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4.10: Revisión del Capítulo

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    Introducción

    Las características de una función de distribución de probabilidad o densidad (PDF) son las siguientes:

    1. Cada probabilidad está entre cero y uno, inclusive (inclusive significa incluir cero y uno).
    2. La suma de las probabilidades es una.

    4.1 Distribución hipergeométrica

    La fórmula combinatoria puede proporcionar el número de subconjuntos únicos de tamaño\(x\) que se pueden crear a partir de objetos\(n\) únicos para ayudarnos a calcular probabilidades. La fórmula combinatoria es\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

    Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades:

    1. Se toman muestras de dos grupos.
    2. A usted le preocupa un grupo de interés, llamado el primer grupo.
    3. Muestrea sin reemplazo de los grupos combinados.
    4. Cada pico no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.

    Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria\(X =\) el número de ítems del grupo de interés. \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\).

    Distribución binomial

    Un experimento estadístico puede clasificarse como un experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones:

    1. Hay un número fijo de juicios,\(n\).
    2. Solo hay dos resultados posibles, llamados “éxito” y, “fracaso” para cada ensayo. La letra\(p\) denota la probabilidad de éxito en un ensayo y\(q\) denota la probabilidad de un fracaso en un ensayo.
    3. Los\(n\) ensayos son independientes y se repiten en condiciones idénticas.

    Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria\(X =\) el número de éxitos obtenidos en los ensayos\(n\) independientes. La media de se\(X\) puede calcular usando la fórmula\(\mu = np\), y la desviación estándar viene dada por la fórmula\(\sigma=\sqrt{n p q}\).

    La fórmula para la función de densidad de probabilidad binomial es

    \[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

    Distribución Geométrica

    Hay tres características de un experimento geométrico:

    1. Hay uno o más juicios de Bernoulli con todos los fracasos excepto el último, lo cual es un éxito.
    2. En teoría, el número de juicios podría continuar para siempre. Debe haber al menos un juicio.
    3. La probabilidad,\(p\), de un éxito y la probabilidad,\(q\), de un fracaso son las mismas para cada ensayo.

    En un experimento geométrico, definir la variable aleatoria discreta\(X\) como el número de ensayos independientes hasta el primer éxito. Decimos que\(X\) tiene una distribución geométrica y escribimos\(X \sim G(p)\) donde\(p\) está la probabilidad de éxito en un solo ensayo.

    La media de la distribución geométrica\(X \sim G(p)\) es\(\mu = 1/p\) donde\(x =\) número de ensayos hasta el primer éxito para la fórmula\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\) donde el número de ensayos es mayor e incluyendo el primer éxito.

    Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fallas hasta el primer éxito? En esta formulación no se cuenta el ensayo que resultó en el primer éxito. La fórmula para esta presentación de lo geométrico es:

    \[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

    El valor esperado en esta forma de distribución geométrica es

    \[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

    La forma más fácil de mantener rectas estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que\(p\) es la probabilidad de éxito y\((1−p)\) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de éxitos y el número de fracasos del resultado deseado del experimento. Por supuesto que la suma de estos dos números debe sumarse al número de ensayos en el experimento.

    Distribución de Poisson

    Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que un número de eventos ocurran en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos ocurren a una tasa promedio conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson se puede utilizar para aproximar el binomio, si la probabilidad de éxito es “pequeña” (menor o igual a 0.01) y el número de ensayos es “grande” (mayor o igual a 25). Otras reglas generales también son sugeridas por diferentes autores, pero todos reconocen que la distribución de Poisson es la distribución limitante del binomio a medida que\(n\) aumenta y\(p\) se acerca a cero.

    La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

    \[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

    donde\(P(X)\) está la probabilidad de éxitos,\(\mu\) (pronunciado mu) es el número esperado de éxitos,\(e\) es el logaritmo natural aproximadamente igual a\(2.718\), y\(X\) es el número de éxitos por unidad, generalmente por unidad de tiempo.


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