{\circ} )\\ z_3 &=128^{\dfrac{1}{3}} \cdot \; cis \; (340^{\circ} ) \end{aligned}\)
Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar el siguiente poder.
\((\sqrt{2} −\sqrt{2} i)^6\)
Solución
Primero escribe el número en forma polar trigonométrica, luego aplica el Teorema de De Moivre y simplifica.
\(\begin{aligned} (\sqrt{2} −\sqrt{2} i)^6&=(2 \; cis \; 315^{\circ} )^6 \\ &=2^6\cdot \; cis \; (6\cdot 315^{\circ} ) \\ &=64\cdot \; cis \; (1890^{\circ} ) \\ &=64\cdot \; cis \; (1890^{\circ} )\\&=64\cdot \; cis \; (90^{\circ} ) \\&=64(\cos 90^{\circ} +i\cdot \sin 90^{\circ} ) \\&=64(0+i) \\&=64i \end{aligned}\)
Revisar
Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar cada expresión. Escribe tus respuestas en forma rectangular.
1. \((1+i)^5\)
2. \((1−\sqrt{3}i)^3\)
3. \((1+2i)^6\)
4. \((\sqrt{3}−i)^5\)
5. \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\right)^4\)
6. Encuentra las raíces cubicas de\(3+4i\).
7. Encuentra las\(5^{th}\) raíces de\(32i\).
8. Encuentra las\(5^{th}\) raíces de\(1+\sqrt{5}i\).
9. Encuentra las\(6^{th}\) raíces de - 64 y trazarlas en el plano complejo.
10. Usa tus respuestas a #9 para ayudarte a resolver\(x^6+64=0\).
Para cada ecuación: a) indicar el número de raíces, b) calcular las raíces y c) representar gráficamente las raíces.
11. \(x^3=1\)
12. \(x^8=1\)
13. \(x^{12}=1\)
14. \(x^4=16\)
15. \(x^3=27\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.4.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| \(n^{th}\)raíces de la unidad | Las\(n^{th}\) raíces de la unidad son las\(n^{th}\) raíces del número 1. |
| número complejo | Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario, escritos en la forma\(a+bi\). |
| plano complejo | El plano complejo es la representación gráfica del conjunto de todos los números complejos. |
| Teorema de De Moivre | El teorema de De Moivre es el único método manual práctico para identificar los poderes o raíces de los números complejos. El teorema afirma que si\(z=r(\\cos \theta +i\\sin \theta )\) es un número complejo en\(r\; cis \;\theta \) forma y n es un entero positivo, entonces\(z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))\). |
| forma polar trigonométrica | Escribir un número complejo en forma trigonométrica significa escribirlo en el formulario\(r\cos \theta +ri\sin \theta \). \(r\; cis \;\theta \)es la taquigrafía de esta expresión. |
Recursos adicionales
Video: Determinar las\(n^{th}\) raíces de un número complejo
Práctica: Teorema y\(n^{th}\) raíces de Demoivre