14.7: Procesos compuestos de Poisson

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\skw}{\text{skew}}\)\(\newcommand{\kur}{\text{kurt}}\)

En un proceso compuesto de Poisson, cada llegada a un proceso ordinario de Poisson viene con una variable aleatoria de valor real asociada que representa el valor de la llegada en cierto sentido. Estas variables son independientes e idénticas distribuidas, y son independientes del proceso subyacente de Poisson. Nuestro interés se centra en la suma de las variables aleatorias para todas las llegadas hasta un tiempo fijo\( t \), que por lo tanto es una suma aleatoria distribuida por Poisson de variables aleatorias. Se dice que las distribuciones de este tipo son distribuciones compuestas de Poisson, y son importantes por derecho propio, particularmente porque algunas distribuciones paramétricas sorprendentes resultan ser Poisson compuestas.

Teoría Básica

Definición

Supongamos que tenemos un proceso de Poisson con tasa\( r \in (0, \infty) \). Como es habitual, denotaremos la secuencia de tiempos entre llegadas por\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \), la secuencia de tiempos de llegada por\( \bs{T} = (T_0, T_1, T_2, \ldots) \), y el proceso de conteo por\( \bs{N} = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \). Para revisar brevemente algunos de los hechos más importantes, recuerde que\( \bs{X} \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución exponencial\( [0, \infty) \) con tasa\( r \). La secuencia\( \bs{T} \) es la secuencia de suma parcial asociada a\( \bs{X} \), y tiene incrementos estacionarios independientes. Para\( n \in \N_+ \), el tiempo de llegada\( n \) th\( T_n \) tiene la distribución gamma con parámetros\( n \) y\( r \). El proceso\( \bs{N} \) es el inverso de\( \bs{T} \), en cierto sentido, y también tiene incrementos estacionarios independientes. Para\( t \in (0, \infty) \), el número de llegadas\( N_t \) en\( (0, t] \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( r t \).

Supongamos ahora que cada llegada tiene asociada una variable aleatoria de valor real que representa el valor de la llegada en cierto sentido. Aquí hay algunos ejemplos típicos:

• Las llegadas son clientes en una tienda. Cada cliente gasta una cantidad aleatoria de dinero.
• Las llegadas son visitas a un sitio web. Cada visitante pasa una cantidad aleatoria de tiempo en el sitio.
• Las llegadas son tiempos de falla de un sistema complejo. Cada falla requiere un tiempo de reparación aleatorio.
• Las llegadas son sismos en un lugar determinado. Cada sismo tiene una severidad aleatoria, una medida de la energía liberada.

Para\( n \in \N_+ \), vamos a\( U_n \) denotar el valor de la llegada\( n \) th. Suponemos que\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente, de valor real, y que\( \bs{U} \) es independiente del proceso subyacente de Poisson. La distribución común puede ser discreta o continua, pero en cualquier caso, dejamos\( f \) denotar la función de densidad de probabilidad común. Vamos a dejar\( \mu = \E(U_n) \) denotar la media común,\( \sigma^2 = \var(U_n) \) la varianza común, y\( G \) la función generadora de momento común, de manera que\( G(s) = \E\left[\exp(s U_n)\right] \) para\( s \) en algún intervalo\( I \) alrededor de 0. Aquí está nuestra definición principal:

El proceso compuesto de Poisson asociado con el proceso de Poisson dado\(\bs{N}\) y la secuencia\( \bs{U} \) es el proceso estocástico\( \bs{V} = \{V_t: t \in [0, \infty)\} \) donde\[ V_t = \sum_{n=1}^{N_t} U_n\]

Así,\( V_t \) es el valor total para todas las llegadas en\( (0, t] \). Para los ejemplos anteriores

• \( V_t \)es el ingreso total a la tienda hasta el momento\( t \).
• \( V_t \)es el tiempo total que pasaron en el sitio por los clientes que llegaron hasta el momento\( t \).
• \( V_t \)es el tiempo total de reparación de las fallas hasta el tiempo\( t \).
• \( V_t \)es la energía total liberada hasta el momento\( t \).

Recordemos que una suma sobre un conjunto de índices vacíos es 0, entonces\( V_0 = 0 \).

Propiedades

Tenga en cuenta que para fijo\( t \),\( V_t \) es una suma aleatoria de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente, un tema que hemos estudiado antes. En este sentido, tenemos un caso especial, ya que el número de términos\( N_t \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( r t\). Pero también tenemos una nueva arruga, ya que el proceso está indexado por el parámetro de tiempo continuo\( t \), y así podemos estudiar sus propiedades como proceso estocástico. Nuestro primer resultado es un par de propiedades compartidas por el proceso subyacente de Poisson.

\( \bs{V} \)tiene incrementos estacionarios e independientes:

1. Si\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \lt t \), entonces\( V_t - V_s \) tiene la misma distribución que\( V_{t - s} \).
2. Si\( (t_1, t_2, \ldots, t_n)\) es una secuencia de puntos en\( [0, \infty) \) con\(t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n \) entonces\(\left(V_{t_1}, V_{t_2} - V_{t_1}, \ldots, V_{t_n} - V_{t_{n-1}}\right)\) es una secuencia de variables independientes.

Prueba

1. Para\( 0 \le s \lt t \),\[ V_t - V_s = \sum_{i = 1}^{N_t} U_i - \sum_{i = 1}^{N_s} U_i = \sum_{i = N_s + 1}^{N_t} U_i \] El número de términos en la última suma es\( N_t - N_s \), que tiene la misma distribución que\( N_{t - s} \). Dado que las variables en la secuencia\( \bs{U} \) están distribuidas de manera idéntica, se deduce que\( V_t - V_s \) tiene la misma distribución que\( V_{t - s} \).
2. Supongamos eso\( 0 \le t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n \) y vamos\( t_0 = 0 \). Entonces para\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \), como en (a)\[ V_{t_i} - V_{t_i - 1} = \sum_{j = N_{t_i - 1} + 1}^{N_{t_i}} U_j \] El número de términos en esta suma es\( N_{t_i} - N_{t_{i-1}} \). Dado que\( \bs{N} \) tiene incrementos independientes, y las variables en\( \bs{U} \) son independientes, y dado que los índices entre\( N_{t_{i-1} + 1} \) y\( N_{t_i} \) son disjuntos sobre\( i \in \{1, 2, \ldots n\} \), se deduce que las variables aleatorias\( V_{t_i} - V_{t_i - 1} \) son independientes sobre\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

A continuación consideramos diversos momentos del proceso compuesto.

Para\( t \in [0, \infty) \), la media y varianza de\( V_t \) son

1. \( \E(V_t) = \mu r t \)
2. \( \var(V_t) = (\mu^2 + \sigma^2) r t \)

Prueba

Nuevamente, se trata de casos especiales de resultados generales para sumas aleatorias de variables IID, pero damos pruebas separadas para la integridad. La herramienta básica es el valor esperado condicional y la varianza condicional. Recordemos también eso\( \E(N_t) = \var(N_t) = r t \).

1. Tenga en cuenta que\( \E(V_t) = \E\left[\E(V_t \mid N_t)\right] = \E(\mu N_t) = \mu r t \).
2. De igual manera, señalar eso\( \var(V_t \mid N_t) = \sigma^2 N_t \) y por lo tanto\( \var(V_t) = \E\left[\var(V_t \mid N_t)\right] + \var\left[\E(V_t \mid N_t)\right] = \E(\sigma^2 N_t) + \var(\mu N_t) = \sigma^2 r t + \mu^2 r t \).

Para\( t \in [0, \infty) \), el momento que genera la función de\( V_t \) viene dada por\[ \E\left[\exp(s V_t)\right] = \exp\left(r t \left[G(s) - 1\right]\right), \quad s \in I \]

Prueba

Nuevamente, este es un caso especial del resultado más general para sumas aleatorias de variables IID, pero damos otra prueba de integridad. Al igual que con el último teorema, la clave es condicionar\( N_t \) y recordar que el MGF de una suma de variables independientes es el producto de los MGF. Así,\[ \E\left[\exp(s V_t)\right] = \E\left(\E\left[\exp(s V_t \mid N_t)\right]\right) = \E\left[G^{N_t}(s)\right] = P_t\left[G(s)\right] \] ¿dónde\( P_t \) está la función generadora de probabilidad de\( N_t \). Pero sabemos por nuestro estudio de la distribución de Poisson que\( P_t(x) = \exp\left[r t (x - 1)\right] \) para\( x \in \R \).

Por exactamente el mismo argumento, la misma relación se mantiene para funciones características y, en el caso de que las variables en\( \bs{U} \) toman valores\( \N \), para funciones generadoras de probabilidad.. Es decir, si las variables en\( \bs{U} \) tienen función generadora\( G \), entonces la función generadora\( H \) de\( V_t \) está dada por\[ H(s) = \exp(r t [G(s) - 1]) \] for\( s \) en el dominio de\( G \), donde la función generadora puede ser cualquiera de los tres tipos que hemos discutido: probabilidad, momento , o característica.

Ejemplos y Casos Especiales

El caso discreto

Primero observamos que Adelgazamiento de un proceso de Poisson se puede considerar como un caso especial de un proceso compuesto de Poisson. Así, supongamos que\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) es una secuencia de ensayos de Bernoulli con parámetro de éxito\( p \in (0, 1) \), y como antes, que\( \bs{U} \) es independiente del proceso de Poisson\( \bs{N} \). En el lenguaje habitual de raleo, las llegadas son de dos tipos (1 y 0), y\( U_i \) es el tipo de llegada\( i \) th. Así, el proceso compuesto\( \bs{V} \) construido anteriormente es el proceso adelgazado, por lo que ese\( V_t \) es el número de puntos tipo 1 hasta el tiempo\( t \). Sabemos que también\( \bs{V} \) es un proceso de Poisson, con tasa\( r p \).

Los resultados anteriores para el raleo se generalizan al caso en que los valores de las llegadas tienen una distribución discreta. Así, supongamos que\( U_i \) toma valores en un conjunto contable\( S \subseteq \R \), y como antes, vamos a\( f \) denotar la función de densidad de probabilidad común\( f(u) = \P(U_i = u) \) para que para\( u \in S \) y\( i \in \N_+ \). Para\( u \in S \), vamos a\( N^u_t \) denotar el número de llegadas hasta el tiempo\( t \) que tienen el valor\( u \), y vamos\( \bs{N}^u = \left\{N^u_t: t \in [0, \infty)\right\} \) denotar el proceso estocástico correspondiente. Armado con esta configuración, aquí está el resultado:

El proceso compuesto de Poisson\( \bs{V} \) asociado\( \bs{N} \) y\( \bs{U} \) puede escribirse en la forma\[ V_t = \sum_{u \in S} u N^u_t, \quad t \in [0, \infty) \] Los procesos\( \{\bs{N}^u: u \in S\} \) son procesos independientes de Poisson, y\( \bs{N}^u \) tiene tasa\( r f(u) \) para\( u \in S \).

Prueba

Tenga en cuenta que\( U_i = \sum_{u \in S} u \bs{1}(U_i = u) \) y por lo tanto\[ V_t = \sum_{i = 1}^{N_t} U_i = \sum_{i = 1}^{N_t} \sum_{u \in S} u \bs{1}(U_i = u) = \sum_{u \in S} u \sum_{i = 1}^{N_t} \bs{1}(U_i = u) = \sum_{u \in S} u N^u_t \] El hecho de que\( \{\bs{N}^u: u \in S\} \) son procesos independientes de Poisson, y que\( \bs{N}^u \) tiene tasa\( r f(u) \) para\( u \in S \) se desprende de nuestro resultado en raleo.

Distribuciones compuestas de Poisson

Una variable aleatoria compuesta de Poisson se puede definir fuera del contexto de un proceso de Poisson. Aquí está la definición formal:

Supongamos que\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente, y que\( N \) es independiente de\( \bs{U} \) y tiene la distribución de Poisson con parámetro\( \lambda \in (0, \infty) \). Después\( V = \sum_{i=1}^N U_i \) tiene una distribución compuesta de Poisson.

Pero, de hecho, las variables compuestas de Poisson suelen surgir en el contexto de un proceso subyacente de Poisson. En cualquier caso, los resultados sobre la media y varianza anteriores y la función generadora anterior se mantienen con\( r t \) reemplazados por\( \lambda \). Las distribuciones compuestas de Poisson son infinitamente divisibles. Un famoso teorema de William Feller da una inversa parcial: una distribución infinitamente divisible sobre Poisson\( \N \) debe ser compuesta.

La distribución binomial negativa on\( \N \) es infinitamente divisible y, por lo tanto, debe ser compuesta por Poisson. Aquí está la construcción:

Vamos\( p, \, k \in (0, \infty) \). Supongamos que\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) es una secuencia de variables independientes, teniendo cada una la distribución de serie logarítmica con el parámetro shape\( 1 - p \). Supongamos también que\( N \) es independiente\( \bs{U} \) y tiene la distribución de Poisson con parámetro\( - k \ln(p) \). Entonces\( V = \sum_{i=1}^N U_i \) tiene la distribución binomial negativa encendida\( \N \) con parámetros\( k \) y\( p \).

Prueba

Como se señaló anteriormente, la función generadora de probabilidad de\( V \)\( \lambda \) es\( P(t) = \exp\left( \lambda [Q(t) - 1]\right) \) donde está el parámetro de la variable de Poisson\( N \) y\( Q(t) \) es el PGF común de los términos en la suma. Usando el PGF de la distribución de series logarítmicas, y los valores particulares de los parámetros, tenemos\[ P(t) = \exp \left[-k \ln(p) \left(\frac{\ln[1 - (1 - p)t]}{\ln(p)} - 1\right)\right], \quad \left|t\right| \lt \frac{1}{1 - p} \] Usando propiedades de logaritmos y álgebra simple, esto reduce a\[ P(t) = \left(\frac{p}{1 - (1 - p)t}\right)^k, \quad \left|t\right| \lt \frac{1}{1 - p} \] lo que es el PGF de la distribución binomial negativa con parámetros\( k \) y\( p \).

Como caso especial (\( k = 1 \)), se deduce que la distribución geométrica en también\( \N \) es compuesta Poisson.