5.15: La distribución Maxwell

\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)\(\newcommand{\cor}{\text{cor}}\)\(\newcommand{\skw}{\text{skew}}\)\(\newcommand{\kur}{\text{kurt}}\)

La distribución de Maxwell, llamada así por James Clerk Maxwell, es la distribución de la magnitud de un vector aleatorio tridimensional cuyas coordenadas son independientes, distribuidas idénticamente, significan 0 variables normales. La distribución tiene una serie de aplicaciones en entornos donde las magnitudes de las variables normales son importantes, particularmente en física. También se le llama la distribución Maxwell-Boltzmann en honor también de Ludwig Boltzmann. La distribución de Maxwell está estrechamente relacionada con la distribución de Rayleigh, que gobierna la magnitud de un vector aleatorio bidimensional cuyas coordenadas son independientes, distribuidas idénticamente, significan 0 variables normales.

La distribución estándar de Maxwell

Definición

Supongamos que\(Z_1\)\(Z_2\),, y\(Z_3\) son variables aleatorias independientes con distribuciones normales estándar. La magnitud\(R = \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2}\) del vector\((Z_1, Z_2, Z_3)\) tiene la distribución estándar de Maxwell.

Entonces en el contexto de la definición,\( (Z_1, Z_2, Z_3) \) tiene la distribución normal trivariada estándar. La distribución Maxwell es una distribución continua en\( [0, \infty) \).

Funciones de distribución

En esta discusión, asumimos que\( R \) tiene la distribución estándar de Maxwell. La función de distribución de se\( R \) puede expresar en términos de la función de distribución normal estándar\( \Phi \). Recordemos que\( \Phi \) ocurre con tanta frecuencia que se considera una función especial en matemáticas.

\(R\)tiene función de distribución\(G\) dada por\[G(x) = 2 \Phi(x) - \sqrt{\frac{2}{\pi}} x e^{-x^2/2} - 1, \quad x \in [0, \infty)\]

Prueba

\((Z_1, Z_2, Z_3)\)tiene PDF conjunto\((z_1, z_2, z_3) \mapsto \frac{1}{(2 \pi)^{3/2}} e^{-(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2)/2}\) en\(\R^3\). De ahí\[\P(R \le x) = \int_{B_x} \frac{1}{(2 \pi)^{3/2}} e^{-(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2)/2} d(z_1, z_2, z_3), \quad x \in [0, \infty)\] donde\(B_x = \left\{(z_1, z_2. z_3) \in \R^3: z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 \le x^2\right\}\), la región esférica de radio\( x \) centrada en el origen. Convertir a coordenadas esféricas con\(z_1 = \rho \sin \phi \cos \theta\)\(z_2 = \rho \sin \phi \sin \theta\),,\(z_3 = \rho \cos \phi\) para obtener\[\P(R \le x) = \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} \int_0^x \frac{1}{(2 \pi)^{3/2}} e^{-\rho^2/2} \rho^2 \sin \phi \, d \rho \, d \theta \, d\phi, \quad x \in [0, \infty)\] El resultado ahora sigue por simple integración.

\(R\)tiene la función de densidad de probabilidad\(g\) dada por\[g(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^2 e^{-x^2 / 2}, \quad x \in [0, \infty)\]

1. \(g\)aumenta y luego disminuye con el modo en\(x = \sqrt{2}\).
2. \(g\)es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\(x_1 = \sqrt{(5 - \sqrt{17})/2} \approx 0.6622\) y\(x_2 = \sqrt{(5 + \sqrt{17})/2} \approx 2.1358\)

Prueba

La fórmula para el PDF sigue inmediatamente de la función de distribución desde\(g(x) = G^\prime(x)\).

1. \(g^\prime(x) = \sqrt{2 / \pi} x e^{-x^2 / 2}(2 - x^2)\)
2. \(g^{\prime\prime}(x) = \sqrt{2 / \pi} e^{-x^2/2}(x^4 - 5 x^2 + 2)\)

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Maxwell. Mantenga el valor del parámetro predeterminado y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

La función quantile no tiene una expresión simple de forma cerrada.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución Maxwell. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Encuentra valores aproximados de la mediana y del primer y tercer cuartiles.

Momentos

Supongamos nuevamente que\( R \) tiene la distribución estándar de Maxwell. La función de generación de momento de\( R \), al igual que la función de distribución, se puede expresar en términos de la función de distribución normal estándar\( \Phi \).

\(R\)tiene función de generación de momento\(m\) dada por\[ m(t) = \E\left(e^{tR}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} t + 2(1 + t^2) e^{t^2/2} \Phi(t), \quad t \in \R \]

Prueba

Completar el cuadrado en\(x\) da\[ m(t) = \int_0^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^2 e^{-x^2/2} e^{tx} dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{t^2/2} \int_0^\infty x^2 e^{-(x - t)^2/2} dx\] La sustitución\(z = x - t\) da\[ m(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{t^2/2} \int_{-t}^\infty (z + t)^2 e^{-z^2/2} dz = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{t^2/2} \int_{-t}^\infty (z^2 + 2 t z + t^2) e^{-z^2/2} dz\] Integrando por partes o por simple sustitución, usando el hecho de que\(z \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-z^2/2} \) es el PDF normal estándar, y que\(1 - \Phi(-t) = \Phi(t) \) tenemos\ begin {align}\ int_ {-t} ^\ infty z^2 e^ {-z^2/2} dz & = -t e^ {-t^2/2} +\ sqrt {2\ pi}\ Phi (t)\\\ int_ {-t} ^\ infty 2 t z e^ {-z^2/2} dz & = 2 t e^ {-t^2/2}\\ int_ {-t} ^\ infty t^2 e^ {-z^2/2} dz & = t^2\ sqrt {2\ pi} Phi (t)\ end {align} Simplificar da el resultado.

La media y varianza de se\( R \) pueden encontrar a partir de la función de generación de momento, pero los cálculos directos también son fáciles.

La media y varianza\(R\) de

1. \( \E(R) = 2 \sqrt{2 / \pi} \)
2. \( \var(R) = 3 - 8/\pi \)

Prueba

Los métodos de integración son por partes y por simple sustitución. \[ \E(R) = \int_0^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^3 e^{-x^2/2} dx = 2 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty x e^{-x^2/2} dx = 2 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \]\[ \E\left(R^2\right) = \int_0^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^4 e^{-x^2/2} dx = 3 \int_0^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^2 e^{-x^2/2} dx = 3 \]

Numéricamente,\( \E(R) \approx 1.5958 \) y\( \sd(R) = \approx 0.6734 \)

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Maxwell. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media verdadera y la desviación estándar.

Los momentos generales de se\(R\) pueden expresar en términos de la función gamma\(\Gamma\)

Para\(n \in \N_+\),\[ \E(R^n) = \frac{2^{n/2 + 1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(\frac{n + 3}{2}\right)\]

Prueba

La sustitución\(u = x^2/2\) da\[\E(R^n) = \int_0^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^{n + 1} x e^{-x^2/2} dx = \int_0^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} (2 u)^{(n+1)/2} e^{-u} du = \frac{2^{n/2 + 1}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty u^{(n+1)/2} e^{-u} du\] La última integral es\(\Gamma[(n+3)/2]\) por definición.

Por supuesto, la fórmula para los momentos generales da una derivación alternativa para la media y varianza anteriores desde\(\Gamma(2) = 1\) y\(\Gamma(5/2) = 3 \sqrt{\pi} / 4\). Por otro lado, la función de generación de momentos también puede ser utilizada para derivar la fórmula para los momentos generales. Finalmente, damos la asimetría y curtosis de\(R\).

La asimetría y curtosis\(R\) de

1. \(\skw(R) = 2 \sqrt{2}(16 - 5 \pi) \big/ (3 \pi - 8)^{3/2} \approx 0.4857\)
2. \(\kur(R) = (15 \pi^2 +16 \pi -192) \big/ (3 \pi - 8)^2 \approx 3.1082\)

Prueba

Estos resultados se derivan de las fórmulas estándar para la asimetría y curtosis en términos de los momentos, ya que\(\E(R) = 2 \sqrt{2 / \pi}\),\(\E\left(R^2\right) = 3\),\(\E\left(R^3\right) = 8 \sqrt{2/\pi}\), y\(\E\left(R^4\right) = 15\).

Distribuciones Relacionadas

La conexión fundamental entre la distribución estándar de Maxwell y la distribución normal estándar se da en la definición misma del Maxwell estándar, como la distribución de la magnitud de un vector\(\R^3\) con coordenadas normales independientes y estándar.

Conexiones a la distribución chi-cuadrada.

1. Si\(R\) tiene la distribución Maxwell estándar entonces\(R^2\) tiene la distribución chi-cuadrada con 3 grados de libertad.
2. Si\(V\) tiene la distribución chi-cuadrada con 3 grados de libertad entonces\(\sqrt{V}\) tiene la distribución Maxwell estándar.

Prueba

Esto se desprende directamente de la definición de la variable estándar Maxwell\(R = \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2}\)\(Z_1\), donde\(Z_2\), y\(Z_3\) son variables normales estándar independientes.

Equivalentemente, la distribución Maxwell es simplemente la distribución chi con 3 grados de libertad.

La distribución general de Maxwell

Definición

La distribución estándar de Maxwell se generaliza mediante la adición de un parámetro de escala.

Si\(R\) tiene la distribución Maxwell estándar y\(b \in (0, \infty)\) luego\(X = b R\) tiene la distribución Maxwell con parámetro de escala\(b\).

Equivalentemente, la distribución de Maxwell es la distribución de la magnitud de un vector tridimensional cuyos componentes tienen variables independientes, distribuidas idénticamente, medias 0 normales.

Si\(U_1\),\( U_2 \) y\(U_3\) son variables normales independientes con media 0 y desviación estándar\(\sigma \in (0, \infty) \) entonces\(X = \sqrt{U_1^2 + U_2^2 + U_3^2}\) tiene la distribución Maxwell con parámetro escala\(\sigma\).

Prueba

Podemos tomar\(U_i = \sigma Z_i\) para\( i \in \{1, 2, 3\} \) dónde\(Z_1\),\( Z_2 \), y\(Z_3\) son variables normales estándar independientes. Entonces\(X = \sigma \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2} = \sigma R\) donde\(R\) tiene la distribución estándar Maxwell.

Funciones de distribución

En esta sección, asumimos que\(X\) tiene la distribución Maxwell con parámetro scale\(b \in (0, \infty)\). Podemos dar la función de distribución de\(X\) en términos de la función de distribución normal estándar\(\Phi\).

\(X\)tiene función de distribución\(F\) dada por\[F(x) = 2 \Phi\left(\frac{x}{b}\right) - \frac{1}{b}\sqrt{\frac{2}{\pi}} x \exp\left(-\frac{x^2}{2 b^2}\right) - 1, \quad x \in [0, \infty)\]

Prueba

Recordemos que\(F(x) = G(x / b)\) donde\(G\) está el CDF Maxwell estándar.

\(X\)tiene la función de densidad de probabilidad\(f\) dada por\[ f(x) = \frac{1}{b^3}\sqrt{\frac{2}{\pi}} x^2 \exp\left(-\frac{x^2}{2 b^2}\right), \quad x \in [0, \infty) \]

1. \(f\)aumenta y luego disminuye con el modo en\(x = b \sqrt{2}\).
2. \(f\)es cóncava hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\(x = b \sqrt{(5 \pm \sqrt{17})/2}\).

Prueba

Recordemos que\(f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x}{b}\right)\) donde\(g\) esta el PDF Maxwell estándar.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Maxwell. Varíe el parámetro de escala y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para varios valores del parámetro de escala, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

Nuevamente, la función cuantil no tiene una expresión simple, de forma cerrada.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución Maxwell. Para diversos valores del parámetro de escala, compute la mediana y el primer y tercer cuartiles.

Momentos

Nuevamente, asumimos que\(X\) tiene la distribución Maxwell con parámetro scale\(b \in (0, \infty)\). Como antes, la función de generación de momento de se\(X\) puede escribir en términos de la función de distribución normal estándar\(\Phi\).

\(X\)tiene función de generación de momento\(M\) dada por\[ M(t) = \E\left(e^{t X}\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} b t + 2(1 + b^2 t^2) \exp\left(\frac{b^2 t^2}{2}\right) \Phi(b t), \quad t \in \R \]

Prueba

Recordemos que\(M(t) = m(b t)\) donde\(m\) esta el MGF Maxwell estandar.

La media y varianza\(X\) de

1. \( \E(X) = b 2 \sqrt{2 / \pi} \)
2. \( \var(X) = b^2 (3 - 8/\pi) \)

Prueba

Estos resultados se derivan de la media estándar y varianza y propiedades básicas del valor esperado y varianza.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Maxwell. Varíe el parámetro de escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media. Para diversos valores del parámetro escala, ejecutar la simulación 1000 veces compara la media empírica y la desviación estándar con la media verdadera y la desviación estándar.

Como antes, los momentos generales se pueden expresar en términos de la función gamma\(\Gamma\).

Para\(n \in \N\),\[ \E(X^n) = b^n \frac{2^{n/2 + 1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(\frac{n + 3}{2}\right)\]

Prueba

Esto se desprende de los momentos estándar y las propiedades básicas de valor esperado.

Finalmente, la asimetría y curtosis no se modifican.

La asimetría y curtosis\(X\) de

1. \(\skw(X) = 2 \sqrt{2}(16 - 5 \pi) \big/ (3 \pi - 8)^{3/2} \approx 0.4857\)
2. \(\kur(X) = (15 \pi^2 +16 \pi -192) \big/ (3 \pi - 8)^2 \approx 3.1082\)

Prueba

Recordemos que la asimetría y la curtosis se definen en términos de la puntuación estándar, y por lo tanto no se modifican por una transformación de escala. Así, los resultados se derivan de la asimetría estándar y curtosis.

Distribuciones Relacionadas

La conexión fundamental entre la distribución Maxwell y la distribución normal se da en la definición, y por supuesto, es la razón principal por la que la distribución de Maxwell es especial en primer lugar.

Por construcción, la distribución Maxwell es una familia de escalas, y así se cierra bajo transformaciones de escala.

Si\(X\) tiene la distribución Maxwell con parámetro scale\(b \in (0, \infty)\) y si\(c \in (0, \infty)\) entonces\(c X\) tiene la distribución Maxwell con el parámetro scale\(b c\).

Prueba

Por definición, podemos suponer que\( X = b R \) donde\( R \) tiene la distribución estándar Maxwell. De ahí\( c X = (c b) R \) que tenga la distribución Maxwell con parámetro de escala\( b c \).

La distribución Maxwell es una distribución exponencial generalizada.

Si\(X\) tiene la distribución Maxwell con parámetro scale\(b \in (0, \infty)\) entonces\(X\) es una familia exponencial de un parámetro con parámetro natural\(-1/b^2\) y estadística natural\(X^2 / 2\).

Prueba

Esto se desprende directamente de la definición de la distribución exponencial general. y la forma del PDF.