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4.4: Problemas sobre la independencia de los acontecimientos

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    151030

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Los minterms generados por la clase\(\{A, B, C\}\) tienen probabilidades minterm

    \(pm = [0.15\ 0.05\ 0.02\ 0.18\ 0.25\ 0.05\ 0.18\ 0.12]\)

    Demostrar que la regla del producto se mantiene para los tres, pero la clase no es independiente.

    Contestar
    pm = [0.15 0.05 0.02 0.18 0.25 0.05 0.18 0.12];
y = imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
y =
     1     1     1     0
     1     1     1     0   % The product rule hold for M7 = ABC

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    La clase {\(A, B, C, D\)} es independiente, con probabilidades respectivas 0.65, 0.37, 0.48, 0.63. Utilice la función m minprob para obtener las probabilidades minterm. Usa la función m minmap para ponerlos en una tabla de 4 por 4 correspondiente a la convención de mapa minterm que utilizamos.

    Contestar
    P = [0.65 0.37 0.48 0.63];
p = minmap(minprob(P))
p =
    0.0424    0.0249    0.0788    0.0463
    0.0722    0.0424    0.1342    0.0788
    0.0392    0.0230    0.0727    0.0427
    0.0667    0.0392    0.1238    0.0727

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Las probabilidades minterm para la encuesta de software en el Ejemplo 2 de “Minterms” son

    \(pm = [0\ 0.05\ 0.10\ 0.05\ 0.20\ 0.10\ 0.40\ 0.10]\)

    Mostrar si la clase {\(A, B, C\)} es independiente o no: (1) por cálculo manual, y (2) mediante el uso de la función m imintest.

    Contestar
    pm = [0 0.05 0.10 0.05 0.20 0.10 0.40 0.10];
y = imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
y =
     1     1     1     1    % By hand check product rule for any minterm
     1     1     1     1

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Las probabilidades minterm para la encuesta computacional en el Ejemplo 3 de “Minterms” son

    \(pm = [0.032\ 0.016\ 0.376\ 0.011\ 0.364\ 0.073\ 0.077\ 0.051]\)

    Mostrar si la clase {\(A, B, C\)} es independiente o no: (1) por cálculo manual, y (2) mediante el uso de la función m imintest.

    Contestar
    npr04_04
Minterm probabilities for Exercise 4.4.4. are in pm
y = imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
y =
     1     1     1     1
     1     1     1     1

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Las probabilidades minterm\(p(0)\) a través\(p(15)\) de la clase {\(A, B, C, D\)} son, en orden,

    \(pm = [0.084\ 0.196\ 0.036\ 0.084\ 0.085\ 0.196\ 0.035\ 0.084\ 0.021\ 0.049\ 0.009\ 0.021\ 0.020\ 0.049\ 0.010\ 0.021]\)

    Usa la función m imintest para mostrar si la clase {\(A, B, C, D\)} es independiente o no.

    Contestar
    npr04_05
Minterm probabilities for Exercise 4.4.5. are in pm
imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
ans =
     0     1     0     1
     0     0     0     0
     0     1     0     1
     0     0     0     0

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Las probabilidades minterm\(p(0)\) a través\(p(15)\) de la encuesta de opinión en el Ejemplo 4 de “Minterms” son

    \(pm = [0.085\ 0.195\ 0.035\ 0.085\ 0.080\ 0.200\ 0.035\ 0.085\ 0.020\ 0.050\ 0.010\ 0.020\ 0.020\ 0.050\ 0.015\ 0.015]\)

    mostrar si la clase {\(A, B, C, D\)} es independiente o no.

    Contestar
    npr04_06
Minterm probabilities for Exercise 4.4.6. are in pm
y = imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
y =
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    La clase {\(A, B, C\)} es independiente, con\(P(A) = 0.30\),\(P(B^c C) = 0.32\), y\(P(AC) = 0.12\). Determinar las probabilidades minterm.

    Contestar

    \(P(C) = P(AC)/P(A) = 0.40\)Y\(P(B) = 1 - P(B^c C)/P(C) = 0.20\).

    pm = minprob([0.3 0.2 0.4])
pm =  0.3360  0.2240  0.0840  0.0560  0.1440  0.0960  0.0360  0.0240

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    La clase {\(A, B, C\)} es independiente, con\(P(A \cup B) = 0.6\),\(P(A \cup C) = 0.7\), y\(P(C) = 0.4\). Determinar la probabilidad de cada minterm.

    Contestar

    \(P(A^c C^c) = P(A^c) P(C^c) = 0.3\)implica\(P(A^c) =0.3/0.6 = 0.5 = P(A)\).

    \(P(A^c B^c) = P(A^c) P(B^c) = 0.4\)\(P(B^c) = 0.4/0.5 = 0.8\)implica\(P(B) = 0.2\)

    P = [0.5 0.2 0.4];
pm = minprob(P)
pm =  0.2400  0.1600  0.0600  0.0400  0.2400  0.1600  0.0600  0.0400

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Un par de dados se rueda cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros resultados sean “sietes” y los otros no?

    Contestar

    \(P = (1/6)^2 (5/6)^3 = 0.0161.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    David, Mary, Joan, Hal, Sharon y Wayne toman un examen en su curso de probabilidad. Sus probabilidades de hacer 90 por ciento o más son

    0.72 0.83 0.75 0.92 0.65 0.79

    respectivamente. Supongamos que se trata de eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más, cuatro o más, cinco o más hagan calificaciones de al menos 90 por ciento?

    Contestar
    P = 0.01*[72 83 75 92 65 79];
y = ckn(P,[3 4 5])
y =   0.9780    0.8756    0.5967

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Se seleccionan dos números aleatorios independientes entre 0 y 1 (digamos mediante un generador de números aleatorios en una calculadora). ¿Cuál es la probabilidad de que el primero no sea mayor que 0.33 y el otro sea al menos 57?

    Contestar

    \(P = 0.33 \cdot (1 - 0.57) = 0.1419\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Helen se pregunta cómo planificar para el fin de semana. Ella recibirá una carta de casa (con dinero) con probabilidad 0.05. Hay una probabilidad de 0.85 de que reciba una llamada de Jim en SMU en Dallas. También hay una probabilidad de 0.5 de que William pida una cita. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga dinero y Jim no llame o que ambos Jim llame y William le pida una cita?

    Contestar

    \(A\)~ carta con dinero,\(B\) ~ llamada de Jim,\(C\) ~ William pide fecha

    P = 0.01*[5 85 50];
minvec3
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
pm = minprob(P);
p = ((A&Bc)|(B&C))*pm'
p =  0.4325

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Un jugador de basquetbol se lleva diez tiros libres en un certamen. En su primer disparo está nerviosa y tiene probabilidad 0.3 de hacer el disparo. Ella comienza a asentarse y las probabilidades en los siguientes siete tiros son 0.5, 0.6 0.7 0.8 0.8, 0.8 y 0.85, respectivamente. Entonces se da cuenta de que a su oponente le va bien, y se pone tensa a medida que toma los dos últimos tiros, con probabilidades reducidas a 0.75, 0.65. Asumiendo independencia entre los disparos, ¿cuál es la probabilidad de que haga\(k\) o más\(k = 2,3, \cdot \cdot \cdot 10\)?

    Contestar
    P = 0.01*[30 50 60 70 80 80 80 85 75 65];
k = 2:10;
p = ckn(P,k)
p =
  Columns 1 through 7
    0.9999    0.9984    0.9882    0.9441    0.8192    0.5859    0.3043
  Columns 8 through 9
    0.0966    0.0134

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    En un grupo hay\(M\) hombres y\(W\) mujeres; m de los hombres y\(w\) de las mujeres son egresados universitarios. Un individuo es escogido al azar. Que\(A\) sea el evento el individuo es una mujer y\(B\) sea el evento que él o ella sea egresado universitario. ¿Bajo qué condición es independiente el par {\(A, B\)}?

    Contestar

    \(P(A|B) = w/(m + w) = W/(W + M) = P(A)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Considera el par {\(A, B\)} de eventos. Vamos\(P(A) = p\),\(P(A^c) = q = 1 - p\),\(P(B|A) = p_1\), y\(P(B|A^c) = p_2\). ¿Bajo qué condición es independiente el par {\(A, B\)}?

    Contestar

    \(p_1 = P(B|A) = P(B|A^c) = p_2\)(ver tabla de condiciones equivalentes).

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Demostrar que si\(A\) el evento es independiente de sí mismo, entonces\(P(A) = 0\) o\(P(A) = 1\). (Este hecho es clave para una importante “ley cero uno”.)

    Contestar

    \(P(A) = P(A \cap A) = P(A) P(A)\). \(x^2 = x\)iff\(x = 0\) o\(x = 1\).

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    ¿{\(A, B\)} independiente y {\(B, C\)} independiente implica que {\(A, C\)} es independiente? Justifica tu respuesta.

    Contestar
    % No. Consider for example the following minterm probabilities:
pm = [0.2 0.05 0.125 0.125 0.05 0.2 0.125 0.125];
minvec3
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
PA = A*pm'
PA =  0.5000
PB = B*pm'
PB =  0.5000
PC = C*pm'
PC =  0.5000
PAB = (A&B)*pm'  % Product rule holds
PAB =  0.2500
PBC = (B&C)*pm' % Product rule holds
PBC =  0.2500
PAC = (A&C)*pm'  % Product rule fails
PAC =  0.3250

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Supongamos que evento\(A\) implica\(B\) (es decir\(A \subset B\)). Mostrar que si el par {\(A, B\)} es independiente, entonces cualquiera\(P(A) = 0\) o\(P(B) = 1\).

    Contestar

    \(A \subset B\)implica\(P(AB) = P(A)\); la independencia implica\(P(AB) = P(A) P(B)\). \(P(A) = P(A) P(B)\)sólo si\(P(B) = 1\) o\(P(A) = 0\).

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Una empresa cuenta con tres grupos de trabajo que intentan cumplir con un plazo para un nuevo dispositivo. Los grupos trabajan de manera independiente, con respectivas probabilidades 0.8, 0.9, 0.75 de completar a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un grupo complete a tiempo? (Piensa. Entonces resuelve “a mano”.)

    Contestar

    Al menos uno completa iff no todos fallan. \(P = 1 - 0.2 \cdot 0.1 \cdot 0.25 = 0.9950\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Dos vendedores trabajan de manera diferente. Roland pasa más tiempo con sus clientes que Betty, por lo tanto tiende a ver menos clientes. En un día dado Roland ve cinco clientes y Betty ve seis. Los clientes toman decisiones de forma independiente. Si las probabilidades de éxito en los clientes de Roland son 0.7, 0.8, 0.8, 0.6, 0.7 y para los clientes de Betty son 0.6, 0.5, 0.4, 0.6, 0.6, 0.4, ¿cuál es la probabilidad de que Roland haga más ventas que Betty? ¿Cuál es la probabilidad de que Roland haga tres o más ventas? ¿Cuál es la probabilidad de que Betty haga tres o más ventas?

    Contestar
    PR = 0.1*[7 8 8 6 7];
PB = 0.1*[6 5 4 6 6 4];
PR3 = ckn(PR,3)
PR3 =  0.8662
PB3 = ckn(PB,3)
PB3 =  0.6906
PRgB = ikn(PB,0:4)*ckn(PR,1:5)'
PRgB = 0.5065

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Dos equipos de estudiantes realizan un examen de probabilidad. Todo el grupo realiza de manera individual e independiente. El Equipo 1 tiene cinco miembros y el Equipo 2 tiene seis miembros. Tienen las siguientes probabilidades indivudales de hacer una `” A” en el examen.

    Equipo 1:0.83 0.87 0.92 0.77 0.86 Equipo 2:0.68 0.91 0.74 0.68 0.73 0.83

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo 1 haga al menos tantas A's como el equipo 2?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo 1 haga más A's que el equipo 2?
    Contestar
    P1 = 0.01*[83 87 92 77 86];
P2 = 0.01*[68 91 74 68 73 83];
P1geq = ikn(P2,0:5)*ckn(P1,0:5)'
P1geq =  0.5527
P1g = ikn(P2,0:4)*ckn(P1,1:5)'
P1g =    0.2561

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Un sistema tiene cinco componentes que fallan independientemente. Sus respectivas fiabilidades son 0.93, 0.91, 0.78, 0.88, 0.92. Las unidades 1 y 2 operan como una combinación de “serie”. Las unidades 3, 4, 5 operan como un subsistema de dos de tres. Los dos subsistemas operan como una combinación paralela para hacer el sistema completo. ¿Qué es la fiabilidad del sistema completo?

    Contestar
    R = 0.01*[93 91 78 88 92];
Ra = prod(R(1:2))
Ra =  0.8463
Rb = ckn(R(3:5),2)
Rb =  0.9506
Rs = parallel([Ra Rb])
Rs =  0.9924

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Un sistema tiene ocho componentes con probabilidades respectivas

    0.96 0.90 0.93 0.82 0.85 0.97 0.88 0.80

    Las unidades 1 y 2 forman un subsistema paralelo en serie con la unidad 3 y una combinación de tres de cinco unidades 4 a 8. ¿Cuál es la fiabilidad del sistema completo?

    Contestar
    R = 0.01*[96 90 93 82 85 97 88 80];
Ra = parallel(R(1:2))
Ra =  0.9960
Rb = ckn(R(4:8),3)
Rb =  0.9821
Rs = prod([Ra R(3) Rb])
Rs =  0.9097

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    ¿Cómo cambiaría la confiabilidad del sistema en el Ejercicio 4.4.23. si las unidades 1, 2 y 3 formaran una combinación paralela en serie con la combinación tres de cinco?

    Contestar
    Rc = parallel(R(1:3))
Rc =  0.9997
Rss = prod([Rb Rc])
Rss = 0.9818

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    ¿Cómo cambiaría la confiabilidad del sistema en el Ejercicio 4.4.23. si la confiabilidad de la unidad 3 se cambiara de 0.93 a 0.96? ¿Qué cambio si la confiabilidad de la unidad 2 se cambiara de 0.90 a 0.95 (con la unidad 3 sin cambios)?

    Responder
    R1 = R;
R1(3) =0.96;
Ra = parallel(R1(1:2))
Ra =  0.9960
Rb = ckn(R1(4:8),3)
Rb =  0.9821
Rs3 = prod([Ra R1(3) Rb])
Rs3 = 0.9390
R2 = R;
R2(2) = 0.95;
Ra = parallel(R2(1:2))
Ra =  0.9980
Rb = ckn(R2(4:8),3)
Rb =  0.9821
Rs4 = prod([Ra R2(3) Rb])
Rs4 = 0.9115

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Se rotan tres dados justos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno muestre un seis?

    Responder

    \(P = 1 - (5/6)^3 = 0.4213\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Una tienda de pasatiempos encuentra que 35 por ciento de sus clientes compran un juego electrónico. Si los clientes compran de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los siguientes cinco clientes compre un juego electrónico?

    Responder

    \(P = 1 - 0.65^5 = 0.8840\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    En condiciones de ruido extremo, la probabilidad de que un determinado mensaje se transmita correctamente es 0.1. Los mensajes sucesivos son actuados independientemente por el ruido. Supongamos que el mensaje se transmite diez veces. ¿Cuál es la probabilidad de que se transmita correctamente al menos una vez?

    Responder

    \(P = 1 - 0.9^{10} = 0.6513\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Supongamos que la clase\(\{A_i: 1 \le i \le n\}\) es independiente, con\(P(A_i) = p_i\),\(1 \le i \le n\). ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos? ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno?

    Responder

    \(P1 = 1 -P0\),\(P0 = \prod_{i = 1}^{n} (1 - p_i)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    En cien dígitos aleatorios, del 0 al 9, con cada dígito posible igual de probable en cada elección, ¿cuál es la probilidad 8 o más son sietes?

    Responder

    \(P\)= cbinom (100, 0.1, 8) = 0.7939

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    Diez clientes entran en una tienda. Si la probabilidad es de 0.15 de que cada cliente compre un televisor, ¿cuál es la probabilidad de que la tienda venda tres o más?

    Responder

    \(P\)= cbinom (10, 0.15, 3) = 0.1798

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    Siete unidades similares se ponen en servicio a la vez\(t = 0\). Las unidades fallan de forma independiente. La probabilidad de falla de cualquier unidad en las primeras 400 horas es de 0.18. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más unidades sigan en funcionamiento al término de las 400 horas?

    Responder

    \(P\)= cbinom (7, 0.82, 3) = 0.9971

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    Un sistema informático cuenta con diez módulos similares. El circuito tiene redundancia que asegura que el sistema funcione si hay ocho o más de las unidades operativas. Las unidades fallan de forma independiente, y la probabilidad es 0.93 de que cualquier unidad sobreviva entre periodos de mantenimiento. ¿Cuál es la probabilidad de que no falle el sistema debido a estas unidades?

    Responder

    \(P\)= cbinom (10,0.93,8) = 0.9717

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    Solo el treinta por ciento de los artículos de una línea de producción cumplen con estrictos requisitos para un trabajo especial. Las unidades de la línea se prueban sucesivamente. Bajo los supuestos habituales para los ensayos de Bernoulli, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren tres unidades satisfactorias en ocho o menos ensayos?

    Responder

    \(P\)= cbinom (8, 0.3, 3) = 0.4482

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    La probabilidad es 0.02 de que un virus sobreviva a la aplicación de una determinada vacuna. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote de 500 virus, quince o más sobrevivan al tratamiento?

    Responder

    \(P\)= cbinom (500, 0.02, 15) = 0.0814

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    En un envío de 20,000 artículos, 400 son defectuosos. Estos se encuentran dispersos aleatoriamente por todo el lote. Supongamos que la probabilidad de un defecto es la misma en cada elección. ¿Cuál es la probabilidad de que

    1. Dos o más aparecerán en una muestra aleatoria de 35?
    2. A lo sumo cinco aparecerán en una muestra aleatoria de 50?
    Responder

    \(P\)1 = cbinom (35, 0.02, 2) = 0.1547.

    \(P\)2 = 1 — cbinom (35, 0.02, 6) = 0.9999

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    Un dispositivo tiene probabilidad\(p\) de operar con éxito en cualquier ensayo en una secuencia. ¿Qué probabilidad\(p\) es necesaria para asegurar que la probabilidad de éxitos en los cuatro primeros ensayos sea de 0.85? Con ese valor de\(p\), ¿cuál es la probabilidad de cuatro o más éxitos en cinco ensayos?

    Responder

    \(p = 0.85^{1/4}\0, \(P\)cbinom (5,\(p\), 4) = 0.9854.

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    Se envía un formulario de encuesta a 100 personas. Si deciden independientemente si responder o no, y cada uno tiene probabilidad 1/4 de responder, ¿cuál es la probabilidad de\(k\) o más respuestas, dónde\(k = 15, 20, 25, 30, 35, 40\)?

    Responder
    P = cbinom(100,1/4,15:5:40)
P =  0.9946    0.9005    0.5383    0.1495    0.0164    0.0007

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    Diez números son producidos por un generador de números aleatorios. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más sean menores o iguales a 0.63?

    Responder

    \(P\)1 = cbinom (10, 0.63, 4) = 0.9644

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    Un jugador tira cinco veces un par de dados. Ella anota un “hit” en cualquier lanzamiento si obtiene un 6 o 7. Ella gana iff anota un número impar de hits en los cinco tiros. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane en cualquier secuencia de cinco tiros? Supongamos que juega el juego 20 veces sucesivas. ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos 10 veces? ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de la mitad del tiempo?

    Responder

    Cada rollo arroja un hit con probabilidad\(p = \dfrac{6}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{11}{36}\).

    PW = sum(ibinom(5,11/36,[1 3 5]))
PW =  0.4956
P2 = cbinom(20,PW,10)
P2 =  0.5724
P3 = cbinom(20,PW,11)
P3 =  0.3963

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    Erica y John hacen girar una rueda que sube los enteros del 0 al 9 con igual probabilidad. Los resultados de varios ensayos son independientes. Cada uno hace girar la rueda 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que Erica aparezca siete veces más que John?

    Responder

    \(P\)= ibinom (10, 0.1, 0:9) * cbinom (10, 0.1, 1:10) '= 0.3437

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    Erica y John juegan un juego diferente con la rueda, arriba. Erica obtiene un punto cada vez que obtiene un número entero 0, 2, 4, 6 u 8. John anota un punto cada vez que aparece un 1, 2, 5 o 7. Si Erica gira ocho veces; John gira 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que John haga más puntos que Erica?

    Responder

    \(P\)= ibinom (8, 0.5, 0:8) * cbinom (10, 0.4, 1:9) '= 0.4030

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    Una caja contiene 100 bolas; 30 son rojas, 40 son azules y 30 son verdes. Martha y Alex seleccionan al azar, con reemplazo y mezcla después de cada selección. Alex tiene éxito si selecciona una bola roja; Martha tiene éxito si selecciona una bola azul. Alex selecciona siete veces y Martha selecciona cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de que Martha tenga más éxitos que Alex?

    Responder

    \(P\)= ibinom (7, 0.3, 0:4) * cbinom (5, 0.4, 1:5) '= 0.3613

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    Dos jugadores tiran un dado justo 30 veces cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que cada rueda el mismo número de seis?

    Responder

    \(P\)= suma (ibinom (30, 1/6, 0:30) .^2) = 0.1386

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    Un almacén tiene un stock de\(n\) artículos de cierto tipo,\(r\) de los cuales son defectuosos. Dos de los ítems se eligen al azar, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso? Demostrar que para grandes\(n\) el número es muy cercano al de selección con reemplazo, lo que corresponde a dos ensayos de Bernoulli con pobabilidad\(p = r/n\) de éxito en cualquier ensayo.

    Responder

    \(P1 = \dfrac{r}{n} \cdot \dfrac{r - 1}{n - 1} + \dfrac{r}{n} \cdot \dfrac{n - r}{n - 1} + \dfrac{n - r}{n} \cdot \dfrac{r}{n - 1} = \dfrac{(2n - 1)r - r^2}{n(n - 1)}\)

    \(P2 = 1 - (\dfrac{r}{n})^2 = \dfrac{2nr - r^2}{n^2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    Una moneda es volteada repetidamente, hasta que aparece una cabeza. Demuestre que con probabilidad uno el juego terminará.

    Consejo:

    La probabilidad de no terminar en\(n\) los ensayos es\(q^n\).

    Responder

    Que\(N =\) el evento nunca termine y\(N_k =\) el evento no termine en las\(k\) jugadas. Entonces\(N \subset N_k\) para todos\(k\) implica\(0 \le P(N) \le P(N_k) = 1/2^k\) para todos\(k\), concluimos\(P(N) = 0\).

    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    Dos personas juegan un juego consecutivamente hasta que una de ellas tiene éxito o hay diez jugadas sin éxito. \(E_i\)Sea el evento de un éxito en la jugada\(i\) th del juego. Supongamos que {\(E_i: 1 \le i\)} es una clase independiente con\(P(E_i) = p_1\) para i impar y\(P(E_i) = p_2\) para\(i\) par. Que\(A\) sea el evento que gane el primer jugador,\(B\) sea el evento que gane el segundo jugador, y\(C\) sea el evento que ninguno gane.

    1. Expreso\(A\)\(B\),, y\(C\) en términos de la\(E_i\).
    2. Determinar\(P(A)\)\(P(B)\),, y\(P(C)\) en términos de\(p_1\),\(p_2\),\(q_1 = 1 - p_1\), y\(q_2 = 1 - p_2\). Obtener valores numéricos para el caso\(p_1 = 1/4\) y\(p_2 = 1/3\).
    3. Use datos apropiados sobre la serie geométrica para mostrar ese\(P(A) = P(B)\) iff\(p_1 = p_2 / (1 + p_2)\).
    4. Supongamos\(p_2 = 0.5\). Utilice el resultado de la parte (c) para encontrar el valor de\(p_1\) hacer\(P(A) = P(B)\) y luego determinar\(P(A)\),\(P(B)\), y\(P(C)\).
    Responder

    a\(C = \bigcap_{i = 1}^{10} E_i^c\).

    \(A = E_1 \bigvee E_1^c E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9\)

    \(B = E_1^c E_2 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8 \bigvee E_1^c E_2^c E_3^c E_4^c E_5^c E_6^c E_7^c E_8^c E_9^c E_{10}\)

    \(P(A) = p_1 [1 + q_1q_2 + (q_1q_2)^2 + (q_1 q_2)^3 + (q_1 q_2)^4] = p1 \dfrac{1 - (q_1 q_2)^5}{1 - q_1 q_2}\)

    \(P(B) = q_1 p_2 \dfrac{1 - (q_1 q_2)^5}{1 - q_1 q_2} P(C) = (q_1q_2)^5\)

    Para\(p_1 = 1/4\),\(p_2 = 1/3\), tenemos\(q_1 q_2 = 1/2\) y\(q_1 p_2 = 1/4\). En este caso

    \(P(A) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{31}{16} = 31/64 = 0.4844 = P(B), P(C) = 1/32\)

    Tenga en cuenta que\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\).

    c.\(P(A) = P(B)\) iff\(p_1 = q_1p_2 = (1 - p_1)p_2\) iff\(p_1 = p_2/(1 + p_2)\).

    d.\(p_1 = 0.5/1.5 = 1/3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    Tres personas juegan un juego consecutivamente hasta que una logra su objetivo. \(E_i\)Sea el evento de un éxito en el\(i\) th juicio, y supongamos que\(\{E_i: 1 \le i\}\) es una clase independiente, con\(P(E_i) = p_1\)\(i = 1, 4, 7, \cdot \cdot \cdot, P(E_i) = p_2\) para\(i = 2, 5, 8, \cdot\cdot\cdot\), y\(P(E_i) = p_3\) para\(i = 3, 6, 9, \cdot\cdot\cdot\). Que\(A, B, C\) sean los eventos respectivos que gane el primer, segundo y tercer jugador.

    a. Expreso\(A, B\), y\(C\) en términos de la\(E_i\).

    b. Determinar las probabilidades en términos de\(p_1, p_2, p_3\), luego obtener valores numéricos en el caso\(p_1 = 1/4\)\(p_2 = 1/3\), y\(p_3 = 1/2\).

    Responder

    a.\(A = E_1 \bigvee \bigvee_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{i = 1}^{3k} E_i^c E_{3k + 1}\)

    \(B = E_1^c E_2 \bigvee \bigvee_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{i = 1}^{3k + 1} E_i^c E_{3k + 2}\)

    \(C = E_1^c E_2^c E_3\bigvee \bigvee_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{i = 1}^{3k + 2} E_i^c E_{3k + 3}\)

    b.\(P(A) = p_1 \sum_{k = 0}^{\infty} (q_1 q_2 q_3)^k = \dfrac{p_1}{1 - q_1q_2q_3}\)

    \(P(B) = \dfrac{q_1 p_2}{1 - q_1 q_2 q_3}\)

    \(P(C) = \dfrac{q_1q_2p_3}{1 - q_1 q_2 q_3}\)

    Para\(p_1 = 1/4\),\(p_2 = 1/3\). \(p_3 = 1/2\),\(P(A) = P(B) = P(C) = 1/3\).

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    ¿Cuál es la probabilidad de un éxito en el\(i\) th ensayo en una secuencia Bernoulli de ensayos\(n\) componentes, dado que hay\(r\) éxitos?

    Responder

    \(P(A_{rn} E_i = pC(n - 1, r - 1) p^{r - 1} q^{n - r}\)y\(P(A_{rn}) = C(n, r) p^r q^{n - r}\).

    De ahí\(P(E_i| A_A rn) = C(n - 1, r - 1) / C(n, r) = r/n\).

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    Un dispositivo tiene componentes\(N\) similares que pueden fallar independientemente, con probabilidad\(p\) de falla de cualquier componente. El dispositivo falla si uno o más de los componentes fallan. En caso de fallo del dispositivo, los componentes se prueban secuencialmente.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera unidad defectuosa probada sea la\(n\) th, dado que uno o más componentes hayan fallado?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad defectuosa sea la\(n\) th, dado que exactamente una ha fallado?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya fallado más de una unidad, dado que la primera unidad defectuosa es la\(n\) th?
    Responder

    Let\(A_1\) = evento uno falla,\(B_1\) = evento de uno o más fallos,\(B_2\) = evento de dos o más fallas, y\(F_n\) = el evento que la primera unidad defectuosa encontrada es la\(n\) th.

    a.\(F_n \subset B_1\) implica\(P(F_n|B_1) = P(F_n)/P(B_1) = \dfrac{q^{n - 1}p}{1 - q^N}\)

    \(P(F_n|A_1) = \dfrac{P(F_n A_1}{P(A_1)} = \dfrac{q^{n - 1} p q^{N - n}}{Npq^{N -1}} = \dfrac{1}{N}\)

    (ver Ejercicio)

    b. ya que la probabilidad no todos de\(n\) th son buenos es\(1 - q^{N - n}\).

    \(P(B_2|F_n) = \dfrac{P(B_2F_n}{P(F_n)} = \dfrac{q^{n - 1} p (1 - Q^{N- 1}}{q^{n - 1}p} = 1 - q^{N-n}\)

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