17.2: Mesas unidireccionales
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Objetivos de aprendizaje
Describir lo que significa que haya frecuencias teóricamente esperadas
- Calcular frecuencias esperadas
- Compute Chi Cuadrado
- Determinar los grados de libertad
La distribución de Chi Square se puede utilizar para probar si los datos observados difieren significativamente de las expectativas teóricas. Por ejemplo, para un dado justo de seis lados, la probabilidad de algún resultado dado en una sola tirada sería\(1/6\). Los datos de la Tabla\(\PageIndex{1}\) se obtuvieron enrollando\(36\) tiempos de troquel de seis lados. Sin embargo, como puede verse en la Tabla\(\PageIndex{1}\), algunos resultados ocurrieron con mayor frecuencia que otros. Por ejemplo, un "\(3\)" surgió nueve veces, mientras que un "\(4\)" "sólo apareció dos veces. ¿Estos datos son consistentes con la hipótesis de que el dado es un dado justo? Naturalmente, no esperamos que las frecuencias de muestreo de los seis posibles resultados sean las mismas ya que se producirán diferencias de probabilidad. Entonces, el hallazgo de que las frecuencias difieren no significa que el dado no sea justo. Una forma de probar si el dado es justo es realizar una prueba de significancia. La hipótesis nula es que el dado es justo. Esta hipótesis se prueba calculando la probabilidad de obtener frecuencias como discrepantes o más discrepantes a partir de una distribución uniforme de frecuencias obtenida en la muestra. Si esta probabilidad es suficientemente baja, entonces se puede rechazar la hipótesis nula de que el dado es justo.
| Resultado | Frecuencia |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 2 | 5 |
| 3 | 9 |
| 4 | 2 |
| 5 | 7 |
| 6 | 5 |
El primer paso para realizar la prueba de significancia es calcular la frecuencia esperada para cada resultado dado que la hipótesis nula es verdadera. Por ejemplo, la frecuencia esperada de un "\(1\)" es\(6\) ya que la probabilidad de que un\(1\) "" suba es\(1/6\) y hubo un total de\(36\) rollos de la matriz.
\[\text{Expected frequency} = (1/6)(36) = 6\]
Obsérvese que las frecuencias esperadas se esperan sólo en un sentido teórico. Realmente no “esperamos” que las frecuencias observadas coincidan exactamente con las “frecuencias esperadas”.
El cálculo continúa de la siguiente manera. Dejando\(E\) ser la frecuencia esperada de un resultado y\(O\) ser la frecuencia observada de ese resultado, computar
\[\frac{(E-O)^2}{E}\]
para cada resultado. En la tabla se\(\PageIndex{2}\) muestran estos cálculos.
| Resultado | E | O |  |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 8 | 0.667 |
| 2 | 6 | 5 | 0.167 |
| 3 | 6 | 9 | 1.500 |
| 4 | 6 | 2 | 2.667 |
| 5 | 6 | 7 | 0.167 |
| 6 | 6 | 5 | 0.167 |
A continuación sumamos todos los valores en la Columna 4 de la Tabla\(\PageIndex{2}\).
\[\sum \frac{(E-O)^2}{E} = 5.333\]
Esta distribución muestral de\(\sum \frac{(E-O)^2}{E}\) se distribuye aproximadamente como Chi Square con\(k-1\) grados de libertad, donde\(k\) está el número de categorías. Por lo tanto, para este problema el estadístico de prueba es
\[\chi _{5}^{2}=5.333\]
lo que significa que el valor de Chi Square con\(5\) grados de libertad es\(5.333\).
A partir de una calculadora de Chi Cuadrado se puede determinar que la probabilidad de un Chi Cuadrado de\(5.333\) o mayor es\(0.377\). Por lo tanto, no puede rechazarse la hipótesis nula de que el dado es justo.
Esta prueba de Chi Cuadrado también se puede utilizar para probar otras desviaciones entre las frecuencias esperadas y observadas. El siguiente ejemplo muestra una prueba de si la variable “GPA universitario” en el estudio de caso SAT y GPA universitario se distribuye normalmente.
La primera columna de la Tabla\(\PageIndex{3}\) muestra la distribución normal dividida en cinco rangos. La segunda columna muestra las proporciones de una distribución normal que caen en los rangos especificados en la primera columna. Las frecuencias esperadas (\(E\)) se calculan multiplicando el número de puntuaciones (\(105\)) por la proporción. La columna final muestra el número observado de puntuaciones en cada rango. Es claro que las frecuencias observadas varían mucho de las frecuencias esperadas. Obsérvese que si la distribución fuera normal, entonces solo habría habido alrededor de\(35\) puntajes entre\(0\) y\(1\), mientras que\(60\) se observaron.
| Rango | Proporción | E | O |
|---|---|---|---|
| Por encima de 1 | 0.159 | 16.695 | 9 |
| 0 a 1 | 0.341 | 35.805 | 60 |
| -1 a 0 | 0.341 | 35.805 | 17 |
| Por debajo de -1 | 0.159 | 16.695 | 19 |
La prueba de si las puntuaciones observadas se desvían significativamente de las puntuaciones esperadas se computa utilizando el cálculo familiar.
\[\chi _{3}^{2} = \sum \frac{(E-O)^2}{E} = 30.09\]
El subíndice "\(3\)" significa que hay tres grados de libertad. Como antes, los grados de libertad es el número de resultados menos\(1\), que está\(4 - 1 = 3\) en este ejemplo. La calculadora de distribución de Chi Square muestra eso\(p < 0.001\) para esta Chi Square. Por lo tanto, se puede rechazar la hipótesis nula de que las puntuaciones se distribuyen normalmente.