3.4: Tablas de contingencia y árboles de probabilidad

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Tablas de Contingencia

Una tabla de contingencia proporciona una forma de retratar datos que pueden facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra valores de muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Posteriormente volveremos a utilizar mesas de contingencia, pero de otra manera.

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

Supongamos que un estudio de violaciones por exceso de velocidad y conductores que utilizan teléfonos celulares produjeron los siguientes datos ficticios:

\ (\ PageIndex {2}\) “>

Mesa\(\PageIndex{2}\)
	Violación por exceso de velocidad en el último año	No hay violación por exceso de velocidad en el último año	Total
Utiliza el teléfono celular mientras conduces	25	280	305
No usa celular mientras conduce	45	405	450
Total	70	685	755

El número total de personas en la muestra es 755. Los totales de fila son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Observe que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755.

Calcula las siguientes probabilidades usando la tabla.

a. Find P (El conductor es un usuario de celular).

Contestar

Solución 3.20

a.\(\frac{\text { number of cell phone users }}{\text { total number in study }}=\frac{305}{755}\)

b. Hallar P (Conductor no tuvo violación en el último año).

Contestar

Solución 3.20

b.\(\frac{\text { number that had no violation }}{\text { total number in study }}=\frac{685}{755}\)

c. Encuentra P (Conductor no tuvo violación en el último año\(\cap\) fue un usuario de celular).

Contestar

Solución 3.20

c.\(\frac{280}{755}\)

d. Find P (Conductor es un usuario de teléfono celular\(\cup\) conductor no tuvo ninguna violación en el último año).

Contestar

Solución 3.20

d.\(\left(\frac{305}{755}+\frac{685}{755}\right)-\frac{280}{755}=\frac{710}{755}\)

e. encontrar P (Conductor es un usuario de teléfono celular\(|\) conductor tuvo una violación en el último año).

Contestar

Solución 3.20

e.\(\frac{25}{70}\) (El espacio muestral se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción.)

f. Find P (Conductor no tuvo violación el año pasado\(|\) chofer no era usuario de celular)

Contestar

Solución 3.20

f.\(\frac{405}{450}\) (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos celulares).

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

En la tabla se\(\PageIndex{3}\) muestra el número de atletas que se estiran antes de hacer ejercicio y cuántos tuvieron lesiones en el último año.

\ (\ PageIndex {3}\) “>

	Lesión en el último año	Sin lesiones en el año pasado	Total
Estiramientos	55	295	350
No se estira	231	219	450
Total	286	514	800

Cuadro 3.3

¿Qué es P (estiramientos de atleta antes de hacer ejercicio)?
¿Qué es P (estiramientos del atleta antes de hacer ejercicio||sin lesiones en el último año)?

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

En la tabla se\(\PageIndex{4}\) muestra una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de senderismo que prefieren.

\ (\ PageIndex {4}\) Preferencia de zona de senderismo “>

Sexo	La costa	Cerca de lagos y arroyos	En los picos de las montañas	Total
Hembra	18	16	___	45
Macho	___	___	14	55
Total	___	41	___	___

Tabla 3.4 Preferencia de zona de senderismo

a. Completar la tabla.

Contestar

Solución 3.21

\ (\ PageIndex {5}\) Preferencia de zona de senderismo “>

Preferencia Zona de\(\PageIndex{5}\) Senderismo de Mesa
Sexo	La costa	Cerca de lagos y arroyos	En los picos de las montañas	Total
Hembra	18	16	11	45
Macho	16	25	14	55
Total	34	41	25	100

b. ¿Los eventos son “ser femeninos” y “preferir la costa” eventos independientes?

Dejar F = ser femenino y dejar C = prefiriendo la costa.

Encuentra\(P(F\cap C)\).
Buscar P (F) P (C)

¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes.

Contestar

Solución 3.21

1. \(P(F\cap C)=\frac{18}{100}\)= 0.18

2. P (F) P (C) =\(\left(\frac{45}{100}\right)\left(\frac{34}{100}\right)\) = (0.45) (0.34) = 0.153

\(P(F\cap C)\)≠ P (F) P (C), por lo que los eventos F y C no son independientes.

c. Encontrar la probabilidad de que una persona sea macho dado que la persona prefiere hacer senderismo cerca de lagos y arroyos. Dejar M = ser macho, y dejar que L = prefiere el senderismo cerca de lagos y arroyos.

¿Qué palabra te dice que esto es un condicional?
Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P (___||___) = ___.
¿El espacio de muestra para este problema es la totalidad de los 100 excursionistas? Si no, ¿qué es?

Contestar

Solución 3.21

1.La palabra 'dado' te dice que se trata de un condicional.

2.P (M||L) =\(\frac{25}{41}\)

3.No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos.

d. Encontrar la probabilidad de que una persona sea femenina o prefiera hacer senderismo en las cumbres de las montañas. Dejemos que F = ser hembra, y que P= prefiera los picos montañosos.

Encuentra P (F).
Encuentra P (P).
Encuentra\(P(F\cap P)\).
Encuentra\(P(F\cup P)\).

Contestar

Solución 3.21

P (F) =\(\frac{45}{100}\)
P (P) =\(\frac{25}{100}\)
\(P(F\cap P)\)=\(\frac{11}{100}\)
\(P(F\cup P)\)=\(\frac{45}{100}+\frac{25}{100}-\frac{11}{100}=\frac{59}{100}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

En el cuadro se\(\PageIndex{6}\) muestra una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Dejar M = machos y H = sendero montañoso.

\ (\ PageIndex {6}\) “>

Mesa\(\PageIndex{6}\)
Género	Sendero del lago	Sendero montañoso	Sendero boscoso	Total
Hembra	45	38	27	110
Macho	26	52	12	90
Total	71	90	39	200

Fuera de los machos, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino montañoso?
¿Son los eventos “ser masculinos” y “preferir el camino montañoso” eventos independientes?

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

Muddy Mouse vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa el gato es 1515 y la probabilidad de que no sea atrapado es 4545. Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es de 1414 y la probabilidad de que no lo atrapen es 3434. La probabilidad de que Alissa atrapa a Muddy saliendo de la tercera puerta es de 1212 y la probabilidad de que no atrape a Muddy es de 1212. Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es de 1313.

\ (\ PageIndex {7}\) Selección de puerta “>

Elección de\(\PageIndex{7}\) puerta de mesa
Atrapados o no	Puerta uno	Puerta dos	Puerta tres	Total
Atrapado	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	____
No atrapado	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{3}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	____
Total	____	____	____	1

La primera entrada\(\frac{1}{15}=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) es\(P(Door One\cap Caught)\)
La entrada\(\frac{4}{15}=\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) es\(P(Door One\cap Not Caught)\)

Verificar las entradas restantes.

a. Completar la tabla de contingencia de probabilidad. Calcular las entradas para los totales. Verifique que la entrada de la esquina inferior derecha sea 1.

Contestar

Solución 3.22

\ (\ PageIndex {8}\) Selección de puerta “>

Elección de\(\PageIndex{8}\) puerta de mesa
Atrapados o no	Puerta uno	Puerta dos	Puerta tres	Total
Atrapado	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{19}{60}\)
No atrapado	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{3}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{41} {60}\)
Total	\(\frac{5}{15}\)	\(\frac{4}{12}\)	\(\frac{2}{6}\)	1

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy?

Contestar

Solución 3.22

b.\(\frac{41}{60}\)

c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija Door One\ cap Door Two dado que Muddy es atrapado por Alissa?

Contestar

Solución 3.22

c.\(\frac{9}{19}\)

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

El cuadro\(\PageIndex{9}\) contiene el número de delitos por cada 100 mil habitantes de 2008 a 2011 en Estados Unidos.

\ (\ PageIndex {9}\) Estados Unidos Índice delictivo Tasas por 100.000 habitantes 2008—2011 “>

Tabla Índice de Delincuencia de Estados\(\PageIndex{9}\) Unidos Tasas Por 100.000 Habitantes 2008—2011
Año	Robo	Robo	Violación	Vehículo
2008	145.7	732.1	29.7	314.7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119.3	701	27.7	239.1
2011	113.7	702.2	26.8	229.6
Total

TOTAL cada columna y cada fila. Datos totales = 4,520.7

Encuentra\(P(2009\cap Robbery)\).
Encuentra\(P(2010\cap Burglary)\).
Encuentra\(P(2010\cup Burglary)\).
Encuentra P (2011|Violación).
Encuentra P (Vehículo|2008).

Contestar

Solución 3.23

0.0294
0.1551
0.7165
0.2365
0.2575

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(\PageIndex{10}\)La tabla relaciona los pesos y alturas de un grupo de individuos que participan en un estudio observacional.

\ (\ PageIndex {10}\) “>

Mesa\(\PageIndex{10}\)
Peso/altura	Alto	Mediano	Corto
Obesos	18	28	14
Normal	20	51	28
Con bajo peso	12	25	9
Totales

Encuentra el total para cada fila y columna
Encuentra la probabilidad de que un individuo elegido aleatoriamente de este grupo sea Alto.
Encuentra la probabilidad de que un individuo elegido al azar de este grupo sea Obeso y Alto.
Encuentra la probabilidad de que un individuo escogido aleatoriamente de este grupo sea Alto dado que el idividual es Obeso.
Encuentra la probabilidad de que un individuo escogido aleatoriamente de este grupo sea Obeso dado que el individuo es Alto.
Encuentra la probabilidad de que un individuo elegido al azar de este grupo sea Alto y Bajo Peso.
¿Los eventos son Obesos y Altos independientes?

Diagramas de árbol

En ocasiones, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil graficar la situación. Los diagramas de árbol se pueden utilizar para visualizar y resolver probabilidades condicionales.

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consiste en “ramas” que están etiquetadas con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo usar un diagrama de árbol.

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

En una urna, hay 11 bolas. Tres bolas son rojas (R) y ocho bolas son azules (B). Dibuja dos bolas, una a la vez, con reemplazo. “Con reemplazo” significa que vuelves a poner la primera bola en la urna antes de seleccionar la segunda bola. A continuación se muestra el diagrama de árbol utilizando frecuencias que muestran todos los resultados posibles.

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada sorteo. La primera rama muestra dos líneas: 8B y 3R. La segunda rama tiene un conjunto de dos líneas (8B y 3R) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para encontrar 64BB, 24BR, 24RB y 9RR. — Figura\(\PageIndex{2}\) Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

El primer conjunto de ramas representa el primer sorteo. El segundo conjunto de ramas representa el segundo sorteo. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada bola roja como R1, R2 y R3 y cada bola azul como B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7 y B8. Entonces los nueve resultados RR pueden escribirse como:

R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R2; R3R3

Los otros resultados son similares.

Hay un total de 11 bolas en la urna. Dibuja dos bolas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11 (11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral.

a. enumerar los resultados de 24 BR: B1R1, B1R2, B1R3,...

Contestar

Solución 3.24

a. B1R1; B1R2; B1R3; B2R1; B2R2; B2R3; B3R1; B3R2; B3R3; B4R1; B4R2; B4R3; B5R1; B5R2; B5R3; B6R1; B6R2; B6R3; B7R1; B7R2; B7R3; B8R1; B8R2; B8R3

b. Usando el diagrama de árbol, calcule P (RR).

Contestar

Solución 3.24

b. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)

c. Usando el diagrama de árbol, calcule P (RB\ cup BR) P (RB\ cup BR).

Contestar

Solución 3.24

c.\(P(RB\cup BR)\) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right)=\frac{48}{121}\)

d. Usando el diagrama de árbol, calcule\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw)\).

Contestar

Solución 3.24

d.\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{24}{121}\)

e. Usando el diagrama de árbol, calcule P (R en el 2do sorte|B en el 1er sorteo).

Contestar

Solución 3.24

e. P (R en el 2do empato|B en el 1er sorteo) = P (R en 2nd|B el 1er) =\(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\)

Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a aquellos resultados que ya tienen un azul en el primer sorteo. Hay 24 + 64 = 88 posibles resultados (24 BR y 64 BB). Veinticuatro de los 88 posibles resultados son BR. \(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\).

f. Usando el diagrama de árbol, calcule P (BB).

Contestar

Solución 3.24

f. P (BB) =\(\frac{64}{121}\)

g. Usando el diagrama de árbol, calcule P (B en el 2do dibujo|R en el primer sorteo).

Contestar

Solución 3.24

g. P (B en el 2do empato|R en el 1er sorteo) =\(\frac{8}{11}\)

Hay 9 + 24 resultados que tienen R en el primer sorteo (9 RR y 24 RB). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en el segundo sorteo. La probabilidad es entonces\(\frac{24}{33}\).

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

En una baraja estándar, hay 52 cartas. 12 cartas son cartas faciales (evento F) y 40 cartas no son cartas faciales (evento N). Dibuja dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Usando el diagrama de árbol, calcule P (FF).

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada sorteo. La primera rama muestra dos líneas: 12F y 40N. La segunda rama tiene un conjunto de dos líneas (12F y 40N) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para encontrar 144FF, 480FN, 480NF y 1,600NN. — Figura\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

Una urna tiene tres canicas rojas y ocho canicas azules en ella. Dibuja dos canicas, una a la vez, esta vez sin reemplazo, de la urna. “Sin reemplazo” significa que no vuelves a poner la primera bola antes de seleccionar la segunda canica. A continuación se presenta un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas están etiquetadas con probabilidades en lugar de frecuencias. Los números en los extremos de las ramas se calculan multiplicando los números en las dos ramas correspondientes, por ejemplo,\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\).

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las probabilidades de cada sorteo. El primer ramal muestra 2 líneas: B 8/11 y R 3/11. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada primera línea de bifurcación. Debajo de B 8/11 están B 7/10 y R 3/10. Debajo de R 3/11 están B 8/10 y R 2/10. Multiplique a lo largo de cada línea para encontrar BB 56/110, BR 24/110, RB 24/110 y RR 6/110. — Figura\(\PageIndex{4}\) Total =\(\frac{56+24+24+6}{110}=\frac{110}{110}=1\)

NOTA

Si dibujas un rojo en el primer sorteo de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para dibujar en el segundo sorteo. No vuelves a poner ni reemplazar la primera canica después de haberla dibujado. Se dibuja sin reemplazo, para que en el segundo sorteo queden diez canicas en la urna.

Calcula las siguientes probabilidades usando el diagrama de árbol.

a. P (RR) = ________

Contestar

Solución 3.25

a. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\)

b. Rellenar los espacios en blanco:

\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)\)+ (___) (___) =\(\frac{48}{110}\)

Contestar

Solución 3.25

b.\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{48}{110}\)

c. P (R en 2nd|B el 1º) =

Contestar

Solución 3.25

c. P (R en 2nd|B el 1º) =\(\frac{3}{10}\)

d. Rellene los espacios en blanco.

\(P(Ron 1st\cap Bon 2nd)\)= (___) (___) =\(\frac{24}{100}\)

Contestar

Solución 3.25

d.\(P(R \text{ on 1st }\cap B \text{ on 2nd}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)=\frac{24}{110}\)

e. Encuentra P (BB).

Contestar

Solución 3.25

e. P (BB) =\(\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)

f. encontrar P (B en 2nd|R el 1º).

Contestar

Solución 3.25

f. Usando el diagrama de árbol, P (B en 2nd|R el 1er) = P (R|B) =\(\frac{8}{10}\).

Si estamos usando probabilidades, podemos etiquetar el árbol de la siguiente manera general.

Este es un diagrama de árbol para un experimento de dos pasos. La primera rama muestra el primer resultado: P (B) y P (R). La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada línea de la primera rama: la probabilidad de B dada B = P (BB), la probabilidad de R dada B = P (RB), la probabilidad de B dada R = P (BR), y la probabilidad de R dada R = P (RR).

P (R|R) aquí significa P (R en 2nd|R en 1st)
P (B|R) aquí significa P (B en 2nd|R en 1st)
P (R|B) aquí significa P (R en 2nd|B en 1st)
P (B|B) aquí significa P (B en 2nd|B en 1ra)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

En una baraja estándar, hay 52 cartas. Doce cartas son cartas de cara (F) y 40 cartas no son cartas de cara (N). Dibuja dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está etiquetado con todas las probabilidades posibles.

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada sorteo. El primer ramal muestra 2 líneas: F 12/52 y N 40/52. El segundo ramal tiene un conjunto de 2 líneas (F 11/52 y N 40/51) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para encontrar FF 121/2652, FN 480/2652, NF 480/2652 y NN 1560/2652. — Figura\(\PageIndex{5}\)

Encuentra\(P(FN\cup NF)\).
Encuentra P (N|F).
Encuentra P (como máximo una tarjeta facial).
Pista: “A lo sumo una carta de cara” significa cero o una carta de cara.
Encuentra P (al menos en la tarjeta facial).
Pista: “Al menos una carta facial” significa una o dos cartas de cara.

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

Una camada de gatitos disponibles para adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco gatitos negros. Entra una familia y selecciona aleatoriamente dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción.

Este es un diagrama de árbol con ramas que muestran probabilidades de elecciones de gatitos. La primera rama muestra dos líneas: T 4/9 y B 5/9. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada primera línea de bifurcación. Debajo de T 4/9 están T 3/8 y B 5/8. Debajo de B 5/9 están T 4/8 y B 4/8. Multiplique a lo largo de cada línea para encontrar probabilidades de posibles combinaciones.

¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos estén atigrados?

\(a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) b \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right) c \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right) d \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\)
¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada coloración?

a.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)\)
¿Cuál es la probabilidad de que un atigrado sea elegido como el segundo gatito cuando se eligió a un gatito negro como el primero?
¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color?

Contestar

Solución 3.26

a. c, b. d, c.\(\frac{4}{8}\), d.\(\frac{32}{72}\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Supongamos que hay cuatro bolas rojas y tres bolas amarillas en una caja. Se extraen dos bolas de la caja sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola de cada coloración?