1.4: Problemas en los sistemas de probabilidad

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\Omega\) consistir en el conjunto de enteros positivos. Considere los subconjuntos

\(A = \{\omega: \omega \le 12\}\)\(B = \{\omega: \omega < 8\}\)\(C = \{\omega: \omega \text{ is even}\}\)

\(D = \{\omega: \omega \text{ is a multiple of } 3\}\)\(E = \{\omega: \omega \text{ is a multiple of } 4\}\)

Describir en términos\(A, B, C, D, E\) y sus complementos los siguientes conjuntos:

a. {1, 3, 5, 7}
b. {3, 6, 9}
c. {8, 10}
d. Los enteros pares mayores que 12
e. Los enteros positivos que son múltiplos de seis.
f. Los enteros que son pares y no mayores de 6 o que son impares y mayores que 12.

Responder

\(a = BC^c\)
\(b= DAE^c\)
\(c = CAB^cD^c\)
\(d = CA^c\)
\(e = CD\)
\(f = BC \bigvee A^cC^c\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(\Omega\) ser el conjunto de enteros 0 a 10. Let\(A = \{5, 6, 7, 8\}\),\(B = \) los enteros impares en\(\Omega\), y\(C =\) los enteros en los\(\Omega\) que son pares o menores que tres. Describa los siguientes conjuntos enumerando sus elementos.

a.\(AB\)
b.\(AC\)
c.\(AB^c \cup C\)
d.\(ABC^c\)
e.\(A \cup B^c\)
f.\(A \cup BC^c\)
g.\(ABC\)
h.\(A^c BC^c\)

Responder

a.\(AB = {5, 7}\)
b.\(AC = {6, 8}\)
c.\(AB^c \cup C = C\)
d.\(ABC^c = AB\)
e.\(A \cup B^c = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}\)
f.\(ABC = \emptyset\)
g.\(A^c BC^c = {3, 9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Considera mensajes de quince palabras en inglés. Que\(A =\) el conjunto de tales mensajes que contienen la palabra “banco” y deje que\(B =\) el conjunto de mensajes que contienen la palabra “banco” y la palabra “crédito”. ¿Qué evento tiene la mayor probabilidad? ¿Por qué?

Responder

\(B \subset A\)implica\(P(B) \le P(A)\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Un grupo de cinco personas está formado por dos hombres y tres mujeres. Se seleccionan uno por uno de manera aleatoria. \(E_i\)Sea el evento que un hombre es seleccionado en la selección\(i\) th. Escribir una expresión para el evento de que ambos hombres hayan sido seleccionados por la tercera selección.

Responder

\(A = E_1 E_2 \bigvee E_1 E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2 E_3\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dos personas juegan un juego consecutivamente hasta que una de ellas tiene éxito o hay diez jugadas fallidas. \(E_i\)Sea el evento de un éxito en la jugada\(i\) th del juego. \(A, B, C\)Dejen ser los eventos respectivos que gana el jugador uno, jugador dos, o ninguno. Escribir una expresión para cada uno de estos eventos en términos de los eventos\(E_i\),\(1 \le i \le 10\).

Responder

\(A = E_1 \bigvee E_1^c E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9\)

\(B = E_1^c E_2 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9^c E_{10}\)

\(C = \bigcap_{i = 1}^{10} E_i^c\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que el juego en el Ejercicio 1.4.5 podría, en principio, jugarse un número ilimitado de veces. Escribe una expresión para el evento de\(D\) que el juego terminará con éxito en un número finito de veces. Escribe una expresión para el evento de\(F\) que el juego nunca terminará.

Responder

Dejar\(F_0 = \Omega\) y\(F_k = \bigcap_{i = 1}^{k} E_i^c\) para\(k \ge 1\). Entonces

\(D = \bigvee_{n = 1}^{\infty} F_{n - 1} E_n\)y\(F = D^c = \bigcap_{i = 1}^{\infty} E_i^c\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra la probabilidad (clásica) de que entre tres dígitos aleatorios, siendo cada dígito (del 0 al 9) igual de probable y cada triple igual de probable:

a. Los tres son iguales.
b. No hay dos iguales.
c. El primer dígito es 0.
d. Exactamente dos son iguales.

Responder

Cada triple tiene probabilidad\(1/10^3 = 1/1000\)

a. Diez triples, todos iguales:\(P = 10/1000\).
b.\(10 \times 9 \times 8\) Triplica todas las diferentes:\(P = 720/1000\).
c. 100 triples con primero cero:\(P = 100/1000\)
d.\(C(3, 2) = 3\) formas de escoger dos posiciones por igual; 10 formas de escoger el valor común; 9 formas de escoger la otra. \(P = 270/1000\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

El modelo de probabilidad clásico se basa en el supuesto de resultados igualmente probables. Se debe mostrar cierto cuidado en el análisis para estar seguros de que esta suposición es buena. Un ejemplo bien conocido es el siguiente. Se lanzan dos monedas. Se observa uno de tres resultados: Que\(\omega_1\) sean los resultados ambos son “cabezas”,\(\omega_2\) el desenlace que ambos son “colas”, y\(\omega_3\) ser el resultado que son diferentes. ¿Es razonable suponer que estos tres resultados son igualmente probables? ¿Qué probabilidades asignarías?

Responder

\(P(\{\omega_1\}) = P(\{\omega_2\}) = 1/4\),\(P(\{\omega_3\}) = 1/2\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Se elige un comité de cinco entre un grupo de 20 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro específico del grupo esté en el comité?

Responder

\(C(20, 5)\)comités;\(C(19, 4)\) contar con un miembro designado.

\(P = \dfrac{19!}{4! 15!} \cdot \dfrac{5! 15!}{20!} = 5/20 = 1/4\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Diez empleados de una empresa conducen sus autos a la ciudad cada día y se estacionan al azar en diez lugares. ¿Cuál es la probabilidad (clásica) de que en un día dado Jim esté en el lugar tres? Hay formas\(n!\) igualmente probables de organizar\(n\) los artículos (orden importante).

Responder

¡10! permutaciones,\(1 \times 9!\) permutaciones con Jim en el lugar 3. \(P = 9!/10! = 1/10\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Una extensión del modelo clásico implica el uso de áreas. Se toma como referencia cierta región\(L\) (digamos de tierra). Para cualquier subregión\(A\), defina\(P(A) = area(A)/area(L)\). Mostrar que\(P(\cdot)\) es una medida de probabilidad en las subregiones de\(L\).

Responder

La aditividad se deriva de la aditividad de áreas de regiones disjuntas.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

John piensa que la probabilidad de que ganen los Houston Texans el próximo domingo es de 0.3 y la probabilidad de que ganen los Dallas Cowboys es de 0.7 (no están jugando entre sí). Cree que la probabilidad de que ambos ganen está en algún lugar entre—digamos, 0.5. ¿Es esa una suposición razonable? Justifica tu respuesta.

Responder

\(P(AB) = 0.5\)no es razonable. No debe ser mayor que el mínimo de\(P(A) = 0.3\) y\(P(B) = 0.7\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Supongamos\(P(A) = 0.5\) y\(P(B) = 0.3\). ¿Cuál es el mayor valor posible de\(P(AB)\)? Usando el valor máximo de\(P(AB)\), dertermine\(P(AB^c)\)\(P(A^c B)\),\(P(A^c B^c)\) y\(P(A \cup B)\). ¿Estos valores se determinan de manera única?

Responder

Dibuja un diagrama de Venn o usa expresiones algebraicas\(P(AB^c) = P(A) - P(AB) = 0.2\)

\(P(A^c B) = P(B) - P(AB) = 0\)\(P(A^c B^c) = P(A^c) - P(A^c B) = 0.5\)\(P(A \cup B) = 0.5\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Para cada una de las siguientes “asignaciones” de probabilidad, rellene la tabla. ¿Qué asignaciones no son permisibles? Explique por qué, en cada caso.

\(P(A)\)	\(P(B)\)	\(P(AB)\)	\(P(A \cup B)\)	\(P(AB^c)\)	\(P(A^c B)\)	\(P(A) + P(B)\)
0.3	0.7	0.4
0.2	0.1	0.4
0.3	0.7	0.2
0.3	0.5	0
0.3	0.8	0

Responder

\(P(A)\)	\(P(B)\)	\(P(AB)\)	\(P(A \cup B)\)	\(P(AB^c)\)	\(P(A^c B)\)	\(P(A) + P(B)\)
0.3	0.7	0.4	0.6	-0.1	0.3	1.0
0.2	0.1	0.4	-0.1	-0.2	-0.3	0.3
0.3	0.7	0.2	0.8	0.1	0.5	1.0
0.3	0.5	0	0.8	0.3	0.5	0.8
0.3	0.8	0	1.1	0.3	0.8	1.1

Sólo se permiten las asignaciones tercera y cuarta.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

La clase\(\{A, B, C\}\) de eventos es una partición. \(A\)El evento es el doble de probable que\(C\) y el evento\(B\) es tan probable que la combinación\(A\) o\(C\). Determinar las probabilidades\(P(A)\),\(P(B)\),\(P(C)\).

Responder

\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\),\(P(A) = 2P(C)\), y\(P(B) = P(A) + P(C) = 3P(C)\), lo que implica

\(P(C) = 1/6\),\(P(A) = 1/3\),\(P(B) = 1/2\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Determinar la probabilidad\(P(A \cup B \cup C)\) en términos de las probabilidades de los eventos\(A, B, C\) y sus intersecciones.

Responder

\(P(A \cup B \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P(AC \cup BC)\)
\(= P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Si ocurrencia de evento\(A\) implica ocurrencia de\(B\), mostrar eso\(P(A^c B) = P(B) - P(A)\).

Responder

\(P(AB) = P(A)\)e\(P(AB) + P(A^c B) = P(B)\) implica\(P(A^c B) = P(B) - P(A)\).

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(P(AB) \ge P(A) + P(B) - 1\)Demuéstralo.

Responder

Se desprende de\(P(A) + P(B) - P(AB) = P(A \cup B) \le 1\).

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

La combinación de conjuntos\(A \oplus B = AB^c \bigvee A^c B\) se conoce como la unión disyuntiva o la diferencia simétrica de\(A\) y\(B\). Este es el hecho de que sólo uno de los hechos\(A\) o\(B\) ocurre en un juicio. Determinar\(P(A \oplus B)\) en términos de\(P(A)\)\(P(B)\), y\(P(AB)\)

Responder

Un diagrama de Venn muestra\(P(A \oplus B) = P(AB^c) + P(AB^c) = P(A) + P(B) - 2P(AB)\).

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Usar propiedades fundamentales de probabilidad para mostrar

a.\(P(AB) \le P(A) \le P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)

b.\(P(\bigcap_{j = 1}^{\infty} E_j) \le P(E_i) \le P(\bigcup_{j = 1}^{\infty} E_j) \le \sum_{j = 1}^{\infty} P(E_j)\)

Responder

\(AB \subset A \subset A \cup B\)implica\(P(AB) \le P(A) \le P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \le P(A) + P(B)\). El caso general sigue de manera similar, con la última desigualdad determinada por la subaditividad.

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Supongamos que\(P_1, P_2\) son medidas de probabilidad y\(c_1, c_2\) son números positivos tales que\(c_1 + c_2 = 1\). Mostrar que la asignación\(P(E) = c_1 P_1(E) + c_2P_2(E)\) a la clase de eventos es una medida de probabilidad. Tal combinación de medidas de probabilidad se conoce como una mezcla. Extender esto a

\(P(E) = \sum_{i = 1}^{n} c_i P_i (E)\), donde\(P_i\) son las medidas de probabilidades\(c_i > 0\), y\(\sum_{i = 1}^{n} c_i = 1\)

Responder

Claramente\(P(E) \ge 0\). \(P(\Omega) = c_1 P_1 (\Omega) + c_2 P_2 (\Omega) = 1\).

\(E = \bigvee_{i = 1}^{\infty} E_i\)implica\(P(E) = c_1 \sum_{i = 1}^{\infty} P_1 (E_i) + c_2 \sum_{i = 1}^{\infty} P_2 (E_i) = \sum_{i =1}^{\infty} P(E_i)\)

El patrón es el mismo para el caso general, salvo que la suma de dos términos se sustituye por la suma de\(n\) términos\(c_i P_i (E)\).

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Supongamos que\(\{A_1, A_2, \cdot\cdot\cdot, A_n\}\)\(\{c_1, c_2, \cdot\cdot\cdot, c_n\}\) es una partición y es una clase de constantes positivas. Para cada evento\(E\), vamos

\(Q(E) = \sum_{i = 1}^{n} c_i P(EA_i) / \sum_{i = 1}^{n} c_i P(A_i)\)

Demostrar que\(Q(\cdot)\) nos una medida de probabilidad.

Responder

Claramente\(Q(E) \ge 0\) y ya\(A_i \Omega = A_i\) que tenemos\(Q(\Omega) = 1\). Si

\(E = \bigvee_{k = 1}^{\infty} E_k\), luego\(P(EA_i) = \sum_{k = 1}^{\infty} P(E_k A_i)\)\(\forall i\)

Intercambiar el orden de suma muestra que\(Q\) es contablemente aditivo.