14.6: Procesos Poisson no homogéneos

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\skw}{\text{skew}}\)\(\newcommand{\kur}{\text{kurt}}\)

Teoría Básica

Un proceso de Poisson no homogéneo es similar a un proceso ordinario de Poisson, excepto que la tasa promedio de llegadas puede variar con el tiempo. Muchas aplicaciones que generan puntos aleatorios en el tiempo se modelan más fielmente con tales procesos no homogéneos. El costo matemático de esta generalización, sin embargo, es que perdemos la propiedad de los incrementos estacionarios.

Los procesos de Poisson no homogéneos se describen mejor en términos teóricos de medidas. Por lo tanto, es posible que deba revisar las secciones sobre teoría de medidas en los capítulos sobre Fundamentos, Medidas de Probabilidad y Distribuciones. Nuestro espacio de medida básico en esta sección es\( [0, \infty) \) con el\( \sigma \) álgebra de los subconjuntos medibles de Borel (llamado así por Émile Borel). Como es habitual,\( \lambda \) denota medida Lebesgue en este espacio, llamado así por Henri Lebesgue. Recordemos que el\( \sigma \) álgebra de Borel es la generada por los intervalos, y\( \lambda \) es la generalización de longitud en intervalos.

Definición y Propiedades Básicas

De todas nuestras diversas caracterizaciones del proceso ordinario de Poisson, en términos de los tiempos de inter-llegada, los tiempos de llegada y el proceso de conteo, las caracterizaciones que involucran el proceso de conteo conducen a la generalización más natural a procesos no homogéneos. Así, consideremos un proceso que genere puntos aleatorios en el tiempo, y como de costumbre, vamos a\( N_t \) denotar el número de puntos aleatorios en el intervalo\( (0, t] \) para\( t \ge 0 \), así que ese\( \bs{N} = \{N_t: t \ge 0\} \) es el proceso de conteo. De manera más general,\( N(A) \) denota el número de puntos aleatorios en un medible\( A \subseteq [0, \infty) \), así\( N \) es nuestra medida de conteo aleatorio. Como antes,\( t \mapsto N_t \) es una función de distribución (aleatoria) y\( A \mapsto N(A) \) es la medida (aleatoria) asociada a esta función de distribución.

Supongamos ahora que\( r: [0, \infty) \to [0, \infty) \) es medible, y definir\( m: [0, \infty) \to [0, \infty) \) por\[ m(t) = \int_{(0, t]} r(s) \, d\lambda(s) \] De propiedades de la integral,\( m \) es creciente y derecto-continuo en\( [0, \infty) \) y por lo tanto es función de distribución. La medida positiva sobre\( [0, \infty) \) asociada con\( m \) (que también denotaremos por\( m \)) se define en un medible\( A \subseteq [0, \infty) \) por\[ m(A) = \int_A r(s) \, d\lambda(s) \] Así,\( m(t) = m(0, t] \), y para\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \lt t \),\( m(s, t] = m(t) - m(s) \). Por último, tenga en cuenta que la medida\( m \) es absolutamente continua con respecto a\( \lambda \), y\( r \) es la función de densidad. Observe los paralelismos entre la función de distribución aleatoria y la medida\( N \) y la función de distribución determinista y la medida\( m \). Con la configuración involucrada\( r \) y\( m \) completa, estamos listos para nuestra primera definición.

Un proceso que produce puntos aleatorios en el tiempo es un proceso de Poisson no homogéneo con función de tasa\( r \) si el proceso de conteo\( N \) satisface las siguientes propiedades:

1. Si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de subconjuntos medibles de\( [0, \infty) \) entonces\( \{N(A_i): i \in I\} \) es una colección de variables aleatorias independientes.
2. Si\( A \subseteq [0, \infty) \) es medible entonces\( N(A) \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( m(A) \).

La propiedad (a) es nuestra propiedad habitual de incrementos independientes, mientras que la propiedad (b) es una generalización natural de la propiedad de los incrementos distribuidos de Poisson. Claramente, si\( r \) es una constante positiva, entonces\( m(t) = r t \) para\( t \in [0, \infty) \) y como medida,\( m \) es proporcional a la medida de Lebesgue\( \lambda \). En este caso, el proceso no homogéneo se reduce a un proceso ordinario, homogéneo de Poisson con tasa\( r \). Sin embargo, si no\( r \) es constante, entonces no\( m \) es lineal, y como medida, no es proporcional a la medida de Lebesgue. En este caso, el proceso no tiene incrementos estacionarios con respecto a\( \lambda \), pero por supuesto, tiene incrementos estacionarios con respecto a\( m \). Es decir, si\( A, \, B \) son medibles subconjuntos de\( [0, \infty) \)\( N(A) \) y\( \lambda(A) = \lambda(B) \) entonces y no\( N(B) \) tendrán en general la misma distribución, pero claro que tendrán la misma distribución si\( m(A) = m(B) \).

En particular, recordemos que el parámetro de la distribución de Poisson es tanto la media como la varianza, así\( \E\left[N(A)\right] = \var\left[N(A)\right] = m(A) \) para medible\( A \subseteq [0, \infty) \), y en particular,\( \E(N_t) = \var(N_t) = m(t) \) para\( t \in [0, \infty) \). La función\( m \) se suele llamar la función media. Dado que\( m^\prime(t) = r(t) \) (si\( r \) es continuo en\( t \)), tiene sentido referirse\( r \) como la función de tasa. A nivel local\( t \), a, las llegadas se producen a una tasa promedio de\( r(t) \) por unidad de tiempo.

Como antes, desde el punto de vista del modelado, la propiedad de los incrementos independientes puede evaluarse razonablemente. Pero necesitamos algo más primitivo para reemplazar la propiedad de los incrementos de Poisson. Aquí está el teorema principal.

Un proceso que produce puntos aleatorios en el tiempo es un proceso de Poisson no homogéneo con función de tasa\( r \) si y solo si el proceso de conteo\( \bs{N} \) satisface las siguientes propiedades:

1. Si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta de subconjuntos medibles de\( [0, \infty) \) entonces\( \{N(A_i): i \in I\} \) es un conjunto de variables independientes.
2. Para\( t \in [0, \infty) \),\ begin {align} &\ frac {\ P\ left [N (t, t + h] = 1\ derecha]} {h}\ a r (t)\ text {as} h\ flecha abajo 0\\ &\ frac {\ P\ izquierda [N (t, t + h] > 1\ derecha]} {h}\ a 0\ texto {as} h\ flecha abajo 0\ {alinear}

Entonces si\( h \) es pequeña la probabilidad de una sola llegada en\( [t, t + h) \) es aproximadamente\( r(t) h \), mientras que la probabilidad de más de 1 llegada en este intervalo es despreciable.

Horarios de llegada y cambio de horario

Supongamos que tenemos un proceso de Poisson no homogéneo con función de tasa\( r \), como se definió anteriormente. Como de costumbre, vamos a\( T_n \) denotar la hora de la llegada\( n \) th para\( n \in \N \). Al igual que con el proceso ordinario de Poisson, tenemos una relación inversa entre el proceso de conteo\( \bs{N} = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \) y la secuencia de tiempo de llegada\( \bs{T} = \{T_n: n \in \N\} \), es decir\( T_n = \min\{t \in [0, \infty): N_t = n\}\)\(N_t = \#\{n \in \N: T_n \le t\} \),\( \{T_n \le t\} = \{N_t \ge n\} \), y, ya que ambos eventos significan al menos puntos\( n \) aleatorios en\( (0, t] \). La última relación nos permite obtener la distribución de\( T_n \).

Para\( n \in \N_+ \),\( T_n \) tiene función de densidad de probabilidad\( f_n \) dada por\[ f_n(t) = \frac{m^{n-1}(t)}{(n - 1)!} r(t) e^{-m(t)}, \quad t \in [0, \infty) \]

Prueba

Usando la relación inversa anterior y la distribución de Poisson de\( N_t \), la función de distribución de\( T_n \) es\[ \P(T_n \le t) = \P(N_t \ge n) = \sum_{k=n}^\infty e^{-m(t)} \frac{m^k(t)}{k!}, \quad t \in [0, \infty) \] Diferenciante con respecto a\( t \) da\[ f_n(t) = \sum_{k=n}^\infty \left[-m^\prime(t) e^{-m(t)} \frac{m^k(t)}{k!} + e^{-m(t)} \frac{k m^{k-1}(t) m^\prime(t)}{k!}\right] = r(t) e^{-m(t)} \sum_{k=n}^\infty \left[\frac{m^{k-1}(t)}{(k - 1)!} - \frac{m^k(t)}{k!}\right] \] La última suma colapsa a\( m^{n-1}(t) \big/ (n - 1)! \).

En particular,\( T_1 \) tiene función de densidad de probabilidad\( f_1 \) dada por\[ f_1(t) = r(t) e^{-m(t)}, \quad t \in [0, \infty) \] Recordemos que en términos de confiabilidad,\( r \) es la función de tasa de fallas, y que la función de confiabilidad es la función de distribución correcta:\[ F_1^c(t) = \P(T_1 \gt t) = e^{-m(t)}, \quad t \in [0, \infty) \] En general, la forma funcional de \( f_n \)es claramente similar a la función de densidad de probabilidad de la distribución gamma, y de hecho,\( T_n \) puede transformarse en una variable aleatoria con una distribución gamma. Esto equivale a un cambio de tiempo que nos dará una visión adicional del proceso no homogéneo de Poisson.

Dejemos\( U_n = m(T_n) \) para\( n \in \N_+ \). Luego\( U_n \) tiene la distribución gamma con parámetro de forma\( n \) y parámetro de velocidad\( 1 \)

Prueba

Vamos a\( g_n \) denotar el PDF de\( U_n \). Dado que\( m \) es estrictamente creciente y diferenciable, podemos utilizar la fórmula estándar de cambio de variables. Entonces dejando\( u = m(t) \), la relación es\[ g_n(u) = f_n(t) \frac{dt}{du} \] Simplificando da\( g_n(u) = u^{n-1} e^{-u} \big/(n - 1)! \) para\( u \in [0, \infty) \).

Así, el cambio de tiempo\( u = m(t) \) transforma el proceso no homogéneo de Poisson en un proceso estándar (tasa 1) de Poisson. Aquí hay una manera equivalente de ver el resultado del cambio de hora.

Para\( u \in [0, \infty) \), vamos\( M_u = N_t \) donde\( t = m^{-1}(u) \). Entonces\( \{M_u: u \in [0, \infty)\} \) es el proceso de conteo para un proceso estándar de Poisson de tasa 1.

Prueba

1. Supongamos que\( (u_1, u_2, \ldots) \) os una secuencia de puntos en\( [0, \infty) \) con\( 0 \le u_1 \lt u_2 \lt \cdots \). Ya que\( m^{-1} \) es estrictamente creciente, tenemos\( 0 \le t_1 \lt t_2 \lt \cdots \), donde por supuesto\( t_i = m^{-1}(u_i) \). Por suposición, la secuencia de variables aleatorias\( \left(N_{t_1}, N_{t_2} - N_{t_1}, \ldots\right) \) es independiente, pero esta también es la secuencia\( \left(M_{u_1}, M_{u_2} - M_{u_1}, \ldots\right) \).
2. Supongamos que\( u, \, v \in [0, \infty) \) con\( u \lt v \), y dejar\( s = m^{-1}(u) \) y\( t = m^{-1}(v) \). Entonces\( s \lt t \) y también lo\( M_v - M_u = N_t - N_s \) ha hecho la distribución de Poisson con parámetro\( m(t) - m(s) = v - u \).

Equivalentemente, podemos transformar un proceso estándar de Poisson (tasa 1) en un proceso de Poisson no homogéneo con un cambio de tiempo.

Supongamos que ese\( \bs{M} = \{M_u: u \in [0, \infty)\} \) es el proceso de conteo para un proceso estándar de Poisson, y dejar que\( N_t = M_{m(t)} \)\( t \in [0, \infty) \). Entonces\( \{N_t: t \in [0, \infty)\} \) es el proceso de conteo para un proceso de Poisson no homogéneo con función media\( m \) (y función de tasa\( r \)).

Prueba

1. Dejar\( (t_1, t_2, \ldots) \) ser una secuencia de puntos en\( [0, \infty) \) con\( 0 \le t_1 \lt t_2 \lt \cdots \). Ya que\( m \) es estrictamente creciente, tenemos\( 0 \le m(t_1) \lt m(t_2) \lt \cdots \). De ahí\( \left(M_{m(t_1)}, M_{m(t_2)} - M_{m(t_1)}, \ldots\right) \) que se produzca una secuencia de variables independientes. Pero esta secuencia es simplemente\( \left(N_{t_1}, N_{t_2} - N_{t_1}, \ldots\right) \).
2. Si\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \lt t \). Después\( N_t - N_s = M_{m(t)} - M_{m(s)} \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( m(t) - m(s) \).