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4.1: Distribución hipergeométrica

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    La función de densidad de probabilidad más simple es la hipergeométrica. Este es el más básico porque se crea combinando nuestro conocimiento de probabilidades a partir de diagramas de Venn, las reglas de suma y multiplicación, y la fórmula de conteo combinatorio.

    Para encontrar el número de formas de obtener 2 ases de los cuatro en la baraja calculamos:

    \[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=6\nonumber\]

    Y si no nos importaba qué más teníamos en la mano para las otras tres cartas calcularíamos:

    \[\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)=\frac{48 !}{3 ! 45 !}=17,296\nonumber\]

    Armando esto, podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente dos ases en una mano de póquer de 5 cartas como:

    \[\frac{\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)}=.0399\nonumber\]

    Esta solución es realmente solo la distribución de probabilidad conocida como la Hipergeométrica. La fórmula generalizada es:

    \[h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\nonumber\]

    donde\(x\) = el número que nos interesa proviene del grupo con objetos A.

    \(h(x)\)es la probabilidad de\(x\) éxitos, en n intentos, cuando A éxitos (ases en este caso) están en una población que contiene N elementos. La distribución hipergeométrica es un ejemplo de una distribución discreta de probabilidad porque no hay posibilidad de éxito parcial, es decir, no puede haber manos de póquer con 2 1/2 ases. Dicho de otra manera, una variable aleatoria discreta tiene que ser un todo, o contando, solo un número. Esta distribución de probabilidad funciona en los casos en que la probabilidad de éxito cambia con cada sorteo. Otra forma de decir esto es que los eventos NO son independientes. Al usar una baraja de cartas, estamos muestreando SIN reemplazo. Si volvemos a poner cada carta después de que fuera sacada entonces la distribución hipergeométrica será un Pdf inapropiado.

    Para que funcione lo hipergeométrico,

    1. la población debe ser dividible en dos y sólo dos subconjuntos independientes (ases y no ases en nuestro ejemplo). La variable aleatoria\(X\) = el número de ítems del grupo de interés.
    2. el experimento debe tener probabilidades cambiantes de éxito con cada experimento (el hecho de que las cartas no sean reemplazadas después del sorteo en nuestro ejemplo hace que esto sea cierto en este caso). Otra forma de decir esto es que muestres sin reemplazo y por lo tanto cada púa no es independiente.
    3. la variable aleatoria debe ser discreta, en lugar de continua.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un plato de dulces contiene 30 gominoletas y 20 gomitas. Diez caramelos se recogen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de las 10 sean gomitas? Los dos grupos son las gominollas y las gomitas. Dado que la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de recoger gomitas, el grupo de interés (primer grupo A en la fórmula) son las gomitas. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es 30. El tamaño del segundo grupo es de 20. El tamaño de la muestra es de 10 (gomitas o gomitas). Let\(X\) = el número de gomitas en la muestra de 10. \(X\)toma los valores\(x = 0, 1, 2, ..., 10\). a. ¿Cuál es la declaración de probabilidad escrita matemáticamente? b. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad hipergeométrica escrita para resolver este problema? c. ¿Cuál es la respuesta a la pregunta “¿Cuál es la probabilidad de sacar 5 gomitas en 10 picos del platillo?”

    Responder

    a.\(P(x=5)\)
    b.\(P(x=5)=\frac{\left(\begin{array}{c}{30} \\ {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{20} \\ {5}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{50} \\ {10}\end{array}\right)}\)
    c.\(P(x=5)=0.215\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Una bolsa contiene azulejos de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales, y 56 son consonantes. Siete fichas se recogen al azar. Quieres saber la probabilidad de que cuatro de los siete mosaicos sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra?


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