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Variables aleatorias normales

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    CO-6: Aplicar conceptos básicos de probabilidad, variación aleatoria y distribuciones de probabilidad estadística de uso común.

    Objetivos de aprendizaje

    LO 6.2: Aplicar la regla de desviación estándar al caso especial de distribuciones que tengan la forma “normal”.

    Video

    Vídeo: Variables aleatorias Normales (2:08)

    En la unidad de Análisis Exploratorio de Datos de este curso, encontramos conjuntos de datos, como la duración de los embarazos humanos, cuyas distribuciones siguieron naturalmente una forma de campana unimodal simétrica, abultándose en el medio y disminuyendo en los extremos.

    mod8-image110a

    Muchas variables, como longitudes de embarazo, tallas de zapatos, longitudes de pies y otras características físicas humanas, exhiben estas propiedades: la simetría indica que la variable es tan probable que tome un valor una cierta distancia por debajo de su media como tomar un valor esa misma distancia por encima de su media; la campana- shape indica que los valores más cercanos a la media son más probables, y cada vez es más improbable tomar valores lejos de la media en cualquier dirección.

    La forma particular que exhiben estas variables ha sido estudiada desde principios del siglo XIX, cuando se las llamó por primera vez “normales” como una forma de sugerir su representación de un patrón común y natural.

    Observaciones de distribuciones normales

    Hay muchas distribuciones normales. A pesar de que todos ellos tienen la forma de campana, varían en su centro y se extienden.

    mod8-imagen_normal1a

    Más específicamente, la forma de la distribución está determinada por su media (mu, μ) y la dispersión está determinada por su desviación estándar (sigma, σ).

    Algunas observaciones que podemos hacer al mirar esta gráfica son:

    • Las curvas normales negras y rojas tienen medias o centros en μ = mu = 10. Sin embargo, la curva roja está más extendida y por lo tanto tiene una mayor desviación estándar. Al observar estas dos curvas normales, observe que a medida que el gráfico rojo se aplasta hacia abajo, el spread se hace más grande, permitiendo así que el área bajo la curva permanezca igual.
    • Las curvas normales negras y verdes tienen la misma desviación estándar o dispersión (el rango de la curva negra es 6.5-13.5, y el rango de la curva verde es 10.5-17.5).

    Aún más importante que el hecho de que muchas variables en sí mismas siguen la curva normal es el papel que juega la curva normal en la teoría del muestreo, como veremos en la siguiente sección de nuestra unidad sobre la probabilidad.

    Comprender la distribución normal es un paso importante en la dirección de nuestro objetivo general, que es relacionar las medias o proporciones de la muestra con las medias o proporciones de la población. El objetivo de esta sección es comprender mejor las variables aleatorias normales y sus distribuciones.

    La regla de desviación estándar para variables aleatorias normales

    Comenzamos a tener una idea de las distribuciones normales en la sección Análisis Exploratorio de Datos (EDA), cuando introdujimos la Regla de Desviación Estándar (o la regla 68-95-99.7) sobre cómo se comportan los valores en un conjunto de datos de muestra con forma normal en relación con su media muestral (barra x) y patrón de muestra desviación (es).

    Esta es la misma regla que dicta cómo se comporta la distribución de una variable aleatoria normal relativa a su media (mu, μ) y desviación estándar (sigma, σ). Ahora usamos lenguaje de probabilidad y notación para describir el comportamiento de la variable aleatoria.

    Por ejemplo, en la sección EDA, habríamos dicho “68% de los embarazos en nuestro conjunto de datos caen dentro de 1 desviación estándar de su media (barra x)”. La afirmación análoga ahora sería “Si X, la duración de un embarazo elegido aleatoriamente, es normal con media (mu, μ) y desviación estándar (sigma, σ), entonces

    \(0.68 = P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma)\)

    En general, si X es una variable aleatoria normal, entonces la probabilidad es

    • 68% que X cae dentro de 1 desviación estándar (sigma, σ) de la media (mu, μ)
    • 95% que X cae dentro de 2 desviaciones estándar (sigma, σ) de la media (mu, μ)
    • 99.7% que X cae dentro de 3 desviación estándar (sigma, σ) de la media (mu, μ).

    Usando notación de probabilidad, podemos escribir

    \ begin {alineado}
    &0.68=P (\ mu-\ sigma<x<\ mu+\ sigma)\\
    &0.95=P (\ mu-2\ sigma<x<\ mu+2\ sigma)\\
    &0.997=P (\ mu-3\ sigma<x<\ mu+3\ sigma)
    \ end {alineado}

    mod8-image121

    Comentario

    • Observe que la información de la regla puede ser interpretada desde la perspectiva de las colas de la curva normal:
      • Dado que 0.68 es la probabilidad de estar dentro de 1 desviación estándar de la media, (1 — 0.68)/2 = 0.16 es la probabilidad de estar más allá de 1 desviación estándar por debajo de la media (o más allá de 1 desviación estándar por encima de la media.)
      • Asimismo, (1 — 0.95)/2 = 0.025 es la probabilidad de estar más de 2 desviaciones estándar por debajo (o por encima) de la media.
      • Y (1 — 0.997)/2 = 0.0015 es la probabilidad de estar más de 3 desviaciones estándar por debajo (o por encima) de la media.
    • Las tres figuras que aparecen a continuación ilustran esto.

    mod8-image122

    mod8-image123

    mod8-image124

    Ejemplo: Longitud del pie

    Supongamos que la longitud del pie de un macho adulto elegido aleatoriamente es una variable aleatoria normal con media μ = mu = 11 y desviación estándar σ = sigma =1.5. Entonces la Regla de Desviación Estándar nos permite esbozar la distribución de probabilidad de X de la siguiente manera:

    mod8-image127

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que un varón adulto elegido al azar tenga una longitud de pie entre 8 y 14 pulgadas?

    0.95, o 95%.

    b) A un varón adulto casi se le garantiza (probabilidad .997) tener una longitud de pie entre qué dos valores?

    6.5 y 15.5 pulgadas.

    (c) La probabilidad es de sólo 2.5% de que un varón adulto tenga una longitud del pie mayor a cuántas pulgadas?

    14. (Ver imagen abajo)

    mod8-image128

    Ahora deberías probar algunos. (Usa la figura que está justo antes de la parte (a) para ayudarte.)

    Aprender haciendo: Uso de la regla de desviación estándar

    Comentario

    • Observe que hay dos tipos de problemas que quizás queramos resolver: aquellos como (a), (d) y (e), en los que se da un intervalo particular de valores de una variable aleatoria normal, y se nos pide encontrar una probabilidad, y aquellos como (b), (c) y (f), en la que se da una probabilidad y se nos pide identificar cuáles serían los valores de la variable aleatoria normal.

    ¿Recibí esto? : Uso de la regla de desviación estándar

    Aprender haciendo: Variables aleatorias normales

    Volvamos a nuestro ejemplo de longitud del pie:

    Ejemplo: Longitud del pie

    ¿Qué tan probable o poco probable es que la longitud del pie de un hombre sea más de 13 pulgadas?

    mod8-image129

    Dado que 13 pulgadas no resulta estar exactamente a 1, 2 o 3 desviaciones estándar de la media, solo podríamos dar una estimación muy aproximada de la probabilidad en este punto.

    Claramente, la Regla de Desviación Estándar solo describe la punta del iceberg, y aunque sirve bien como una introducción a la curva normal, y nos da una buena idea de lo que se considerarían valores probables e improbables, es muy limitada en las preguntas de probabilidad que puede ayudarnos a responder.

    Aquí hay otra distribución normal familiar:

    EJEMPLO: Resultados SAT

    mod8-imagen_normal_sat1

    Supongamos que estamos interesados en conocer la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente obtenga 633 o más en la porción de matemáticas de su SAT (esto está representado por el área roja). Nuevamente, 633 no cae exactamente 1, 2, o 3 desviaciones estándar por encima de la media.

    Observe, sin embargo, que una puntuación SAT de 633 y una longitud de pie de 13 son ambas aproximadamente 1/3 del camino entre 1 y 2 desviaciones estándar. A medida que sigas leyendo, te darás cuenta de que este posicionamiento relativo a la media es la clave para encontrar probabilidades.

    Distribución Normal Estándar

    CO-6: Aplicar conceptos básicos de probabilidad, variación aleatoria y distribuciones de probabilidad estadística de uso común.

    Video

    Video: Distribución Normal Estándar (4:12)

    Encontrar probabilidades para una variable aleatoria normal

    Objetivos de aprendizaje

    LO 6.17: Encuentra probabilidades asociadas a una distribución normal especificada.

    Como vimos, la Regla de Desviación Estándar es muy limitada para ayudarnos a responder preguntas de probabilidad, y básicamente se limita a preguntas que involucran valores que caen exactamente a 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media. ¿Cómo respondemos a las preguntas de probabilidad en general? La clave es la posición del valor con respecto a la media, medida en desviaciones estándar.

    Podemos acercarnos a la respuesta de preguntas probabilísticas de dos maneras posibles: una mesa y tecnología. En las siguientes secciones, aprenderás a usar la “tabla normal estándar”, y luego cómo se pueden hacer los mismos cálculos con la tecnología.

    Estandarización de valores

    El primer paso para evaluar una probabilidad asociada a un valor normal es determinar el valor relativo con respecto a todos los demás valores tomados por esa variable normal. Esto se logra determinando cuántas desviaciones estándar por debajo o por encima de la media es ese valor.

    Ejemplo: Longitud del pie

    ¿Cuántas desviaciones estándar por debajo o por encima de la longitud media del pie masculino es de 13 pulgadas? Dado que la media es de 11 pulgadas, 13 pulgadas es 2 pulgadas por encima de la media.

    mod8-image131

    Dado que una desviación estándar es de 1.5 pulgadas, esta sería 2/1.5 = 1.33 desviaciones estándar por encima de la media. Combinando estos dos pasos, podríamos escribir:

    (13 pulg. — 11 in.)/(1.5 pulgadas por desviación estándar) = (13 — 11)/1.5 desviaciones estándar = +1.33 desviaciones estándar.

    mod8-image132

    En el lenguaje de la estadística, acabamos de encontrar que la puntuación z para una longitud de pie masculino de 13 pulgadas es z = +1.33. O, para decirlo de otra manera, hemos estandarizado el valor de 13.

    En general, el valor estandarizado z indica cuántas desviaciones estándar por debajo o por encima de la media es el valor original, y se calcula de la siguiente manera:

    z-score = (valor — media) /desviación estándar

    La convención es denotar un valor de nuestra variable aleatoria normal X con la letra “x”.

    \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\)

    Observe que dado que la desviación estándar (sigma, σ) siempre es positiva, para valores de x por encima de la media (mu, μ), z será positiva; para valores de x por debajo de la media (mu, μ), z será negativo.

    Volvamos a nuestro ejemplo de longitud de pie, y respondamos algunas preguntas más.

    Ejemplo: Longitud del pie

    (a) ¿Cuál es el valor estandarizado para una longitud de pie masculino de 8.5 pulgadas? ¿Cómo se relaciona esta longitud del pie con la media?

    z = (8.5 — 11)/1.5 = -1.67. Esta longitud del pie es de 1.67 desviaciones estándar por debajo de la media.

    b) La longitud estandarizada del pie de un hombre es de +2.5. ¿Cuál es la longitud real de su pie en pulgadas?

    Si z = +2.5, entonces la longitud de su pie es de 2.5 desviaciones estándar por encima de la media. Dado que la media es 11, y cada desviación estándar es 1.5, obtenemos que la longitud del pie del hombre es: 11 + 2.5 (1.5) = 14.75 pulgadas.


    Tenga en cuenta que las puntuaciones z también nos permiten comparar valores de diferentes variables aleatorias normales. Aquí hay un ejemplo:

    c) En general, la longitud del pie de las mujeres es más corta que la de los hombres, supongamos que la longitud del pie de las mujeres sigue una distribución normal con una media de 9.5 pulgadas y una desviación estándar de 1.2. La longitud del pie de Ross es de 13.25 pulgadas y la longitud del pie de Candace es de solo 11.6 pulgadas. ¿Cuál de los dos tiene un pie más largo en relación con su grupo de género?

    Para responder a esta pregunta, encontremos la puntuación z de cada uno de estos dos valores normales, teniendo en cuenta que cada uno de los valores proviene de una distribución normal diferente.

    Ross: puntaje z = (13.25 — 11)/1.5 = 1.5 (la longitud del pie de Ross es 1.5 desviaciones estándar por encima de la longitud media del pie para los hombres).

    Candace: puntaje z = (11.6 — 9.5)/1.2 = 1.75 (la longitud del pie de Candace es 1.75 desviaciones estándar por encima de la longitud media del pie para las mujeres).

    Tenga en cuenta que a pesar de que el pie de Ross es más largo que el de Candace, el pie de Candace es más largo en relación con sus respectivos géneros.

    Comentario:

    • La parte (c) anterior ilustra cómo las puntuaciones z se vuelven cruciales cuando se desea comparar distribuciones.

    ¿Recibí esto? : Puntuaciones estandarizadas (puntuaciones z)

    Encontrar Probabilidades con la Calculadora y Tabla Normal

    Ahora que has aprendido a evaluar el valor relativo de cualquier valor normal mediante la estandarización, el siguiente paso es evaluar las probabilidades. En otros contextos, como se mencionó anteriormente, primero tomaremos el enfoque convencional de referirse a una tabla normal, que indica la probabilidad de que una variable normal tome un valor menor que cualquier puntaje estandarizado z.

    Mesa Normal Estándar

    Dado que las curvas normales son simétricas respecto a su media, se deduce que la curva de puntuaciones z debe ser simétrica alrededor de 0. Dado que el área total bajo cualquier curva normal es 1, se deduce que las áreas a cada lado de z = 0 son ambas 0.5. Además, de acuerdo con la Regla de Desviación Estándar, la mayor parte del área bajo la curva estandarizada cae entre z = -3 y z = +3.

    mod8-image133

    La tabla normal describe el comportamiento preciso de la variable aleatoria normal estándar Z, el número de desviaciones estándar un valor normal x está por debajo o por encima de su media. La tabla normal proporciona probabilidades de que una variable aleatoria normal estandarizada Z tome un valor menor o igual que un valor particular z*.

    Estos valores particulares se listan en la forma *.* en filas a lo largo de los márgenes izquierdos de la tabla, especificando las unas y décimas. Las columnas afinan estos valores a centésimas, lo que nos permite buscar la probabilidad de estar por debajo de cualquier valor estandarizado z de la forma *.**.

    Por ejemplo, en la parte de la tabla que se muestra a continuación, podemos ver que para una puntuación z de -2.81, encontraríamos P (Z < -2.81) = 0.0025.

    mod8-norma-tabla

    Por construcción, la probabilidad P (Z < z*) es igual al área bajo la curva z a la izquierda de ese valor particular z*.

    mod8-image135

    Un boceto rápido suele ser la clave para resolver problemas normales de manera fácil y correcta.

    Aunque las tablas normales son la forma tradicional de resolver estos problemas, también puedes usar la calculadora normal.

    Calculadora de Distribución Normal: Versión no Java

    La siguiente imagen ilustra los resultados del uso de la calculadora en línea para encontrar P (Z < -2.81) y P (Z < 1.15). Observe que la calculadora se comporta exactamente como la tabla.

    mod8-normal-calc

    Es su elección usar la tabla o la calculadora en línea pero generalmente ilustraremos con la calculadora en línea.

    EJEMPLO: Probabilidades normales estándar

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria normal tome un valor menor a 2.8 desviaciones estándar por encima de su media?

    P (Z < 2.8) = 0.9974 o 99.74%.

    mod8-image137

    b) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria normal tome un valor inferior a 1.47 desviaciones estándar por debajo de su media?

    P (Z < -1.47) = 0.0708, o 7.08%.

    mod8-image140

    c) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria normal tome un valor superior a 0.75 desviaciones estándar por encima de su media?

    ¡No se debe pasar por alto el hecho de que el problema involucra la palabra “más” en lugar de “menos”! Nuestra calculadora normal proporciona probabilidades de cola izquierda, y se deben hacer ajustes para cualquier otro tipo de problema.

    Método 1:

    Por simetría de la curva z centrada en 0,

    P (Z > +0.75) = P (Z < -0.75) = 0.2266.

    mod8-image141

    Método 2:

    Debido a que el área total bajo la curva normal es 1,

    P (Z > +0.75) = 1 — P (Z < +0.75) = 1 — 0.7734 = 0.2266.

    mod8-image142

    [Nota: la mayoría de los estudiantes prefieren usar el Método 1, que no requiere restar probabilidades de 4 dígitos del 1.]

    d) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria normal tome un valor entre 1 desviación estándar por debajo y 1 desviación estándar por encima de su media?

    Para encontrar probabilidades entre dos desviaciones estándar, debemos ponerlas en términos de las probabilidades a continuación. Un boceto es especialmente útil aquí:

    P (-1 < Z < +1) = P (Z < +1) — P (Z < -1) = 0.8413 — 0.1587 = 0.6826.

    mod8-image143

    Aquí están los resultados normales de la calculadora que serían necesarios.

    mod8-normal-calc-entre

    ¿Recibí esto? : Probabilidades normales estándar

    Comentarios:

    • Hasta el momento, hemos utilizado la calculadora o tabla normal para encontrar una probabilidad, dado el número (z) de desviaciones estándar por debajo o por encima de la media. El proceso de solución al usar la tabla implicó primero ubicar el valor z dado del formulario *.** en los márgenes, luego encontrar la probabilidad correspondiente del formulario 0.**** dentro de la tabla como nuestra respuesta.
    • Ahora, en el Ejemplo 2, se dará una probabilidad y se nos pedirá que encontremos un valor z. El proceso de solución usando la tabla implica ubicar primero la probabilidad dada del formulario 0.**** dentro de la tabla, luego encontrar el valor z correspondiente del formulario *.** como nuestra respuesta. Para la calculadora en línea, la solución es como simplemente escribir la probabilidad correcta y hacer que la calculadora resuelva, a la inversa, para la puntuación z.

    Encontrar puntajes normales estándar

    Objetivos de aprendizaje

    LO 6.18: Dada una probabilidad, encontrar puntuaciones asociadas a una distribución normal especificada.

    A menudo es bueno pensar en este proceso como el reverso de encontrar probabilidades. En estos problemas, se nos dará alguna información sobre el área en un rango y se nos pedirá que proporcionemos la (s) puntuación (s) z asociada (s) con ese rango. Los tipos comunes de preguntas son

    • Encuentra la puntuación z normal estándar correspondiente al 8% superior (o inferior).
    • Encuentra el puntaje z normal estándar asociado con el percentil 25.
    • Encuentra las puntuaciones z normales estándar que contienen el 40% medio.
    EJEMPLO: Probabilidades dadas - Encuentra Puntuaciones Z

    (a) ¿Qué puntaje z normal estándar se asocia con el 1% inferior (o más bajo)? La probabilidad es 0.01 de que una variable normal estandarizada tome un valor por debajo de qué valor particular de z?

    Lo más cercano que podemos llegar a una probabilidad de 0.01 dentro de la tabla es 0.0099, en la fila z = -2.3 y columna 0.03: z = -2.33. Es decir, la probabilidad es 0.01 de que el valor de una variable normal sea inferior a 2.33 desviaciones estándar por debajo de su media.

    Mod8-mesa inversa

    Usando la calculadora en línea, simplemente usamos la calculadora a la inversa escribiendo 0.01 en el cuadro “área” (delineado en azul) y luego hacemos clic en “computar” para ver la puntuación z asociada. Recuerda que, al igual que la tabla, siempre necesitamos dotar a esta calculadora del área a la izquierda del puntaje z que estamos tratando de encontrar actualmente.

    mod8-image145

    (b) ¿Qué puntaje z normal estándar corresponde al 15% superior (o superior)? La probabilidad es 0.15 de que una variable normal estandarizada tome un valor por encima de qué valor particular de z?

    Recuerda que la calculadora y la tabla solo proporcionan probabilidades de estar por debajo de cierto valor, no arriba. Una vez más, debemos confiar en una de las propiedades de la curva normal para hacer un ajuste.

    Método 1: Según la tabla, 0.15 (en realidad 0.1492) es la probabilidad de estar por debajo de -1.04. Por simetría, 0.15 también debe ser la probabilidad de estar por encima de +1.04. Usando la calculadora, podemos ingresar 0.15 exactamente y encontrar que la puntuación z correspondiente es en realidad -1.036 dando una respuesta final de z = +1.036 o +1.04 si redondeamos a dos decimales que es nuestra preferencia (esto no da como resultado diferencias para los estudiantes que usan la tabla o la calculadora en línea).

    mod8-image147

    Método 2: Si 0.15 es la probabilidad de estar por encima del valor que buscamos, entonces 1 — 0.15 = 0.85 debe ser la probabilidad de estar por debajo del valor que buscamos. Según la tabla, 0.85 (en realidad 0.8508) es la probabilidad de estar por debajo de +1.04.

    mod8-image149

    En otras palabras, hemos encontrado que 0.15 es la probabilidad de que una variable normal tome un valor superior a 1.04 desviaciones estándar por encima de su media.

    (c) ¿Qué puntuaciones z normales estándar contienen el 95% medio? La probabilidad es 0.95 de que una variable normal tome un valor dentro de cuántas desviaciones estándar de su media?

    Un área simétrica de 0.95 centrada en 0 se extiende a los valores -z* y +z* de tal manera que el restante (1 — 0.95)/2 = 0.025 está por debajo de -z* y también 0.025 por encima de +z*. La probabilidad es 0.025 de que una variable normal estandarizada esté por debajo de -1.96. Así, la probabilidad es de 0.95 de que una variable normal tome un valor dentro de 1.96 desviaciones estándar de su media. Una vez más, se muestra que la Regla de Desviación Estándar es justamente precisa, ya que establece que la probabilidad es de 0.95 de que una variable normal tome un valor dentro de 2 desviaciones estándar de su media.

    mod8-image149b

    mod8-image150

    ¿Recibí esto? : Encontrar puntajes normales estándar

    Aunque la calculadora en línea puede proporcionar resultados para cualquier probabilidad o puntaje z, nuestra tabla normal estándar, como la mayoría, solo proporciona probabilidades para valores z entre -3.49 y +3.49. El siguiente ejemplo demuestra cómo manejar casos donde z excede 3.49 en valor absoluto.

    EJEMPLO: Probabilidades Extremas

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable normal sea inferior a 5.2 desviaciones estándar por debajo de su media?

    No hay necesidad de entrar en pánico por ir “fuera del borde” de la mesa normal. Ya sabemos por la Regla de Desviación Estándar que la probabilidad es sólo de aproximadamente (1 -0 .997)/2 = 0.0015 que un valor normal estaría a más de 3 desviaciones estándar de distancia de su media en una dirección u otra. La tabla proporciona información para valores z tan extremos como más o menos 3.49: la probabilidad es solo 0.0002 de que una variable normal sea inferior a 3.49 desviaciones estándar por debajo de su media. Cualquier desviación estándar más que esa, y generalmente decimos que la probabilidad es aproximadamente cero.

    En este caso, diríamos que la probabilidad de estar por debajo de 5.2 desviaciones estándar por debajo de la media es aproximadamente cero:

    P (Z < -5.2) = 0 (aprox.)

    b) ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de una variable normal sea superior a 6 desviaciones estándar por debajo de su media?

    Dado que la probabilidad de estar por debajo de 6 desviaciones estándar por debajo de la media es aproximadamente cero, la probabilidad de ser superior a 6 desviaciones estándar por debajo de la media debe ser aproximadamente 1.

    P (Z > -6) = 1 (aprox.)

    c) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable normal sea menor de 8 desviaciones estándar por encima de la media?

    Aproximadamente 1. P (Z < +8) = 1 (aprox.)

    d) ¿Cuál es la probabilidad de que una variable normal sea mayor a 3.5 desviaciones estándar por encima de la media?

    Aproximadamente 0. P (Z > +3.5) = 0 (aprox.)

    Aplicaciones normales

    CO-6: Aplicar conceptos básicos de probabilidad, variación aleatoria y distribuciones de probabilidad estadística de uso común.

    Video

    Video: Aplicaciones normales (9:41)

    Trabajo con valores normales no estándar

    Objetivos de aprendizaje

    LO 6.17: Encuentra probabilidades asociadas a una distribución normal especificada.

    En un ejemplo mucho anterior, nos preguntábamos,

    “¿Qué tan probable o poco probable es una longitud de pie masculino de más de 13 pulgadas?” No pudimos resolver el problema, porque 13 pulgadas no resultó ser uno de los valores que aparecen en la Regla de Desviación Estándar.

    Posteriormente, aprendimos a estandarizar un valor normal (decir cuántas desviaciones estándar por debajo o por encima de la media es) y cómo usar la calculadora o tabla normal para encontrar la probabilidad de caer en un intervalo un cierto número de desviaciones estándar por debajo o por encima de la media.

    Al combinar estas dos habilidades, ahora podremos responder preguntas como la anterior.

    Para convertir entre una normal no estándar (X) y la normal estándar (Z) use las siguientes ecuaciones, según sea necesario:

    \(Z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \quad \quad X = \mu +zQ\)

    EJEMPLO: Longitud del pie masculino

    Las longitudes del pie macho tienen una distribución normal, con media (mu, μ) = 11 pulgadas, y desviación estándar (sigma, σ) = 1.5 pulgadas.

    a) ¿Cuál es la probabilidad de una longitud de pie superior a 13 pulgadas?

    mod8-image151

    Primero, estandarizamos:

    \(z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} = \dfrac{13-11}{1.5} = +1.33\)

    La probabilidad que buscamos, P (X > 13), es la misma que la probabilidad de que una variable normal tome un valor mayor a 1.33 desviaciones estándar por encima de su media, es decir, P (Z > +1.33)

    mod8-image153

    Esto se puede resolver con la calculadora o tabla normal, después de aplicar la propiedad de simetría:

    P (Z > +1.33) = P (Z < -1.33) = 0.0918.

    Una longitud de pie masculino de más de 13 pulgadas está en el lado largo, pero no demasiado inusual: su probabilidad es de aproximadamente 9%.

    Podemos agilizar la solución en términos de notación de probabilidad y escribir:

    P (X > 13) = P (Z > 1.33) = P (Z < −1.33) = 0.0918

    b) ¿Cuál es la probabilidad de una longitud de pie masculino entre 10 y 12 pulgadas?

    mod8-image155

    Los valores estandarizados de 10 y 12 son, respectivamente,

    \(\dfrac{10-11}{1.5} = -0.67\)y\(\dfrac{12-11}{1.5} = 0.67\)

    Nota: Las dos puntuaciones z en un problema “entre” no siempre serán el mismo valor. Debes calcular ambos o, en este caso, podrías reconocer que ambos valores están a la misma distancia de la media y de ahí dar como resultado puntuaciones z que son iguales pero de signos opuestos.

    mod8-image158

    P (-0.67 < Z < +0.67) = P (Z < +0.67) — P (Z < -0.67) = 0.7486 — 0.2514 = 0.4972.

    O, si prefieres la notación aerodinámica,

    P (10 < X < 12) = P (−0.67 < Z < +0.67) = P (Z < +0.67) − P (Z < −0.67) = 0.7486 − 0.2514 = 0.4972.

    Comentarios:

    Al resolver el ejemplo anterior, ¡descubrimos inadvertidamente los cuartiles de una distribución normal! P (Z < -0.67) = 0.2514 nos dice que aproximadamente el 25%, o una cuarta parte, de los valores de una variable normal son menores de 0.67 desviaciones estándar por debajo de la media.

    P (Z < +0.67) = 0.7486 nos dice que aproximadamente 75%, o tres cuartas partes, son menos de 0.67 desviaciones estándar por encima de la media.

    Y por supuesto la mediana es igual a la media, ya que la distribución es simétrica, la mediana es 0 desviaciones estándar alejadas de la media.

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    ¡Asegúrate de verificar estos resultados por ti mismo usando la calculadora o la tabla!

    Veamos otro ejemplo.

    EJEMPLO: Duración de un Embarazo Humano

    La duración (en días) de un embarazo humano elegido aleatoriamente es una variable aleatoria normal con media (mu, μ) = 266 y desviación estándar (sigma, σ) = 16.

    (a) Encontrar Q1, la mediana y Q3. Usando las puntuaciones z que encontramos en el ejemplo anterior tenemos

    Q1 = 266 — 0.67 (16) = 255

    mediana = media = 266

    Q3 = 266 + 0.67 (16) = 277

    Así, la probabilidad es 1/4 de que un embarazo dure menos de 255 días; 1/2 que dure menos de 266 días; 3/4 que dure menos de 277 días.

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    b) ¿Cuál es la probabilidad de que un embarazo escogido al azar dure menos de 246 días?

    Desde (246 — 266)/16 = -1.25, escribimos

    P (X < 246) = P (Z < −1.25) = 0.1056

    c) ¿Cuál es la probabilidad de que un embarazo escogido al azar dure más de 240 días?

    Desde (240 — 266)/16 = -1.63, escribimos

    P (X > 240) = P (Z > −1.63) = P (Z < +1.63) = 0.9484

    Dado que la media es 266 y la desviación estándar es de 16, la mayoría de los embarazos duran más de 240 días.

    d) ¿Cuál es la probabilidad de que un embarazo escogido al azar dure más de 500 días?

    Método 1:

    El sentido común nos dice que esto sería imposible.

    Método 2:

    El valor estandarizado de 500 es (500 — 266)/16 = +14.625.

    P (X > 500) = P (Z > 14.625) = 0.

    e) Supongamos que el marido de una mujer embarazada ha programado sus viajes de negocios para que esté en la ciudad entre los días 235 y 295. ¿Cuál es la probabilidad de que el nacimiento tenga lugar durante ese tiempo?

    Los valores estandarizados son (235 — 266)/16) = -1.94 y (295 — 266)/16 = +1.81.

    P (235 < X < 295) = P (−1.94 < Z < +1.81) = P (Z < +1.81) − P (Z < −1.94) = 0.9649 − 0.0262 = 0.9387.

    Hay cerca de un 94% de posibilidades de que el esposo esté en la ciudad para el nacimiento.

    ¡Asegúrate de verificar estos resultados por ti mismo usando la calculadora o la tabla!

    El propósito de la siguiente actividad es darte práctica guiada para resolver problemas de palabras que involucran variables aleatorias normales. En particular, resolveremos problemas como los ejemplos que acabas de revisar, en los que se te pide que encuentres la probabilidad de que una variable aleatoria normal caiga dentro de un cierto intervalo.

    Aprende haciendo: Encuentra probabilidades normales

    Los ejemplos anteriores siguieron la misma forma general: dados los valores de una variable aleatoria normal, se le pidió que encontrara una probabilidad asociada. Los dos pasos básicos en el proceso de solución fueron

    • Estandarizar a Z;
    • Encuentra probabilidades asociadas usando la calculadora normal estándar o tabla.

    Encontrar puntuaciones normales

    Objetivos de aprendizaje

    LO 6.18: Dada una probabilidad, encontrar puntuaciones asociadas a una distribución normal especificada.

    El siguiente ejemplo será un tipo diferente de problema: dada una cierta probabilidad, se le pedirá que encuentre el valor asociado de la variable aleatoria normal. El proceso de solución irá más o menos en orden inverso a lo que era en los ejemplos anteriores.

    Ejemplo: Longitud del pie

    Nuevamente, la longitud del pie de un macho adulto elegido al azar es una variable aleatoria normal con una media de 11 y una desviación estándar de 1.5.

    (a) La probabilidad es 0.04 de que una longitud del pie masculino adulto escogido aleatoriamente sea menor que ¿cuántas pulgadas?

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    De acuerdo con la calculadora o tabla normal, una probabilidad de 0.04 por debajo (en realidad 0.0401) se asocia con z = -1.75.

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    En otras palabras, la probabilidad es de 0.04 de que una variable normal tome un valor inferior a 1.75 desviaciones estándar por debajo de su media.

    Para las longitudes del pie masculino adulto, esto sería de 11 — 1.75 (1.5) = 8.375. La probabilidad es de 0.04 de que una longitud del pie masculino adulto sea inferior a 8.375 pulgadas.

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    (b) La probabilidad es 0.10 de que un pie masculino adulto sea más largo que cuántas pulgadas? Aquí se necesita precaución debido a la palabra “más largo”.

    Una vez más, debemos recordarnos que la calculadora y la tabla solo muestran la probabilidad de que una variable normal tome un valor inferior a un cierto número de desviaciones estándar por debajo o por encima de su media. Deben hacerse ajustes por problemas que involucren probabilidades además de “menores que” o “menores que”. Como es habitual, tenemos la opción de invocar la simetría o el hecho de que el área total bajo la curva normal sea 1. Los estudiantes deben examinar ambos métodos y decidir cuál prefiere utilizar para sus propios fines.

    Método 1:

    Según la calculadora o tabla, una probabilidad de 0.10 a continuación se asocia con un valor z de -1.28. Por simetría, se deduce que una probabilidad de 0.10 arriba tiene z = +1.28.

    Buscamos la longitud del pie que es 1.28 desviaciones estándar por encima de su media: 11 + 1.28 (1.5) = 12.92, o poco menos de 13 pulgadas.

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    Método 2: Si la probabilidad es 0.10 de que un pie sea más largo que el valor que buscamos, entonces la probabilidad es 0.90 de que un pie sea más corto que ese mismo valor, ya que las probabilidades deben sumar a 1.

    Según la calculadora o tabla, una probabilidad de 0.90 a continuación se asocia con un valor z de +1.28. Nuevamente, buscamos la longitud del pie que sea de 1.28 desviaciones estándar por encima de su media, o 12.92 pulgadas.

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    Comentario:

    • La parte (a) del ejemplo anterior podría haber sido reformulada como: “0.04 es la proporción de todas las longitudes del pie masculino adulto que están por debajo de qué valor?” , que toma la perspectiva de pensar en la probabilidad como proporción de ocurrencias a largo plazo. Como se dijo originalmente, se enfoca en la posibilidad de que un individuo elegido aleatoriamente tenga un valor normal en un intervalo dado.
    EJEMPLO: Dinero gastado en el almuerzo

    Un estudio informó que la cantidad de dinero que cada semana gasta en el almuerzo un trabajador en una ciudad en particular es una variable aleatoria normal con una media de $35 y una desviación estándar de $5.

    a) ¿La probabilidad es 0.97 de que un trabajador gaste menos de cuánto dinero en una semana en el almuerzo?

    La z asociada a una probabilidad de 0.9700 abajo es de +1.88. El monto que es 1.88 desviaciones estándar por encima de la media es 35 + 1.88 (5) = 44.4, o $44.40.

    b) ¿Existe un 30% de posibilidades de gastar más de lo que cuesta para almuerzos en una semana?

    La z asociada a una probabilidad de 0.30 anterior es +0.52. El monto es 35 + 0.52 (5) = 37.6, o $37.60.

    Comentario:

    • Otra forma de expresar Ejemplo (parte a.) arriba sería preguntar: “¿Cuál es el percentil 97 de la cantidad (X) gastada por los trabajadores en una semana para su almuerzo?” Muchas variables normales, como alturas, pesos o puntajes de exámenes, a menudo se expresan en términos de percentiles.
    EJEMPLO:

    La altura X (en pulgadas) de una mujer elegida al azar es una variable aleatoria normal con una media de 65 y una desviación estándar de 2.5.

    ¿Cuál es la altura de una mujer que se encuentra en el percentil 80?

    Una probabilidad de 0.7995 en la tabla corresponde a z = +0.84. Su estatura es de 65 + 0.84 (2.5) = 67,1 pulgadas.

    A estas alturas ya hemos tenido práctica para resolver problemas de probabilidad normal en ambas direcciones: aquellos en los que se da un valor normal y se nos pide que reportemos una probabilidad y aquellos en los que se da una probabilidad y se nos pide que reportemos un valor normal. Las estrategias para resolver tales problemas se describen a continuación:

    • Dado un valor normal x, resuelva por probabilidad:
      • Estandarizar: calcular

    \(Z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}\)

      • Si está utilizando la calculadora en línea: Escriba la puntuación z para la que desea encontrar el área a la izquierda y presione “computar”.
      • Si está utilizando la tabla: Localice z en los márgenes de la tabla normal (unas y décimas para la fila, centésimas para la columna). Encuentra la probabilidad correspondiente (dada a cuatro decimales) de una variable aleatoria normal tomando un valor por debajo de z dentro de la tabla.
      • (Ajustar si el problema involucra algo que no sea una probabilidad “menor que”, invocando la simetría o el hecho de que el área total bajo la curva normal es 1.)
    • Dada una probabilidad, resolver para el valor normal x:
      • (Ajustar si el problema involucra algo que no sea una probabilidad “menor que”, invocando la simetría o el hecho de que el área total bajo la curva normal es 1.)
      • Localizar la probabilidad (dada a cuatro decimales) dentro de la tabla normal. Usando la tabla, encuentra el valor z correspondiente en los márgenes (fila para unas y décimas, columna para centésimas). Usando la calculadora, proporcione el área a la izquierda de la puntuación z que desea encontrar y haga click en “computar”.
      • “No estandarizar”: calcular

    \(X = \mu + z\sigma\)

    Esta siguiente actividad es una continuación de la anterior, y te dará práctica guiada en la solución de problemas de palabras que involucran la distribución normal. En particular, resolveremos problemas como los que acabas de resolver, en los que se te da una probabilidad y se te pide que encuentres el valor normal asociado a ella.

    Aprende haciendo: Encuentra puntajes normales

    Aproximación normal para Binomial

    La distribución normal puede ser utilizada como una aproximación razonable a otras distribuciones bajo ciertas circunstancias. Aquí ilustraremos esta aproximación para la distribución binomial.

    No vamos a hacer ningún cálculo aquí ya que simplemente queremos ilustrar el concepto. En la siguiente sección sobre distribuciones de muestreo, veremos otra medida relacionada con la distribución binomial, la proporción muestral, y en ese momento discutiremos la distribución normal subyacente.

    Considere la distribución binomial de probabilidad que se muestra a continuación para n = 20 y p = 0.5.

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    Ahora superponemos una distribución normal con la misma media y desviación estándar.

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    Y en la imagen final, podemos ver las regiones para las probabilidades exactas y aproximadas sombreadas.

    image186

    Desafortunadamente, la probabilidad aproximada, 0.1867, es bastante diferente de la probabilidad real, 0.2517. Sin embargo, este ejemplo constituye una especie de “peor escenario” de acuerdo con los criterios habituales para el uso de una aproximación normal.

    Regla de oro

    Las probabilidades para una variable aleatoria binomial X con n y p pueden aproximarse por aquellas para una variable aleatoria normal que tenga la misma media y desviación estándar siempre y cuando el tamaño de muestra n sea lo suficientemente grande en relación con las proporciones de éxitos y fracasos, p y 1 — p. Nuestra regla general será requerir que

    np ≥ 10 y n (1 − p) ≥ 10

    Corrección de continuidad

    Es posible mejorar la aproximación normal al binomio ajustando la discrepancia que surge cuando hacemos el desplazamiento de las áreas de rectángulos de histograma al área bajo una curva suave. Por ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad binomial de que X sea menor o igual a 8, estamos incluyendo el área de todo el rectángulo sobre 8, que en realidad se extiende a 8.5. Nuestra aproximación normal solo incluyó el área hasta 8.


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