13.6: El problema de Monty Hall
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Preliminares
Declaración del problema
El problema de Monty Hall involucra una situación de programa de juegos clásico y lleva el nombre de Monty Hall, el presentador desde hace mucho tiempo del programa de televisión Let's Make a Deal. Hay tres puertas etiquetadas con 1, 2 y 3. Un automóvil está detrás de una de las puertas, mientras que las cabras están detrás de las otras dos:
Las reglas son las siguientes:
- El jugador selecciona una puerta.
- El anfitrión selecciona una puerta diferente y la abre.
- El anfitrión le da al jugador la opción de cambiar de su elección original a la puerta cerrada restante.
- Se abre la puerta finalmente seleccionada por la jugadora y ella gana o pierde.
El problema de Monty Hall se convirtió en objeto de intensa polémica debido a varios artículos de Marilyn Vos Savant en la columna Pregúntale a Marilyn de la revista Parade, un popular suplemento periodístico dominical. La polémica comenzó cuando un lector planteó el problema de la siguiente manera:
Supongamos que estás en un programa de juegos, y te dan la opción de tres puertas. Detrás de una puerta hay un auto; detrás de las otras, cabras. Se elige una puerta —digamos el número 1— y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta —digamos el número 3— que tiene una cabra. Entonces te dice:¿Quieres recoger la puerta No. 2?¿Es para su ventaja cambiar su elección?
La respuesta de Marilyn fue que el concursante debería cambiar de puerta, alegando que existe la\(\frac{1}{3}\) posibilidad de que el auto esté detrás de la puerta 1, mientras que existe la\(\frac{2}{3}\) posibilidad de que el auto esté detrás de la puerta 2. En dos columnas de seguimiento, Marilyn imprimió una serie de respuestas, algunas de académicos, la mayoría de los cuales afirmaron en tonos enojados o sarcásticos que estaba equivocada y que hay iguales posibilidades de que el auto esté detrás de las puertas 1 o 2. Marilyn mantuvo su respuesta original y ofreció argumentos adicionales, pero no matemáticos.
Piensa en el problema. ¿Estás de acuerdo con Marilyn o con sus críticos, o crees que ninguna solución es correcta?
En el juego de Monty Hall, establecer la estrategia del anfitrión a estándar (el significado de esta estrategia se explicará a continuación). Juega el juego de Monty Hall 50 veces con cada una de las siguientes estrategias. ¿Quieres reconsiderar tu respuesta a la pregunta anterior?
- Siempre cambiar
- Nunca cambiar
En el juego de Monty Hall, establecer la estrategia del anfitrión en ciega (el significado de esta estrategia se explicará a continuación). Juega el juego de Monty Hall 50 veces con cada una de las siguientes estrategias. ¿Quieres reconsiderar tu respuesta a la pregunta anterior?
- Siempre cambiar
- Nunca cambiar
Modelado de Supuestos
Cuando comenzamos a pensar detenidamente sobre el problema de Monty Hall, nos damos cuenta de que la declaración del problema por parte del lector de Marilyn es tan vaga que no es posible una discusión significativa sin aclarar suposiciones sobre las estrategias del anfitrión y jugador. En efecto, veremos que los malentendidos sobre estas estrategias son la causa de la polémica.
Tratemos de formular el problema matemáticamente. En general, las acciones del anfitrión y jugador pueden variar de un juego a otro, pero si vamos a tener un experimento aleatorio en el sentido clásico, debemos asumir que las mismas distribuciones de probabilidad gobiernan al anfitrión y al jugador en cada juego y que los juegos son independientes.
Hay cuatro variables aleatorias básicas para un juego:
- \(U\): el número de la puerta que contiene el automóvil.
- \(X\): el número de la primera puerta seleccionada por el jugador.
- \(V\): el número de la puerta abierta por el anfitrión.
- \(Y\): el número de la segunda puerta seleccionada por el jugador.
Cada una de estas variables aleatorias tiene los valores posibles 1, 2 y 3. No obstante, debido a las reglas del juego, la puerta abierta por el anfitrión no puede ser ninguna de las puertas seleccionadas por el jugador, así\(V \ne X\) y\(V \ne Y\). En general, vamos a permitir la posibilidad\(V = U\), que el anfitrión abra la puerta con el auto detrás de ella. Si esta es una acción razonable del anfitrión es una gran parte de la controversia sobre este problema.
El experimento de Monty Hall se definirá matemáticamente por completo una vez que se especifique la distribución conjunta de las variables básicas. Esta distribución conjunta a su vez depende de las estrategias del anfitrión y jugador, que consideraremos a continuación.
Estrategias
Estrategias de acogida
En el experimento de Monty Hall, tenga en cuenta que el anfitrión determina la función de densidad de probabilidad de la puerta que contiene el automóvil, es decir,\(\P(U = i)\) para\(i \in \{1, 2, 3\}\). La opción obvia para el anfitrión es asignar aleatoriamente el automóvil a una de las tres puertas. Esto lleva a la distribución uniforme, y a menos que se indique lo contrario, siempre asumiremos que\(U\) tiene esta distribución. Así,\(\P(U = i) = \frac{1}{3}\) para\(i \in \{1, 2, 3\}\).
El anfitrión también determina la función de densidad condicional de la puerta que abre, dado el conocimiento de la puerta que contiene el automóvil y la primera puerta seleccionada por el jugador, es decir,\(\P(V = k \mid U = i, X = j)\) para\(i, \, j \in \{1, 2, 3\}\). Recordemos que dado que el anfitrión no puede abrir la puerta elegida por el jugador, esta probabilidad debe ser 0 para\(k = j\).
Así, la distribución de\(U\) y la distribución condicional de\(V\) dado\(U\) y\(X\) constituyen la estrategia de acogida.
La estrategia estándar
En la mayoría de los programas de juegos reales, el anfitrión siempre abriría una puerta con una cabra detrás de ella. Si la primera elección del jugador es incorrecta, entonces el anfitrión no tiene otra opción; no puede abrir la puerta con el auto o la elección del jugador y, por lo tanto, debe abrir la única puerta restante. Por otro lado, si la primera elección del jugador es correcta, entonces el anfitrión puede abrir cualquiera de las puertas restantes, ya que las cabras están detrás de ambas. Por lo tanto, naturalmente podría elegir una de estas puertas al azar.
Esta estrategia conduce a la siguiente distribución condicional para\(V\) dado\(U\) y\(X\):\[ \P(V = k \mid U = i, X = j) = \begin{cases} 1, & i \ne j, \; i \ne k, \; k \ne j \\ \frac{1}{2}, & i = j, \; k \ne i \\ 0, & k = i, \; k = j \end{cases} \]
Esta distribución, junto con la distribución uniforme para\(U\), se denominará la estrategia estándar para el anfitrión.
En el juego de Monty Hall, establece la estrategia del anfitrión en estándar. Juega el juego 50 veces con cada una de las siguientes estrategias de jugador. ¿Cuál funciona mejor?
- Siempre cambiar
- Nunca cambiar
La estrategia de los ciegos
Otra posible estrategia de segunda etapa es que el anfitrión abra siempre una puerta elegida al azar entre las dos posibilidades. Por lo tanto, el anfitrión bien podría abrir la puerta que contiene el automóvil.
Esta estrategia conduce a la siguiente distribución condicional para\(V\) dado\(U\) y\(X\):\[ \P(V = k \mid U = i, X = j) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & k \ne j \\ 0, & k = j \end{cases} \]
Esta distribución, junto con la distribución uniforme para\(U\), se denominará la estrategia ciega para el anfitrión. La estrategia ciega parece un poco extraña. Sin embargo, la confusión entre ambas estrategias es la fuente de la polémica en torno a este problema.
En el juego de Monty Hall, puso a ciegas la estrategia del anfitrión. Juega el juego 50 veces con cada una de las siguientes estrategias de jugador. ¿Cuál funciona mejor?
- Siempre cambiar
- Nunca cambiar
Estrategias del jugador
El jugador, en cambio, determina la función de densidad de probabilidad de su primera elección, es decir,\(\P(X = j)\) para\(j \in \{1, 2, 3\}\). La primera opción obvia para el jugador es elegir aleatoriamente una puerta, ya que el jugador no tiene conocimiento en este punto. Esto lleva a la distribución uniforme, así que\(\P(X = j) = \frac{1}{3}\) para\(j \in \{1, 2, 3\}\)
El jugador también determina la función de densidad condicional de su segunda opción, dado el conocimiento de su primera elección y la puerta abierta por el anfitrión, es decir,\( \P(Y = l \mid X = j, V = k) \) para\(i, \, j, \, k \in \{1, 2, 3\}\) con\(j \ne k\). Recordemos que como el jugador no puede elegir la puerta abierta por el anfitrión, esta probabilidad debe ser 0 para\(l = k\). La distribución de\(X\) y la distribución condicional de\(Y\) dado\(X\) y\(V\) constituyen la estrategia del jugador.
Supongamos que el jugador cambia con probabilidad\(p \in [0, 1]\). Esto lleva a la siguiente distribución condicional:\[ \P(Y = l \mid X = j, V = k) = \begin{cases} p, & j \ne k, \; j \ne l, \; k \ne l \\ 1 - p, & j \ne k, \; l = j \\ 0, & j = k, \; l = k \end{cases} \]
En particular, si\(p = 1\), el jugador siempre cambia, mientras que si\(p = 0\), el jugador nunca cambia.
Análisis matemático
Estamos casi listos para analizar matemáticamente el problema de Monty Hall. Pero primero debemos hacer algunas suposiciones de independencia para incorporar el desconocimiento que el anfitrión y el jugador tienen sobre las acciones del otro. Primero, el jugador no tiene conocimiento de la puerta que contiene el auto, por lo que asumimos que\(U\) y\(X\) somos independientes. Además, la única información sobre la puerta del auto que tiene la jugadora cuando hace su segunda elección es la información (si la hay) revelada por su primera elección y la posterior selección del anfitrión. Matemáticamente, esto significa que\(Y\) es condicionalmente independiente de\(U\) dado\(X\) y\(V\).
Distribuciones
Las estrategias de anfitrión y jugador forman los datos básicos para el problema de Monty Hall. Debido a los supuestos de independencia, la distribución conjunta de las variables aleatorias básicas está completamente determinada por estas estrategias.
La función de densidad de probabilidad conjunta de\((U, X, V, Y)\) viene dada por
\[ \P(U = i, X = j, V = k, Y = l) = \P(U = i) \P(X = j) \P(V = k \mid U = i, X = j) \P(Y = l \mid X = j, V = k), \quad i, \; j, \; k, \; l \in \{1, 2, 3\} \]Prueba
Esto se desprende de los supuestos de independencia y de la regla de multiplicación de probabilidad condicional.
La probabilidad de cualquier evento definido en términos del problema de Monty Hall se puede calcular sumando la densidad conjunta sobre los valores apropiados de\((i, j, k, l)\).
Con cualquiera de las estrategias básicas de host,\(V\) se distribuye uniformemente en\(\{1, 2, 3\}\).
Supongamos que el jugador cambia con probabilidad\(p\). Con cualquiera de las estrategias básicas de host,\(Y\) se distribuye uniformemente en\(\{1, 2, 3\}\).
En el experimento de Monty Hall, establezca la estrategia del anfitrión al estándar. Para cada uno de los siguientes valores de\(p\), ejecute la simulación 1000 veces. En base a la frecuencia relativa, ¿qué estrategia funciona mejor?
- \(p = 0\)(nunca cambiar)
- \(p = 0.3\)
- \(p = 0.5\)
- \(p = 0.7\)
- \(p = 1\)(siempre cambiar)
En el experimento de Monty Hall, establecer la estrategia del anfitrión en ciega. Para cada uno de los siguientes valores de\(p\), ejecutar el experimento 1000 veces. En base a la frecuencia relativa, ¿qué estrategia funciona mejor?
- \(p = 0\)(nunca cambiar)
- \(p = 0.3\)
- \(p = 0.5\)
- \(p = 0.7\)
- \(p = 1\)(siempre cambiar)
La probabilidad de ganar
El evento de que el jugador gane un juego es\(\{Y = U\}\). Calcularemos la probabilidad de este evento con las estrategias básicas de anfitrión y jugador.
Supongamos que el anfitrión sigue la estrategia estándar y que el jugador cambia con probabilidad\(p\). Entonces la probabilidad de que el jugador gane es\[ \P(Y = U) = \frac{1 + p}{3} \]
En particular, si el jugador siempre cambia, la probabilidad de que gane es\(p = \frac{2}{3}\) y si el jugador nunca cambia, la probabilidad de que gane es\(p = \frac{1}{3}\).
En el experimento de Monty Hall, establezca la estrategia del anfitrión al estándar. Para cada uno de los siguientes valores de\(p\), ejecute la simulación 1000 veces. En cada caso, compare la frecuencia relativa de ganar con la probabilidad de ganar.
- \(p = 0\)(nunca cambiar)
- \(p = 0.3\)
- \(p = 0.5\)
- \(p = 0.7\)
- \(p = 1\)(siempre cambiar)
Supongamos que el anfitrión sigue la estrategia ciega. Entonces, para cualquier estrategia de jugador, la probabilidad de que gane el jugador es\[ \P(Y = U) = \frac{1}{3} \]
En el experimento de Monty Hall, establecer la estrategia del anfitrión en ciega. Para cada uno de los siguientes valores de\(p\), ejecutar el experimento 1000 veces. En cada caso, compare la frecuencia relativa de ganar con la probabilidad de ganar.
- \(p = 0\)(nunca cambiar)
- \(p = 0.3\)
- \(p = 0.5\)
- \(p = 0.7\)
- \(p = 1\)(siempre cambiar)
Para una solución completa del problema de Monty Hall, queremos calcular la probabilidad condicional de que el jugador gane, dado que el anfitrión abre una puerta con una cabra detrás de él:\[ \P(Y = U \mid V \ne U) = \frac{\P(Y = U)}{\P(V \ne U)} \] Con las estrategias básicas de anfitrión y jugador, se ha calculado el numerador, la probabilidad de ganar. Por lo tanto, hay que considerar el denominador, la probabilidad de que el anfitrión abra una puerta con una cabra. Si el anfitrión usa la estrategia estándar, entonces la probabilidad condicional de ganar es la misma que la probabilidad incondicional de ganar, independientemente de la estrategia del jugador. En particular, tenemos el siguiente resultado:
Si el anfitrión sigue la estrategia estándar y el jugador cambia con probabilidad\(p\), entonces\[ \P(Y = U \mid V \ne U) = \frac{1 + p}{3} \]
Prueba
Esto se deduce de la probabilidad de victoria anterior
Una vez más, la probabilidad aumenta desde\( \frac{1}{3} \) cuándo\( p = 0 \), para que el jugador nunca cambie, a\( \frac{2}{3} \) cuándo\( p = 1 \), para que el jugador siempre cambie.
Si el anfitrión sigue la estrategia ciega, entonces para cualquier estrategia de jugador,\(\P(V \ne U) = \frac{2}{3}\) y por lo tanto\(\P(Y = U \mid V \ne U) = \frac{1}{2}\).
En el experimento de Monty Hall, establecer la estrategia del anfitrión en ciega. Para cada uno de los siguientes valores de\(p\), ejecutar el experimento 500 veces. En cada caso, computar la frecuencia relativa condicional de ganar, dado que el anfitrión muestra una cabra, y comparar con la respuesta teórica anterior,
- \(p = 0\)(nunca cambiar)
- \(p = 0.3\)
- \(p = 0.5\)
- \(p = 0.7\)
- \(p = 1\)(siempre cambiar)
La confusión entre la probabilidad condicional de ganar para estas dos estrategias ha sido fuente de mucha controversia en el problema de Monty Hall. Marilyn probablemente estaba pensando en la estrategia estándar de anfitrión, mientras que algunos de sus críticos estaban pensando en la estrategia ciega. Este problema señala la importancia de modelar cuidadosamente, de la cuidadosa declaración de suposiciones. Marilyn tiene razón si el anfitrión sigue la estrategia estándar; los críticos son correctos si el anfitrión sigue la estrategia ciega; cualquier número de otras respuestas podría ser correcto si el anfitrión sigue otras estrategias.
La formulación matemática que hemos utilizado es bastante completa. No obstante, si solo queremos resolver el problema de Marilyn, hay un análisis mucho más sencillo (que quizás tú mismo hayas descubierto). Supongamos que el anfitrión sigue la estrategia estándar, y así siempre abre una puerta con una cabra. Si la primera puerta del jugador es incorrecta (contiene una cabra), entonces el anfitrión no tiene otra opción y debe abrir la otra puerta con una cabra. Entonces, si la jugadora cambia, ella gana. Por otro lado, si la primera puerta de la jugadora es correcta y ella cambia, entonces por supuesto pierde. Así, vemos que si la jugadora siempre cambia, entonces gana si y sólo si su primera opción es incorrecta, evento que obviamente tiene probabilidad\(\frac{2}{3}\). Si la jugadora nunca cambia, entonces gana si y solo si su primera opción es correcta, un evento con probabilidad\(\frac{1}{3}\).