9.1: ¿En qué se diferencian la probabilidad y la estadística?

Antes de empezar a hablar de teoría de probabilidad, es útil dedicar un momento a pensar en la relación entre probabilidad y estadística. Las dos disciplinas están estrechamente relacionadas pero no son idénticas. La teoría de la probabilidad es “la doctrina de las posibilidades”. Es una rama de las matemáticas que te dice con qué frecuencia sucederán diferentes tipos de eventos. Por ejemplo, todas estas preguntas son cosas que puedes responder usando la teoría de la probabilidad:

• ¿Cuáles son las posibilidades de que una moneda justa suba de cabeza 10 veces seguidas?
• Si tiro dos dados de seis caras, ¿qué tan probable es que ruede dos seis?
• ¿Qué tan probable es que cinco cartas extraídas de una baraja perfectamente barajada sean todas corazones?
• ¿Cuáles son las posibilidades de que gane la lotería?

Observe que todas estas preguntas tienen algo en común. En cada caso se conoce la “verdad del mundo”, y mi pregunta se relaciona con el “qué tipo de eventos” sucederán. En la primera pregunta sé que la moneda es justa, así que hay un 50% de posibilidades de que cualquier volteo de moneda individual salga de cabeza. En la segunda pregunta, sé que la posibilidad de rodar un 6 en un solo dado es de 1 en 6. En la tercera pregunta sé que la baraja está barajada correctamente. Y en la cuarta pregunta, sé que la lotería sigue reglas específicas. Entiendes la idea. El punto crítico es que las preguntas probabilísticas comienzan con un modelo conocido del mundo, y usamos ese modelo para hacer algunos cálculos. El modelo subyacente puede ser bastante sencillo. Por ejemplo, en el ejemplo de volteo de monedas, podemos anotar el modelo así:

P (cabezas) =0.5

que se puede leer como “la probabilidad de cabezas es de 0.5”. Como veremos más adelante, de la misma manera que los porcentajes son números que van del 0% al 100%, las probabilidades son solo números que van del 0 al 1. Al usar este modelo de probabilidad para responder a la primera pregunta, en realidad no sé exactamente qué va a pasar. A lo mejor me van a sacar 10 cabezas, como dice la pregunta. Pero a lo mejor voy a conseguir tres cabezas. Eso es lo clave: en la teoría de la probabilidad, el modelo es conocido, pero los datos no lo son.

Entonces esa es la probabilidad. ¿Qué pasa con las estadísticas? Las preguntas estadísticas funcionan al revés. En estadística, desconocemos la verdad sobre el mundo. Todo lo que tenemos son los datos, y es a partir de los datos que queremos aprender la verdad sobre el mundo. Las preguntas estadísticas tienden a parecerse más a estas:

• Si mi amigo voltea una moneda 10 veces y obtiene 10 cabezas, ¿me están jugando una mala pasada?
• Si cinco cartas de la parte superior de la baraja son todos corazones, ¿qué tan probable es que la baraja haya sido barajada? - Si el cónyuge del comisionado de lotería gana la lotería, ¿qué tan probable es que la lotería haya sido amañada?

En esta ocasión, lo único que tenemos son los datos. Lo que sé es que vi a mi amigo voltear la moneda 10 veces y cada vez que me salía de cabeza. Y lo que quiero inferir es si debo o no concluir que lo que acabo de ver fue en realidad una moneda justa que se volteaba 10 veces seguidas, o si debería sospechar que mi amigo me está jugando una mala pasada. Los datos que tengo se ven así:

H H H H H H H H H H H

y lo que estoy tratando de hacer es averiguar en qué “modelo del mundo” debo confiar. Si la moneda es justa, entonces el modelo que debo adoptar es uno que diga que la probabilidad de cabezas es 0.5; es decir, P (cabezas) =0.5. Si la moneda no es justa, entonces debería concluir que la probabilidad de cabezas no es 0.5, que escribiríamos como P (cabezas) ≠ 0.5. En otras palabras, el problema de inferencia estadística es averiguar cuál de estos modelos de probabilidad es el correcto. Claramente, la cuestión estadística no es lo mismo que la pregunta de probabilidad, sino que están profundamente conectadas entre sí. Debido a esto, una buena introducción a la teoría estadística comenzará con una discusión sobre qué es la probabilidad y cómo funciona.