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5.9: Revisión del Capítulo

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    5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continua

    La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades para variables aleatorias continuas. El área bajo la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable caiga entre esos dos valores. En otras palabras, el área bajo la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a\(P(a < x < b)\). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como área. Si\(X\) es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf),\(f(x)\), se utiliza para dibujar la gráfica de la distribución de probabilidad. El área total bajo la gráfica de\(f(x)\) es uno. El área bajo la gráfica de\(f(x)\) y entre valores\(a\) y\(b\) da la probabilidad\(P(a < x < b)\).

    La gráfica de la izquierda muestra una curva de densidad general, y = f (x). La región bajo la curva y por encima del eje x está sombreada. El área de la región sombreada es igual a 1. Esto demuestra que todos los resultados posibles están representados por la curva. La gráfica de la derecha muestra la misma curva de densidad. Las líneas verticales x = a y x = b se extienden desde el eje hasta la curva, y el área entre las líneas está sombreada. El área de la región sombreada representa la probabilidad de que un valor x caiga entre a y b.
    Figura\(\PageIndex{21}\)

    La función de distribución acumulativa (cdf) de\(X\) se define por\(P(X \leq x)\). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a x.

    5.2 La distribución uniforme

    Si\(X\) tiene una distribución uniforme donde\(a < x < b\) o\(a \leq x \leq b\), luego\(X\) toma valores entre\(a\) y\(b\) (puede incluir\(a\) y\(b\)). Todos los valores\(x\) son igualmente probables. Escribimos\(X \sim U(a, b)\). La media de\(X\) es\(\mu=\frac{a+b}{2}\). La desviación estándar de\(X\) es\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\). La función de densidad de probabilidad de\(X\) es\(f(x)=\frac{1}{b-a}\) para\(a \leq x \leq b\). La función de distribución acumulativa de\(X\) es\(P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}\). \(X\)es continuo.

    La gráfica muestra un rectángulo con área total igual a 1. El rectángulo se extiende de x = a x = b en el eje x y tiene una altura de 1/ (b-a).
    Figura\(\PageIndex{22}\)

    La probabilidad se\(P(c < X < d)\) puede encontrar calculando el área bajo\(f(x)\), entre\(c\) y\(d\). Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede encontrar simplemente multiplicando el ancho y la altura.

    5.3 La distribución exponencial

    Si\(X\) tiene una distribución exponencial con media\(\mu\), entonces el parámetro decaimiento es\(m=\frac{1}{\mu}\). La función de densidad de probabilidad de\(X\) es\(f(x) = me^{-mx}\) (o equivalentemente\(f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-x / \mu}\). La función de distribución acumulativa de\(X\) es\(P(X \leq x)=1-e^{-m x}\).


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