15.5: Procesos de Renovación Alternativos
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Teoría Básica
Preliminares
Un proceso de renovación alterna modela un sistema que, con el tiempo, alterna entre dos estados, que denotamos por 1 y 0 (así el sistema inicia en el estado 1). De manera genérica, podemos imaginar un dispositivo que, con el tiempo, alterna entre estados de encendido y apagado. Especializándose además, supongamos que un dispositivo opera hasta que falla, y luego es reemplazado por un dispositivo idéntico, que a su vez opera hasta que falla y es reemplazado, y así sucesivamente. En esta configuración, los tiempos en que el dispositivo está funcionando corresponden al estado encendido, mientras que los tiempos de reemplazo corresponden al estado apagado. (En realidad, el dispositivo podría repararse en lugar de reemplazarse, siempre y cuando la reparación devuelva el dispositivo a un estado prístino y nuevo). La suposición básica es que los pares de tiempos aleatorios sucesivos gastados en los dos estados forman una secuencia independiente, distribuida de manera idéntica. Claramente, el modelo de un sistema que alterna entre dos estados es básico e importante, pero además, estos procesos alternantes suelen encontrarse incrustados en otros procesos estocásticos.
Vamos a configurar la notación matemática. Dejar\( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) denotar los sucesivos períodos de tiempo que el sistema está en el estado 1, y dejar que\( \bs{V} = (V_1, V_2, \ldots)\) los sucesivos períodos de tiempo que el sistema está en el estado 0. Entonces, para ser claros, el sistema inicia en el estado 1 y permanece en ese estado por un periodo de tiempo\( U_1 \), luego pasa al estado 0 y permanece en este estado por un periodo de tiempo\( V_1 \), luego vuelve al estado 1 por un periodo de tiempo\( U_2 \), y así sucesivamente. Nuestra suposición básica\( \bs{W} = \left((U_1, V_1), (U_2, V_2), \ldots\right) \) es que es una secuencia independiente, idéntica distribuida. De ello se deduce que\( \bs{U} \) y\( \bs{V} \) cada una son secuencias independientes, distribuidas idénticamente, pero\( \bs{U} \) y bien\( \bs{V} \) podrían ser dependientes. De hecho,\( V_n \) podría ser una función de\( U_n \) para\( n \in \N_+ \). Dejar\( \mu = \E(U) \) denotar la media de un periodo de tiempo genérico\( U \) en el estado 1 y dejar\( \nu = \E(V) \) denotar la media de un periodo de tiempo genérico\( V \) en el estado 0. Dejar\( G \) denotar la función de distribución de un periodo de tiempo\( U \) en el estado 1, y como de costumbre, vamos a\( G^c = 1 - G \) denotar la función de distribución correcta (o función de confiabilidad) de\( U \).
Claramente es natural considerar los retornos al estado 1 como las llegadas en un proceso de renovación. Así, dejemos\( X_n = U_n + V_n \)\( n \in \N_+ \) y consideremos el proceso de renovación con tiempos interllegados\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \). Claramente esto tiene sentido, ya que\( \bs{X} \) es una secuencia independiente, idénticamente distribuida de variables no negativas. En su mayor parte, usaremos nuestra notación habitual para un proceso de renovación, por lo que la función de distribución común de\( X_n = U_n + V_n \) se denota por\( F \), el proceso de tiempo de llegada es\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \), el proceso de conteo es\( \{N_t: t \in [0, \infty)\} \), y la función de renovación lo es\( M \). Pero tenga en cuenta que el tiempo medio entre llegadas es ahora\( \mu + \nu \).
El proceso de renovación asociado con\( \bs{W} = ((U_1, V_1), (U_2, V_2), \dots) \) como se construyó anteriormente se conoce como un proceso de renovación alterna.
El Proceso Estatal
Nuestro interés es el estado\( I_t \) del sistema en el momento\( t \in [0, \infty) \), así\( \bs{I} = \left\{I_t: t \in [0, \infty)\right\} \) es un proceso estocástico con el espacio estatal\( \{0, 1\} \). Claramente los procesos estocásticos\( \bs{W} \) y\( \bs{I} \) son equivalentes en el sentido de que podemos recuperar uno del otro. Dejar\( p(t) = \P(I_t = 1) \), la probabilidad de que el dispositivo esté encendido en el momento\( t \in [0, \infty) \). Nuestro primer resultado principal es una ecuación de renovación para la función\( p \).
La función\( p \) satisface la ecuación de renovación\( p = G^c + p * F \) y por lo tanto\( p = G^c + G^c * M \).
Prueba
A estas alturas, el enfoque debería estar claro —vamos a condicionar a la primera llegada\( X_1 \):\[ \P(I_t = 1) = \P(I_t = 1, X_1 \gt t) + \P(I_t = 1, X_1 \le t) = \P(I_t = 1, X_1 \gt t) + \int_0^t \P(I_t = 1 \mid X_1 = s) \, dF(s) \] Pero\( \{I_t = 1, X_1 \gt t\} = \{U_1 \gt t) \) así\( \P(I_t = 1, X_1 \gt t) = \P(U_1 \gt t) = G^c(t) \). Por la renovación fundamental de la propiedad (el proceso se reinicia, independientemente del pasado, a cada llegada)\( \P(I_t = 1 \mid X_1 = s) = p(t - s) \) para\( s \le t \). De ahí que tengamos\[ p(t) = G^c(t) + \int_0^t p(t - s) \, dF(s), \quad t \in [0, \infty) \] o equivalentemente,\( p = G^c + p * F \). Por el teorema fundamental sobre las ecuaciones de renovación, la solución es\( p = G^c + G^c * M \), entonces\( p(t) = G^c(t) + \int_0^t G^c(t - s) \, dM(s), \quad t \in [0, \infty) \)
Ahora podemos aplicar el teorema de renovación clave para obtener el comportamiento asintótico de\( p \).
Si el proceso de renovación no es aritmético, entonces\[ p(t) \to \frac{\mu}{\mu + \nu} \text{ as } t \to \infty\]
Prueba
Del resultado anterior,\( p = G^c + G^c * m \). En primer lugar,\( G^c(t) \to 0 \)\( t \to \infty \) como propiedad básica de la función de distribución derecha. A continuación, por el teorema de renovación clave,\[ (G^c * M)(t) \to \frac{1}{\mu + \nu} \int_0^\infty G^c(s) \, ds \text{ as } t \to \infty \] Pero por otra propiedad básica de la función de distribución correcta,\( \int_0^\infty G^c(s) \, ds = \mu \).
Así, la probabilidad limitante de que el sistema esté activado es simplemente la relación entre la media de un período de encendido y la media de un período de encendido-apagado. De ello se deduce, por supuesto, que\[ \P(I_t = 0) = 1 - p(t) \to \frac{\nu}{\mu + \nu} \text{ as } t \to \infty\] así en particular, el hecho de que el sistema se inicie en el estado on no hace diferencia en el límite. Volveremos al comportamiento asintótico del proceso de renovación alterna en la siguiente sección sobre procesos de recompensa de renovación.
Aplicaciones y Casos Especiales
Con una definición inteligente de encendido y apagado, muchos procesos estocásticos pueden convertirse en procesos de renovación alternantes, conduciendo a su vez a límites interesantes, a través del teorema de límite básico anterior.
Procesos de Edad
La última observación se aplica en particular a los procesos de antigüedad de un proceso de renovación estándar. Entonces, supongamos que tenemos un proceso de renovación con secuencia interllegada\( \bs{X} \)\( \bs{T} \), secuencia de llegada y proceso de conteo\( \bs{N} \). Como de costumbre, vamos a\( \mu \) denotar la media y\( F\) la función de distribución de probabilidad de un tiempo entre llegadas, y dejar\( F^c = 1 - F \) denotar la función de distribución correcta (o función de confiabilidad).
Pues\( t \in [0, \infty) \), recordemos que la vida actual, la vida restante y la vida total en el momento\( t \) son\[ C_t = t - T_{N_t}, \quad R_t = T_{N_t + 1} - t, \quad L_t = C_t + R_t = T_{N_t+1} - T_{N_t} = X_{N_t + 1} \] respectivamente. En la terminología habitual de confiabilidad,\( C_t \) es la antigüedad del dispositivo en servicio en el momento\( t \),\( R_t \) es el tiempo restante hasta que este dispositivo falle, y\( L_t \) es la vida total del dispositivo. Utilizaremos el teorema límite anterior para derivar las distribuciones limitantes de estos procesos de edad. Las distribuciones limitantes se obtuvieron anteriormente, en la sección de teoremas de límite de renovación, mediante una aplicación directa del teorema de renovación clave. Entonces los resultados no son nuevos, pero el método de prueba es interesante.
Si el proceso de renovación no es aritmético entonces\[ \lim_{t \to \infty} \P(C_t \le x) = \lim_{t \to \infty} \P(R_t \le x) = \frac{1}{\mu} \int_0^x F^c(y) \, dy, \quad x \in [0, \infty) \]
Prueba
Arreglar\( x \in [0, \infty) \). Para el límite de vida actual, defina el periodo de encendido correspondiente al tiempo de interllegada\( X_n \) a ser\( U_n = \min\{X_n, x\} \) para\( n \in \N_+ \), de manera que el periodo de apagado sea\(V_n = X_n - \min\{X_n, x\} \). Tenga en cuenta que el sistema está encendido en el momento\( t \in [0, \infty) \) si y sólo si\( C_t \le x \), y por lo tanto\( p(t) = \P(C_t \le x) \). Se deduce del teorema del límite anterior que\[ \P(C_t \le x) \to \frac{\E[\min\{X, x\}]}{\mu} \text{ as } t \to \infty \] donde\( X \) es un tiempo genérico entre llegadas. Pero\[G^c(y) = \P[\min\{X, x\} \gt y] = \P(X \gt y) \bs{1}(x \gt y) = F^c(y) \bs{1}(x \gt y), \quad y \in [0, \infty)\] De ahí\[ \E[\min(X, x)] = \int_0^\infty G^c(y) \, dy = \int_0^x F^c(y) \, dy \] Para el límite de vida restante invertimos los periodos de encendido-apagado. De esta manera, definir el periodo de encendido correspondiente al tiempo interarribo\( X_n \) a ser\( U_n = X_n - \min\{X_n, x\} \) para\( n \in \N_+ \), de manera que el periodo de apagado sea\( V_n = \min\{X_n, x\} \). Tenga en cuenta que el sistema está apagado a tiempo\( t \) si y solo si\( R_t \le x \), y por lo tanto\( 1 - p(t) = \P(R_t \le x) \). Del teorema del límite anterior,\[ \P(R_t \le x) \to \frac{\E[\min\{X, x\}]}{\mu} \text{ as } t \to \infty \]
Como hemos señalado antes, el hecho de que las distribuciones limitantes sean las mismas no es sorprendente después de pensarlo un poco. Después de mucho tiempo, el proceso de renovación se ve igual hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, e invertir la flecha del tiempo invierte los roles del tiempo actual y restante.
Si el proceso de renovación no es aritmético entonces\[ \lim_{t \to \infty} \P(L_t \le x) = \frac{1}{\mu} \int_0^x y \, dF(y), \quad x \in [0, \infty) \]
Prueba
Arreglar\( x \in [0, \infty) \). Para\( n \in \N_+ \), defina el periodo de encendido asociado con el tiempo entre\( X_n \) llegadas por\( U_n = X_n \bs{1}(X_n \gt x) \). Por supuesto, el periodo de descanso correspondiente a\( X_n \) es\(V_n = X_n - U_n \). Así, cada periodo de renovación está totalmente activado o totalmente apagado, dependiendo de si el tiempo entre llegadas es o no mayor que\( x \). Obsérvese que el sistema está encendido a tiempo\( t \in [0, \infty) \) si y solo si\( L_t \gt x \), así a partir del teorema de límite básico anterior,\[ \P(L_t \gt x) \to \frac{1}{\mu} \E[X \bs{1}(X \gt x)] \] donde\( X \) es un tiempo genérico entre llegadas. Pero\[ \E[X \bs{1}(X \gt x)] = \int_x^\infty y \, dF(y)\]