4.1: Independencia de los acontecimientos

Históricamente, la noción de independencia ha jugado un papel destacado en la probabilidad. Si los eventos forman una clase independiente, se requiere mucha menos información para determinar las probabilidades de combinaciones booleanas y los cálculos son correspondientemente más fáciles. En esta unidad, damos una formulación precisa del concepto de independencia en el sentido de probabilidad. Como en el caso de todos los conceptos que intentan incorporar nociones intuitivas, las consecuencias deben evaluarse para evidenciar que estas ideas han sido capturadas con éxito.

La independencia como falta de condicionamiento

Son muchas las situaciones en las que tenemos una “independencia operativa”.

• Supongamos que se baraja una baraja de naipes y se selecciona una carta al azar y luego se reemplaza con reorganización. Una segunda carta recogida en un intento repetido no debe verse afectada por la primera opción.
• Si los clientes entran en una tienda bien surtida en diferentes momentos, cada uno desconociendo la elección hecha por los demás, el artículo comprado por uno no debe verse afectado por la elección hecha por el otro.
• Si dos alumnos están tomando exámenes en diferentes cursos, la nota que uno hace no debe afectar la calificación realizada por el otro.

La lista de ejemplos podría extenderse indefinidamente. En cada caso, debemos esperar modelar los eventos como independientes de alguna manera. ¿Cómo debemos incorporar el concepto en nuestro modelo de probabilidad en desarrollo?

Tomamos nuestra pista de los ejemplos anteriores. Se consideran pares de eventos. La “independencia operativa” descrita indica que el conocimiento de que uno de los eventos ha ocurrido no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Para un par de eventos {\(A\),\(B\)}, esta es la condición

\(P(A|B) = P(A)\)

La ocurrencia del evento no\(A\) está “condicionada por” la ocurrencia del evento\(B\). Nuestra interpretación básica es la que\(P(A)\) indica la probabilidad de la ocurrencia del evento\(A\). El desarrollo de la probabilidad condicional en el módulo Probabilidad Condicional, lleva a la interpretación de\(P(A|B)\) como la probabilidad que\(A\) ocurrirá en un ensayo, dado el conocimiento que\(B\) tal y como ocurrió. Si tal conocimiento de la ocurrencia de no\(B\) afecta la probabilidad de la ocurrencia de\(A\), debemos inclinarnos a pensar en los eventos\(A\) y\(B\) como independientes en un sentido de probabilidad.

Pares independientes

Tomamos nuestra pista de la condición\(P(A|B) = P(A)\). La propiedad (CP4) para probabilidad condicional (en el caso de igualdad) produce dieciséis condiciones equivalentes de la siguiente manera.

\(P(A|B) = P(A)\)	\(P(B|A) = P(B)\)	\(P(AB) = P(A) P(B)\)
\(P(A|B^c) = P(A)\)	\(P(B^c|A) = P(B^c)\)	\(P(AB^c) = P(A) P(B^c)\)
\(P(A^c|B) = P(A^c)\)	\(P(B|A^c) = P(B)\)	\(P(A^c B) = P(A^c)P(B)\)
\(P(A^c|B^c) = P(A^c)\)	\(P(B^c|A^c) = P(B^c)\)	\(P(A^cB^c) = P(A^c) P(B^c)\)

\(P(A|B) = P(A|B^c)\)

\(P(A^c|B) = P(A^c|B^c)\)

\(P(B|A) = P(B|A^c)\)

\(P(B^c|A) = P(B^c|A^c)\)

Estas condiciones son equivalentes en el sentido de que si alguno sostiene, entonces todas se mantienen. Podemos elegir cualquiera de estos como la condición definitoria y considerar a los demás como equivalentes para la condición definitoria. Por su simplicidad y simetría con respecto a los dos eventos, adoptamos la regla del producto en la esquina superior derecha de la mesa.

Definición. Se dice que el par {\(A\),\(B\)} de eventos es (estocásticamente) independiente si se mantiene la siguiente regla de producto:

\(P(AB) = P(A) P(B)\)

Observación. Si bien la regla del producto se adopta como base para la definición, en muchas aplicaciones los supuestos que conducen a la independencia pueden formularse de manera más natural en términos de una u otra de las expresiones equivalentes. Somos libres de hacer esto, pues el efecto de asumir cualquier condición es asumirlas todas.

Las equivalencias en la columna derecha de la porción superior de la tabla pueden expresarse como regla de reemplazo, que aumentamos y extendemos a continuación:

Si el par {\(A\),\(B\)} es independiente, también lo es cualquier par obtenido tomando el complemento de uno o ambos eventos.

Tomamos nota de dos hechos relevantes

• Supongamos que el evento\(N\) tiene probabilidad cero (es un evento nulo). Entonces para cualquier evento\(A\), tenemos\(0 \le P(AN) \le P(N) = 0 = P(A)P(N)\), para que la regla del producto se mantenga. Así {\(N\),\(A\)} es un par independiente para cualquier evento\(A\).
• Si el evento\(S\) tiene probabilidad uno (es un evento casi seguro), entonces su complemento\(S^c\) es un evento nulo. Por la regla de reemplazo y el hecho recién establecido\({S^c\),,\(A\)} es independiente, entonces {\(S\),\(A\)} es independiente.

Así pues, la regla de sustitución podrá extenderse a:

Regla de reemplazo

Si el par {\(A\),\(B\)} es independiente, también lo es cualquier par obtenido reemplazando uno o ambos eventos por sus complementos o por un evento nulo o por un evento casi seguro.

Precaución

1. A menos que al menos uno de los eventos tenga probabilidad uno o cero, un par no puede ser independiente y mutuamente excluyente. Intuitivamente, si el par es mutuamente excluyente, entonces la ocurrencia de uno requiere que el otro no ocurra. Formalmente: Supongamos\(0 < P(A) < 1\) y\(0 < P(B) < 1\). {\(A\),\(B\)} implica mutuamente excluyentes\(P(AB) = P(\emptyset) = 0 \ne P(A) P(B)\). {\(A\),\(B\)} independiente implica\(P(AB) = P(A) P(B) > 0 = P(\emptyset)\)
2. La independencia no es propiedad de los acontecimientos. Dos eventos no mutuamente excluyentes pueden ser independientes bajo una medida de probabilidad, pero pueden no ser independientes para otra. Esto se puede ver considerando varias distribuciones de probabilidad en un diagrama de Venn o mapa minterm.

Clases independientes

La extensión del concepto de independencia a una clase arbitraria de eventos utiliza la regla del producto.

Definición. Se dice que una clase de eventos es (estocásticamente) independiente si la regla de producto tiene para cada subclase finita de dos o más eventos en la clase.

Una clase {\(A\),\(B\),\(C\)} es independiente si se mantienen las cuatro reglas de producto siguientes

\(P(AB) = P(A) P(B)\)\(P(AC) = P(A) P(C)\)\(P(BC) = P(B) P(C)\)\(P(ABC) = P(A) P(B) P(C)\)

Si alguna o más de estas expresiones de producto fallan, la clase no es independiente. Una situación similar se mantiene para una clase de cuatro eventos: la regla del producto debe sostenerse para cada par, por cada triple, y para toda la clase. Tenga en cuenta que decimos “no independiente” o “no independiente” en lugar de dependiente. La razón de esto se vuelve más clara al tratar con variables aleatorias independientes.

Consideramos algunas muestras clásicas de clases no independientes

Algunas clases no independientes

1. Supongamos que {\(A_1\)\(A_2\),\(A_3\),,\(A_4\)} es una partición, con cada una\(P(A_i) = 1/4\). Let
   
   \(A = A_1 \bigvee A_2 B = A_1 \bigvee A_3 C = A_1 \bigvee A_4\)
   
   Entonces la clase {\(A\),\(B\),\(C\)} tiene\(P(A) = P(B) = P(C) = 1/2\) y es por pares independiente, pero no independiente, ya que\(P(AB) = P(A_1) = 1/4 = P(A) P(B)\) y de manera similar para los otros pares, pero\(P(ABC) = P(A_1) = 1/4 \ne P(A)P(B)P(C)\)
2. Considere la clase {\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)} con\(AD = BD = \emptyset\),\(C = AB \bigvee D\),\(P(A) = P(B) = 1/4\),\(P(AB) = 1/64\), y\(P(D) = 15/64\). El uso de mapas minterm muestra que estas asignaciones son consistentes. Los cálculos elementales muestran que la regla del producto se aplica a la clase {\(A\)\(B\),,\(C\)} pero no dos de estos tres eventos forman un par independiente.

Como se señaló anteriormente, la regla de reemplazo se mantiene para cualquier par de eventos. Es fácil demostrar, aunque algo engorroso de escribir, que si la regla se mantiene para algún número finito\(k\) de eventos en una clase independiente, se mantiene para cualquiera\(k + 1\) de ellos. Por el principio de inducción matemática, la regla debe sostenerse para cualquier subclase finita. Podemos extender la regla de reemplazo de la siguiente manera.

Regla General de Sustitución

Si una clase es independiente, podemos reemplazar cualquiera de los conjuntos por su complemento, por un evento nulo o por un evento casi seguro, y la clase resultante también es independiente. Dichos reemplazos podrán hacerse para cualquier número de los conjuntos de la clase. Una consecuencia inmediata e importante es la siguiente.

Probabilidades minterm

Si {\(A_i: 1 \le i \le n\)} es una clase independiente y se conoce la clase {\(P(A_i):1 \le i \le n\)} de probabilidades individuales, entonces se puede calcular la probabilidad de cada minterm.

Probabilidades minterm para una clase independiente

Supongamos que la clase {\(A\)\(B\),,\(C\)} es independiente con respectivas probabilidades\(P(A) = 0.3\),\(P(B) = 0.6\), y\(P(C) = 0.5\). Entonces

{\(A^c\),\(B^c\),\(C^c\)} es independiente y\(P(M_0） = P(A^c)P(B^c)P(C^c) = 0.14\)

{\(A^c\),\(B^c\),\(C\)} es independiente y\(P(M_1) = P(A^c)P(B^c)P(C) = 0.14\)

De igual manera, las probabilidades de los otros seis minterms, en orden, son de 0.21, 0.21, 0.06, 0.06, 0.09 y 0.09. Con estas probabilidades minterm, la probabilidad de cualquier combinación booleana de\(A\)\(B\), y\(C\) puede calcularse

En general, se deben especificar ocho probabilidades apropiadas para determinar las probabilidades minterm para una clase de tres eventos. En el caso independiente, tres probabilidades apropiadas son suficientes.

Tres probabilidades arrojan las probabilidades minterm

Supongamos que {\(A\)\(B\),,\(C\)} es independiente con\(P(A \cup BC) = 0.51\)\(P(AC^c) = 0.15\),, y\(P(A) = 0.30\). Entonces\(P(C^c) = 0.15/0.3 = 0.5 = P(C)\) y

\(P(A) + P(A^c) P(B) P(C) = 0.51\)para que\(P(B) = \dfrac{0.51 - 0.30}{0.7 \times 0.5} = 0.6\)

Con cada una de las probabilidades básicas determinadas, podemos calcular las probabilidades minterm, de ahí la probabilidad de cualquier combinación booleana de los eventos.

MATLAB y la regla del producto

Frecuentemente tenemos una clase {\(E_1\),,\(E_2\)\(\cdot \cdot\ cdot\),\(E_n\)} independiente lo suficientemente grande como para que sea deseable usar MATLAB (o alguna otra ayuda computacional) para calcular las probabilidades de varias combinaciones “y” (intersecciones) de los eventos o sus complementos. Supongamos que la clase independiente {\(E_1\)\(E_2\)\(\cdot \cdot\ cdot\),,,\(E_{10}\)} tiene probabilidades respectivas

0.13 0.37 0.12 0.56 0.33 0.71 0.22 0.43 0.57 0.31

Se desea calcular (a)\(P(E_1 E_2 E_3^c E_4 E_5^c E_6^c E_7)\), y (b)\(P(E_1^c E_2 E_3^c E_4 E_5^c E_6^c E_7 E_8 E_9^c E_{10})\).

Podemos usar la función prod de MATLAB y el esquema para indexar una matriz.

>> p = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
>> q = 1-p;
>> % First case
>> e = [1 2 4 7];                  % Uncomplemented positions
>> f = [3 5 6];                    % Complemented positions
>> P = prod(p(e))*prod(q(f))       % p(e) probs of uncomplemented factors
P = 0.0010                         % q(f) probs of complemented factors
>> % Case of uncomplemented in even positions; complemented in odd positions
>> g = find(rem(1:10,2) == 0);     % The even positions
>> h = find(rem(1:10,2) ~= 0);     % The odd positions
>> P = prod(p(g))*prod(q(h))
P = 0.0034

En la unidad de MATLAB y Clases Independientes, extendemos el uso de MATLAB en los cálculos para dichas clases.