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7.0: Introducción al Teorema del Límite Central

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    ¿Por qué estamos tan preocupados por los medios? Dos razones son: nos dan un término medio para la comparación, y son fáciles de calcular. En este capítulo, estudiarás las medias y el Teorema del Límite Central.

    El Teorema del Límite Central es una de las ideas más poderosas y útiles en todas las estadísticas. El Teorema del Límite Central es un teorema que significa que NO es una teoría o simplemente la idea de alguien de cómo funcionan las cosas. Como teorema se ubica con el Teorema de Pitágoras, o el teorema que nos dice que la suma de los ángulos de un triángulo debe sumar a 180. Estos son hechos de los caminos del mundo rigurosamente demostrados con precisión matemática y lógica. Como veremos este poderoso teorema determinará justamente lo que podemos, y no podemos decir, en las estadísticas inferenciales. El Teorema del Límite Central se ocupa de extraer muestras finitas\(n\) de tamaño de una población con una media conocida\(\mu\),, y una desviación estándar conocida,\(\sigma\). La conclusión es que si recolectamos muestras de tamaño\(n\) con un “suficientemente grande”\(n\), calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma (distribución) de esas medias, entonces la distribución resultante tenderá a tener una distribución normal aproximada.

    El resultado asombroso es que no importa cuál sea la distribución de la población original, o si incluso necesitas conocerla. El hecho importante es que la distribución de las medias muestrales tienden a seguir la distribución normal.

    Esta es una foto de cambio un juego de llaves en una pila. Parece que hay cinco centavos, tres cuartos, cuatro centavos y dos centavos. El llavero tiene una ballena de bronce y sostiene once llaves.
    Figura\(\PageIndex{1}\) Si quieres averiguar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, usando el Teorema de Límite Central y asumiendo que tu muestra es lo suficientemente grande, encontrarás que la distribución es la función de densidad de probabilidad normal. (crédito: John Lodder)

    El tamaño de la muestra,\(n\), que se requiere para ser “lo suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser de al menos 30 o los datos deben provenir de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, entonces se necesitan más observaciones para las medias de la muestra. El muestreo se realiza aleatoriamente y con reemplazo en el modelo teórico.


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