4.3: La distribución binomial

Objetivos de aprendizaje

• Aprender el concepto de una variable aleatoria binomial.
• Aprender a reconocer una variable aleatoria como una variable aleatoria binomial.

El experimento de lanzar una moneda justa tres veces y el experimento de observar los géneros según el orden de nacimiento de los niños en una familia de tres hijos seleccionados al azar son completamente diferentes, pero las variables aleatorias que cuentan el número de cabezas en el lanzamiento de monedas y el número de niños en la familia ( asumiendo que los dos géneros son igualmente probables) son la misma variable aleatoria, la que tiene distribución de probabilidad

\[\begin{array}{c|cccc} x& 0& 1& 2& 3\\ \hline P(x)& 0.125& 0.375& 0.375& 0.125\\ \end{array}\]

Un histograma que ilustra gráficamente esta distribución de probabilidad se da en la Figura\(\PageIndex{1}\). Lo que es común a los dos experimentos es que realizamos tres ensayos idénticos e independientes de la misma acción, cada ensayo tiene sólo dos resultados (cabeza o cola, niño o niña), y la probabilidad de éxito es el mismo número,\(0.5\), en cada ensayo. La variable aleatoria que se genera se llama la variable aleatoria binomial con parámetros\(n=3\) y\(p=0.5\). Este es sólo un caso de una situación general.

Figura \(\PageIndex{1}\): Distribución de probabilidad para tres monedas y tres hijos

Definición: distribución binomial

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características.

• Hay juicios\(n\) idénticos e independientes de un procedimiento común.
• Hay exactamente dos resultados posibles para cada ensayo, uno denominado “éxito” y el otro “fracaso”.
• La probabilidad de éxito en cualquier ensayo es el mismo número\(p\).

Entonces la variable aleatoria discreta\(X\) que cuenta el número de éxitos en los n ensayos es la variable aleatoria binomial con parámetros\(n\) y\(p\). También decimos que\(X\) tiene una distribución binomial con parámetros\(n\) y\(p\).

Los siguientes cuatro ejemplos ilustran la definición. Obsérvese cómo en cada caso “éxito” es el resultado que se cuenta, no el resultado que preferimos o pensamos que es mejor en algún sentido.

1. Se selecciona una muestra aleatoria de\(125\) estudiantes de una universidad grande en la que se encuentra la proporción de estudiantes que son mujeres\(57\%\). Supongamos\(X\) denota el número de alumnas en la muestra. En esta situación hay pruebas\(n=125\) idénticas e independientes de un procedimiento común, seleccionando a un estudiante al azar; hay exactamente dos resultados posibles para cada ensayo, “éxito” (lo que estamos contando, que el estudiante sea mujer) y “fracaso”; y finalmente la probabilidad de éxito en cualquier ensayo es el mismo número\(p = 0.57\). \(X\)es una variable aleatoria binomial con parámetros\(n = 125\) y\(p = 0.57\).
2. Una prueba de opción múltiple tiene\(15\) preguntas, cada una de las cuales tiene cinco opciones. Un estudiante no preparado que realiza el examen responde a cada una de las preguntas de manera completamente aleatoria eligiendo una respuesta arbitraria de entre las cinco proporcionadas. Supongamos que\(X\) denota el número de respuestas que el alumno obtiene correctamente. \(X\)es una variable aleatoria binomial con parámetros\(n = 15\) y\(p=1/5=0.20\).
3. En una encuesta a votantes\(1,000\) registrados se le pregunta a cada elector si tiene la intención de votar por un candidato Titania Queen en las próximas elecciones. Supongamos\(X\) denota el número de votantes en la encuesta que pretenden votar por Titania Queen. \(X\)es una variable binomial aleatoria con\(n = 1000\) e\(p\) igual a la verdadera proporción de votantes (encuestados o no) que pretenden votar por Titania Queen.
4. Se administró un medicamento experimental a\(30\) pacientes con un determinado padecimiento médico. Supongamos\(X\) denota el número de pacientes que desarrollan efectos secundarios graves. \(X\)es una variable binomial aleatoria con\(n = 30\) e\(p\) igual a la probabilidad real de que un paciente con la afección subyacente experimente efectos secundarios graves si se administra ese medicamento.

Fórmula de probabilidad para una variable aleatoria binomial

A menudo, el aspecto más difícil de trabajar un problema que involucra la variable binomial aleatoria es reconocer que la variable aleatoria en cuestión tiene una distribución binomial. Una vez que eso se conoce, las probabilidades se pueden calcular usando la siguiente fórmula.

Si\(X\) es una variable aleatoria binomial con parámetros\(n\) y\(p\), entonces

\[P(x)=\dfrac{n!}{x!(n−x)!}p^xq^{n−x}\]

donde\(q=1-p\) y donde para cualquier número de conteo\(m\),\(m!\) (léase “m factorial”) se define por

\[0!=1,1!=1,2!=1⋅2,3!=1⋅2⋅3\]

y en general

\[m!=1⋅2 ⋅ ⋅ ⋅ (m−1)⋅m\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El diecisiete por ciento de las víctimas de fraude financiero conocen personalmente al autor del fraude.

1. Utilizar la fórmula para construir la distribución de probabilidad para el número\(X\) de personas en una muestra aleatoria de cinco víctimas de fraude financiero que conocían personalmente al autor.
2. Un investigador examina cinco casos de fraude financiero todos los días. Encontrar el número más frecuente de casos cada día en los que la víctima conoció al perpetrador.
3. Un investigador examina cinco casos de fraude financiero todos los días. Encontrar el promedio de casos por día en los que la víctima conoció al perpetrador.

Solución:

La variable aleatoria X es binomial con parámetros\(n = 5\) y\(p = 0.17\);\(q=1-p=0.83\). Los valores posibles de\(X\) son\(0, 1, 2, 3, 4,\; \text{and}\; 5\).

\[\begin{align*} P(0) &= \frac{5!}{0!5!}(0.17)^0(0.83)^5\\ &= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1)(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)}1\cdot (0.3939040643)\\ &= 0.3939040643\approx 0.3939 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(1) &= \frac{5!}{1!4!}(0.17)^1(0.83)^4\\ &= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1)(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}(0.17)\cdot (0.47458321)\\ &= 5\cdot (0.17)\cdot (0.47458321)\\ &= 0.4033957285 \approx 0.4034 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(2) &= \frac{5!}{2!3!}(0.17)^2(0.83)^3\\ &= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2)(1\cdot 2\cdot 3)}(0.0289)\cdot (0.571787)\\ &= 10\cdot (0.0289)\cdot (0.571787)\\ &= 0.165246443 \approx 0.1652 \end{align*}\]

Las tres probabilidades restantes se calculan de manera similar, para dar la distribución de probabilidad

\[\begin{array}{c|cccccc} x& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline P(x)& 0.3939& 0.4034& 0.1652& 0.0338& 0.0035& 0.0001 \\ \end{array} \nonumber\]

Las probabilidades no se suman exactamente a\(1\) causa del redondeo.

Esta distribución de probabilidad está representada por el histograma de la Figura\(\PageIndex{2}\), que ilustra gráficamente cuán improbables son los eventos\(X = 4\) y\(X = 5\) son. La barra correspondiente en el histograma por encima del número\(4\) es apenas visible, si es visible en absoluto, y la barra de arriba\(5\) es demasiado corta para ser visible.

Figura \(\PageIndex{2}\): Distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial en el ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El valor de\(X\) eso es lo más probable es\(X = 1\), por lo que el número más frecuente de casos vistos cada día en los que la víctima conoció al autor es uno.

El promedio de casos diarios en los que la víctima conoció al autor es la media de\(X\), que es

\[\begin{align} μ&=\sum xP(x) \\ &=0⋅0.3939+1⋅0.4034+2⋅0.1652+3⋅0.0338+4⋅0.0035+5⋅0.0001 \\ &= 0.8497 \end{align}\]

Fórmulas Especiales para la Media y Desviación Estándar de una Variable Aleatoria Binomial

Dado que una variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta, se le aplican las fórmulas para su media, varianza y desviación estándar dadas en la sección anterior, como acabamos de ver en Ejemplo\(\PageIndex{2}\) en el caso de la media. Sin embargo, para la variable aleatoria binomial hay fórmulas mucho más simples.

Si\(X\) es una variable aleatoria binomial con parámetros\(n\) y\(p\), entonces

\[\mu=np\]

\[\sigma ^2=npq\]

\[\sigma =\sqrt{npq}\]

donde\( q=1-p\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la media y desviación estándar de la variable aleatoria\(X\) de Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Solución:

La variable aleatoria\(X\) es binomial con parámetros\(n = 5\) y\(p = 0.17\), y\(q=1-p=0.83\). Por lo tanto, su media y desviación estándar son

\[\mu =np=(5)\cdot (0.17)=0.85 \; \; \text{(exactly)} \nonumber\]

y

\[\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{(5)\cdot (0.17)\cdot (0.83)}=\sqrt{0.7055}\approx 0.8399 \nonumber\]

La distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria binomial

Con el fin de permitir una gama más amplia de problemas más realistas contiene tablas de probabilidad para variables aleatorias binomiales para diversas elecciones de los parámetros\(n\) y\(p\). Estas tablas no son las distribuciones de probabilidad que hemos visto hasta ahora, sino que son distribuciones de probabilidad acumulativas. En el lugar de la probabilidad\(P(x)\) la tabla contiene la probabilidad

\[P(X≤x) = P(0) + P(1) + \ldots + P(x)\]

Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\). La probabilidad ingresada en la tabla corresponde al área de la región sombreada. La razón para proporcionar una tabla acumulativa es que en problemas prácticos que involucran una variable aleatoria binomial típicamente la probabilidad que se busca es de la forma\( P(X≤x)\) o\( P(X≥x)\). La tabla acumulativa es mucho más fácil de usar para la computación\( P(X≤x)\) ya que todas las probabilidades individuales ya han sido calculadas y agregadas. La única tabla es suficiente para ambos\( P(X≤x)\) o\( P(X≥x)\) y puede ser utilizada para obtener fácilmente probabilidades de la forma\( P(x)\), también, debido a las siguientes fórmulas. El primero es solo la Regla de Probabilidad para Complementos.

Figura\(\PageIndex{3}\): Probabilidades acumuladas

Si\(X\) es una variable aleatoria discreta, entonces

\[P(X≥x)=1−P(X≤x−1)\]

y

\[P(x)=P(X≤x)−P(X≤x−1)\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Un estudiante realiza un examen de diez preguntas de verdadero/falso.

1. Encuentre la probabilidad de que el estudiante obtenga exactamente seis de las preguntas correctas simplemente adivinando la respuesta en cada pregunta.
2. Encuentra la probabilidad de que el alumno obtenga una calificación aprobatoria de\(60\%\) o superior simplemente adivinando.

Solución:

Dejar\(X\) denotar el número de preguntas que el alumno adivina correctamente. Entonces\(X\) es una variable aleatoria binomial con parámetros\(n = 10\) y\(p= 0.50\).

1. La probabilidad buscada es\(P(6)\). La fórmula da\[P(6)=10!(6!)(4!)(.5)6.54=0.205078125\nonumber\] Usando la tabla,\[P(6)=P(X≤6)−P(X≤5)=0.8281−0.6230=0.2051\nonumber\]
2. El alumno debe adivinar correctamente al menos sobre\(60\%\) las preguntas, que son\((0.60)\cdot (10)=6\) preguntas. La probabilidad buscada no es\(P(6)\) (un error fácil de cometer), sino que\[P(X≥6)=P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10)\nonumber\] en vez de computar cada uno de estos cinco números usando la fórmula y sumarlos podemos usar la tabla para obtener\[P(X≥6)=1−P(X≤5)=1−0.6230=0.3770\nonumber\] cuál es mucho menos trabajo y de precisión suficiente para la situación que nos ocupa.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Un reparador de electrodomésticos da servicio a cinco lavadoras en el lugar cada día. Un tercio de las llamadas de servicio requieren la instalación de una pieza en particular.

1. El reparador tiene hoy sólo una de esas partes en su camioneta. Encuentra la probabilidad de que una parte sea suficiente hoy, es decir, que a lo sumo una lavadora a la que da servicio requerirá la instalación de esta parte en particular.
2. Encuentre el número mínimo de dichas partes que debe llevar consigo cada día para que la probabilidad de que tenga suficiente para las llamadas de servicio del día sea al menos\(95\%\).

Solución:

Vamos a\(X\) denotar el número de llamadas de servicio hoy en día en las que se requiere la parte. Entonces\(X\) es una variable aleatoria binomial con parámetros\(n = 5\) y\(p=1/3=0.\bar{3}\)

1. Obsérvese que la probabilidad en cuestión no lo es\(P(1)\), sino más bien\(P(X\leq 1)\). Utilizando la tabla de distribución acumulativa,\[P(X≤1)=0.4609\nonumber\]
2. La respuesta es el número más pequeño\(x\) tal que la entrada de la tabla\(P(X\leq x)\) es al menos\(0.9500\). Ya que\(P(X\leq2 )=0.7901\) es menor que\(0.95\), dos partes no son suficientes. Ya que\(P(X\leq 3)=0.9547 \) es tan grande como\(0.95\), tres partes bastarán al menos\(95\%\) de las veces. Por lo tanto, el mínimo necesario es de tres.

Resumen

• La variable aleatoria discreta\(X\) que cuenta el número de éxitos en ensayos\(n\) idénticos e independientes de un procedimiento que siempre da como resultado cualquiera de dos resultados, “éxito” o “fracaso”, y en la que la probabilidad de éxito en cada ensayo es el mismo número\(p\), se denomina variable aleatoria binomial con parámetros\(n\) y\(p\).
• Hay una fórmula para la probabilidad de que la variable aleatoria binomial con parámetros\(n\) y\(p\) tomará un valor particular\(x\).
• Existen fórmulas especiales para la media, varianza y desviación estándar de la variable binomial aleatoria con parámetros\(n\) y\(p\) que son mucho más simples que las fórmulas generales que se aplican a todas las variables aleatorias discretas.
• Las tablas de distribución de probabilidad acumulada, cuando están disponibles, facilitan el cálculo de las probabilidades encontradas en situaciones prácticas típicas.