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3.5: Diagramas de Venn

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    150926
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    Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Los diagramas de Venn también nos ayudan a convertir palabras comunes en inglés en términos matemáticos que ayudan a agregar precisión.

    Los diagramas de Venn llevan el nombre de su inventor, John Venn, profesor de matemáticas en Cambridge y ministro anglicano. Su principal trabajo se llevó a cabo a finales de la década de 1870 y dio lugar a toda una rama de las matemáticas y una nueva forma de abordar cuestiones de lógica. Desarrollaremos las reglas de probabilidad recién cubiertas usando esta poderosa manera de demostrar los postulados de probabilidad, incluyendo la Regla de Adición, la Regla de Multiplicación, la Regla del Complemento, la Independencia y la Probabilidad Condicional

    Ejemplo 3.27

    Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3,..., 12 donde cada desenlace tiene la misma probabilidad de ocurrir. Dejar evento\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y evento\(B = \{6, 7, 8, 9\}\). Después se\(A\) cruzan\(B = A \cap B=\{6\}\) y se\(A\) unirán\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). El diagrama de Venn es el siguiente:

    Un diagrama de Venn. Un óvalo que representa el conjunto A contiene los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Un óvalo que representa el conjunto B también contiene el 6, junto con el 7, 8 y 9. Los valores 10, 11 y 12 están presentes pero no están contenidos en ninguno de los dos conjuntos.
    Figura 3.6

    La Figura 3.6 muestra la relación más básica entre estos números. Primero, los números están en grupos llamados conjuntos; conjunto A y conjunto B. Algunos números están en ambos conjuntos; decimos en el conjunto A\(\cap \) en el conjunto B. La palabra inglesa “y” significa inclusivo, es decir, tener las características de ambos A y B, o en este caso, ser parte de ambos A y B. Esta condición se llama INTERSECCIÓN de los dos conjuntos. Todos los miembros que forman parte de ambos conjuntos constituyen la intersección de los dos conjuntos. La intersección se escribe como\(A\cap B\) donde\(\cap\) está el símbolo matemático para intersección. La declaración A\ cap BA\ cap B se lee como “A intersectar B.” Esto se puede recordar pensando en la intersección de dos calles.

    También están aquellos números que forman un grupo que, para ser miembros, el número debe estar en uno u otro grupo. El número no tiene que estar en AMBOS grupos, sino solo en cualquiera de los dos. Estos números se denominan la UNIÓN de los dos conjuntos y en este caso son los números 1-5 (de A exclusivamente), 7-9 (del conjunto B exclusivamente) y también 6, que está en ambos conjuntos A y B. El símbolo para la UNIÓN es\(\cup \), por lo tanto,\(A\cup B=\) los números 1-9, pero excluye los números 10, 11 y 12. Los valores 10, 11 y 12 son parte del universo, pero no están en ninguno de los dos conjuntos.

    Traducir la palabra inglesa “AND” al símbolo lógico matemático\ cap, intersección, y la palabra “OR” en el símbolo matemático\ cup, union, proporciona una manera muy precisa de discutir los temas de probabilidad y lógica. La terminología general para las tres áreas del diagrama de Venn en la Figura 3.6 se muestra en la Figura 3.7.

    Ejercicio 3.27

    Supongamos que un experimento tiene resultados en negro, blanco, rojo, naranja, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Dejar evento C = {verde, azul, morado} y evento P = {rojo, amarillo, azul}. Entonces\(C\cap P=\{blue\}\) y\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\). Dibuja un diagrama de Venn que represente esta situación.

    Ejemplo 3.28

    Voltear dos monedas justas. Dejar A = colas en la primera moneda. Dejar B = colas en la segunda moneda. Entonces A = {TT, TH} y B = {TT, HT}. Por lo tanto,\(A\cap B=\{TT\}\). \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\).

    El espacio de muestra cuando volteas dos monedas justas es X = {HH, HT, TH, TT}. El resultado HH está en NI A NI B. El diagrama de Venn es el siguiente:

    Este es un diagrama de venn. Un óvalo que representa el conjunto A contiene colas + cabezas y colas + colas. Un óvalo que representa el conjunto B también contiene Tails + Tails, junto con Heads + Tails. El universo S contiene Cabezas + Cabezas, pero este valor no está contenido ni en el conjunto A ni en el B.
    Figura 3.7

    Ejercicio 3.28

    Enrolle un dado justo de seis lados. Dejar A = se enrolla un número primo de puntos. Dejar B = se enrolla un número impar de puntos. Entonces A= {2, 3, 5} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto,\(A\cap B=\{3, 5\}\). \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\). El espacio de muestra para enrollar una matriz justa es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuja un diagrama de Venn que represente esta situación.

    Ejemplo 3.29

    Una persona con sangre tipo O y un factor Rh negativo (Rh-) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. Cuatro por ciento de los afroamericanos tienen sangre tipo O y un factor RH negativo, 5− 10% de los afroamericanos tienen el factor Rh- y 51% tienen sangre tipo O.

    Este es un diagrama de Venn vacío que muestra dos círculos superpuestos. El círculo izquierdo está etiquetado como O y el círculo derecho está etiquetado RH-.
    Figura 3.8

    El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre tipo O. El óvalo “Rh- “representa a los afroamericanos con el factor Rh-.

    Tomaremos el promedio de 5% y 10% y usaremos 7.5% como porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh-. Let O = Afroamericano con sangre Tipo O y R = Afroamericano con factor Rh-.

    1. P (O) = ___________
    2. P (R) = ___________
    3. \(P(O\cap R)=\)___________
    4. \(P(O\cup R)=\)____________
    5. En el Diagrama de Venn, describa el área superpuesta usando una oración completa.
    6. En el Diagrama de Venn, describa el área en el rectángulo pero fuera tanto del círculo como del óvalo usando una oración completa.
    Contestar

    Solución 3.29

    a. 0.51; b. 0.075; c. 0.04; d. 0.545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre tipo O y el factor Rh-. f. El área representa a los afroamericanos que no tienen sangre tipo O ni el factor Rh-.

    Ejemplo 3.30

    El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica trabaja un segundo empleo, el 25% tiene un cónyuge que también trabaja, el 5% trabaja un segundo empleo y tiene un cónyuge que también trabaja. Dibuja un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Dejar que W = trabaja un segundo trabajo y S = cónyuge también trabaja.

    Contestar

    El cuarenta por ciento de los estudiantes de una universidad local pertenecen a un club y el 50% trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabajan a tiempo parcial y pertenecen a un club. Dibuja un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Que C = estudiante pertenece a un club y PT = estudiante trabaja a tiempo parcial.

    Este es un diagrama de venn con un conjunto que contiene estudiantes en clubes y otro conjunto que contiene estudiantes que trabajan a tiempo parcial. Ambos conjuntos comparten estudiantes que son miembros de clubes y que además trabajan a tiempo parcial. El universo está etiquetado como S.
    Figura 3.9

    Si un estudiante es seleccionado al azar, busque

    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club. P (C) = 0.40
    • la probabilidad de que el alumno trabaje a tiempo parcial. P (PT) = 0.50
    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial. \(P(C\cap PT)=0.05\)
    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club dado que el alumno trabaja a tiempo parcial. \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club O trabaje a tiempo parcial. \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)

    Para resolver el Ejemplo 3.30 tuvimos que basarnos en el concepto de probabilidad condicional del apartado anterior. Allí utilizamos diagramas de árbol para rastrear los cambios en las probabilidades, porque el espacio muestral cambió a medida que dibujamos sin reemplazo. En definitiva, la probabilidad condicional es la posibilidad de que algo suceda dado que ya ha ocurrido algún otro suceso. Dicho de otra manera, la probabilidad de que algo suceda condicionada a la situación de que otra cosa también sea cierto. En el Ejemplo 3.30 la probabilidad P (C||PT) es la probabilidad condicional de que el alumno sorteado aleatoriamente sea miembro del club, condicionado a que el estudiante también esté trabajando a tiempo parcial. Esto nos permite ver la relación entre los diagramas de Venn y los postulados de probabilidad.

    Ejercicio 3.30

    En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es 0.6, y la probabilidad de que el cliente compre un libro de no ficción es 0.4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es 0.2.

    1. Dibuja un diagrama de Venn que represente la situación.
    2. Encuentra la probabilidad de que el cliente compre ya sea una novela o un libro de no ficción.
    3. En el diagrama de Venn, describa el área superpuesta usando una oración completa.
    4. Supongamos que algunos clientes compran solo discos compactos. Dibuja un óvalo en tu diagrama de Venn que represente este evento.

    Ejemplo 3.31

    Se observa un conjunto de 20 perros pastor alemán. 12 son machos, 8 son hembras, 10 tienen alguna coloración marrón y 5 tienen algunas secciones blancas de pelaje. Responde lo siguiente usando Diagramas de Venn.

    Dibuja un diagrama de Venn simplemente mostrando los conjuntos de perros machos y hembras.

    Contestar

    Solución 3.31

    El diagrama de Venn a continuación demuestra la situación de eventos mutuamente excluyentes donde los resultados son eventos independientes. Si un perro no puede ser tanto macho como hembra, entonces no hay intersección. Ser masculino impide ser femenino y ser femenino excluye ser masculino: en este caso, el género característico es, por tanto, mutuamente excluyente. Un diagrama de Venn muestra esto como dos conjuntos sin intersección. Se dice que la intersección es el conjunto nulo usando el símbolo matemático ∅.

    Figura 3.10

    Dibuja un segundo diagrama de Venn que ilustre que 10 de los perros machos tienen coloración marrón.

    Contestar

    Solución 3.31

    El diagrama de Venn a continuación muestra el solapamiento entre macho y marrón donde se coloca el número 10 en él. Esto representa\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\): tanto macho como marrón. Esta es la intersección de estas dos características. Para obtener la unión de Male y Brown, entonces son simplemente las dos áreas rodeadas menos el solapamiento. En términos adecuados, nos\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\) dará el número de perros en la unión de estos dos conjuntos. Si no restáramos la intersección, habríamos contado dos veces algunos de los perros.

    Figura 3.11

    Ahora dibuja una situación que represente un escenario en el que la región no sombreada representa “Sin pelaje blanco y femenino”, o Piel blanca′\ cap Hembra. el primo por encima de “pelaje” indica “no pelaje blanco”. El primo por encima de un conjunto significa que no está en ese conjunto, por ejemplo,\(\mathrm{A}^{\prime}\) significa que no\(\mathrm{A}\). En ocasiones, la notación utilizada es una línea por encima de la letra. Por ejemplo,\(\overline{A}=\mathrm{A}^{\prime}\).

    Contestar

    Solución 3.31

    Figura 3.12

    La regla de probabilidad de suma

    Conocimos la regla de adición antes pero sin la ayuda de diagramas de Venn. Los diagramas de Venn ayudan a visualizar el proceso de conteo que es inherente al cálculo de la probabilidad. Para reafirmar la Regla de Probabilidad de Suma:

    \[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]

    Recuerde que la probabilidad es simplemente la proporción de los objetos que nos interesan en relación con el número total de objetos. Es por ello que podemos ver la utilidad de los diagramas de Venn. El ejemplo 3.31 muestra cómo podemos usar diagramas de Venn para contar el número de perros en la unión de marrón y macho recordándonos restar la intersección de marrón y macho. Podemos ver el efecto de esto directamente sobre las probabilidades en la regla de adición.

    Ejemplo 3.32

    Demostremos a 50 alumnos que están en una clase de estadística. 20 son estudiantes de primer año y 30 son estudiantes de segundo año. 15 alumnos obtienen una “B” en el curso, y 5 estudiantes ambos obtienen una “B” y son estudiantes de primer año.

    Encuentra la probabilidad de seleccionar un estudiante que o bien gana una “B” O es un estudiante de primer año. Estamos traduciendo la palabra OR al símbolo matemático para la regla de suma, que es la unión de los dos conjuntos.

    Contestar

    Solución 3.32

    Sabemos que hay 50 alumnos en nuestra muestra, por lo que conocemos el denominador de nuestra fracción para darnos probabilidad. Solo necesitamos encontrar el número de estudiantes que cumplan con las características que nos interesan, es decir, cualquier estudiante de primer año y cualquier estudiante que obtuvo una calificación de “B”. Con la Regla de Suma de probabilidad, podemos saltar directamente a probabilidades.

    Dejar “A” = el número de estudiantes de primer año, y dejar que “B” = la calificación de “B.” A continuación podemos ver el proceso para usar diagramas de Venn para resolver esto.

    El\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)

    Por lo tanto,\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)

    Figura 3.13

    Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces, como el ejemplo donde diagramamos los perros macho y hembra, la regla de adición se simplifica a solo\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\). Esto es cierto porque, como vimos antes, la unión de eventos mutuamente excluyentes es el conjunto nulo, ∅. Los diagramas que aparecen a continuación lo demuestran.

    Figura 3.14

    La regla de probabilidad de multiplicación

    Reafirmando la Regla de Probabilidad de Multiplicación usando la notación de diagramas de Venn, tenemos:

    \[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]

    La regla de multiplicación se puede modificar con un poco de álgebra en la siguiente regla condicional. Entonces se pueden usar diagramas de Venn para demostrar el proceso.

    La regla condicional:\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

    Usando los mismos hechos del Ejemplo 3.32 anterior, encuentra la probabilidad de que alguien gane una “B” si es un “estudiante de primer año”.

    \[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]

    Figura 3.15

    La regla de multiplicación también debe ser alterada si los dos eventos son independientes. Los eventos independientes se definen como una situación en la que la probabilidad condicional es simplemente la probabilidad del evento de interés. Formalmente, la independencia de los acontecimientos se define como\(P(A|B)=P(A)\) o\(P(B|A)=P(B)\). Al voltear monedas, el resultado del segundo flip es independiente del resultado del primer flip; las monedas no tienen memoria. La Regla de Probabilidad de Multiplicación para eventos independientes se convierte así en:

    \[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]

    Una manera fácil de recordar esto es considerar lo que queremos decir con la palabra “y”. Vemos que la Regla de Multiplicación ha traducido la palabra “y” a la notación Venn para intersección. Por lo tanto, el resultado debe cumplir con las dos condiciones de estudiantes de primer año y grado de “B” en el ejemplo anterior. Es más difícil, menos probable, cumplir dos condiciones que solo una o alguna otra. Podemos intentar ver la lógica de la Regla de Multiplicación de probabilidad debido a que las fracciones multiplicadas entre sí se hacen más pequeñas.

    El desarrollo de las Reglas de Probabilidad con el uso de diagramas de Venn se puede mostrar para ayudar ya que deseamos calcular probabilidades a partir de datos dispuestos en una tabla de contingencia.

    Ejemplo 3.33

    El Cuadro 3.11 es de una muestra de 200 personas a las que se les preguntó cuánta educación concluyeron. Las columnas representan la educación más alta que completaron, y las filas separan a los individuos por hombres y mujeres.

    Menos de bachillerato Posgrado de bachillerato Algunos universitarios Posgrado universitario Total
    Macho 5 15 40 60 120
    Hembra 8 12 30 30 80
    Total 13 27 70 90 200
    Cuadro 3.11

    Ahora, podemos usar esta tabla para responder preguntas de probabilidad. Los siguientes ejemplos están diseñados para ayudar a comprender el formato anterior mientras se conecta el conocimiento tanto a los diagramas de Venn como a las reglas de probabilidad.

    ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada termine la universidad y sea femenina?

    Contestar

    Solución 3.33

    Esta es una tarea sencilla de encontrar el valor donde las dos características se cruzan sobre la mesa, y luego aplicar el postulado de probabilidad, que establece que la probabilidad de un evento es la proporción de resultados que coinciden con el evento en el que nos interesa como proporción de todo el total posible resultados.

    \(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)

    ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una mujer o alguien que terminó la universidad?

    Contestar

    Solución 3.33

    Esta tarea implica el uso de la regla de adición para resolver esta probabilidad.

    \(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)

    \(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)

    ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un egresado de secundaria si solo seleccionamos del grupo de varones?

    Contestar

    Solución 3.33

    Aquí debemos usar la regla de probabilidad condicional (la regla de multiplicación modificada) para resolver esta probabilidad.

    \(P (\text{HS Grad } | \text { Male })=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)

    ¿Podemos concluir que el nivel educativo alcanzado por estas 200 personas es independiente del género de la persona?

    Contestar

    Solución 3.33

    Hay dos formas de abordar esta prueba. El primer método busca probar si la intersección de dos eventos es igual al producto de los eventos recordando por separado que si dos eventos son independientes que\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\). Por simplicidad, podemos usar valores calculados desde arriba.

    ¿Lo hace\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\)?

    \(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)porque 0.15 ≠ 0.18.

    Por lo tanto, el género y la educación aquí no son independientes.

    El segundo método es probar si la probabilidad condicional de A dada B es igual a la probabilidad de A. Nuevamente por simplicidad, podemos usar un valor ya calculado desde arriba.

    ¿Lo hace\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\)?

    \(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)porque 0.125 ≠ 0.135.

    Por lo tanto, nuevamente el género y la educación aquí no son independientes.


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