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7.2: Uso del Teorema del Límite Central

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    Ejemplos del Teorema del Límite Central

    Ley de Grandes Números

    La ley de los grandes números dice que si se toman muestras de mayor y mayor tamaño de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral,\(\mu_{\overline x}\) tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media poblacional,\(\mu\). A partir del Teorema del Límite Central, sabemos que a medida que\(n\) se hace cada vez más grande, las medias de la muestra siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n, menor será la desviación estándar de la distribución de muestreo. (Recuerde que la desviación estándar para la distribución muestral de\(\overline X\) es\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).) Esto significa que la media muestral\(\overline x\) debe estar más cerca de la media poblacional a\(\mu\) medida que\(n\) aumenta. Podemos decir que\(\mu\) es el valor que la muestra significa acercarse a medida que n se hace más grande. El Teorema del Límite Central ilustra la ley de los grandes números.

    Este concepto es tan importante y juega un papel tan crítico en lo que sigue merece ser desarrollado más. En efecto, hay dos cuestiones críticas que fluyen del Teorema del Límite Central y de la aplicación de la Ley de Grandes Números a éste. Estos son

    1. La función de densidad de probabilidad de la distribución muestral de medias se distribuye normalmente independientemente de la distribución subyacente de las observaciones poblacionales y
    2. la desviación estándar de la distribución muestral disminuye a medida que aumenta el tamaño de las muestras que se utilizaron para calcular las medias para la distribución muestral.

    Tomando estos en orden. Parecería contradictivo que la población pueda tener alguna distribución y la distribución de los medios provenientes de ella se distribuiría normalmente. Con el uso de computadoras, se pueden simular experimentos que muestran el proceso por el cual la distribución del muestreo cambia a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Estas simulaciones muestran visualmente los resultados de la prueba matemática del Teorema del Límite Central.

    Aquí hay tres ejemplos de distribuciones poblacionales muy diferentes y la evolución de la distribución muestral a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El panel superior en estos casos representa el histograma de los datos originales. Los tres paneles muestran los histogramas de 1,000 muestras dibujadas al azar para diferentes tamaños de muestra:\(n=10\),\(n= 25\) y\(n=50\). A medida que aumenta el tamaño de la muestra y el número de muestras tomadas permanece constante, la distribución de las 1,000 medias de muestra se acerca a la línea lisa que representa la distribución normal.

    La figura\(\PageIndex{3}\) es para una distribución normal de las observaciones individuales y esperaríamos que la distribución del muestreo converja rápidamente sobre la normal. Los resultados muestran esto y muestran que incluso con un tamaño de muestra muy pequeño la distribución es cercana a la distribución normal.

    Figura\(\PageIndex{3}\)

    La figura\(\PageIndex{4}\) es una distribución uniforme que, un poco asombrosamente, se acercó rápidamente a la distribución normal incluso con solo una muestra de 10.

    Figura\(\PageIndex{4}\)

    La figura\(\PageIndex{5}\) es una distribución sesgada. Este último podría ser exponencial, geométrico o binomio con una pequeña probabilidad de éxito creando el sesgo en la distribución. Para distribuciones sesgadas nuestra intuición diría que esto tomará tamaños de muestra más grandes para pasar a una distribución normal y de hecho eso es lo que observamos a partir de la simulación. Sin embargo, a un tamaño de muestra de 50, no considerada una muestra muy grande, la distribución de medias muestrales ha ganado muy decididamente la forma de la distribución normal.

    Figura\(\PageIndex{5}\)

    El Teorema del Límite Central aporta más que la prueba de que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. También nos proporciona la media y desviación estándar de esta distribución. Además, como se discutió anteriormente, el valor esperado de la media\(\mu_{\overline{x}}\),, es igual a la media de la población de los datos originales que es lo que nos interesa estimar a partir de la muestra que tomamos. Ya hemos insertado esta conclusión del Teorema del Límite Central en la fórmula que utilizamos para estandarizar desde la distribución muestral hasta la distribución normal estándar. Y finalmente, el Teorema del Límite Central también ha proporcionado la desviación estándar de la distribución muestral\(\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), y esto es crítico para tener que calcular probabilidades de valores de la nueva variable aleatoria,\(\overline x\).

    La figura\(\PageIndex{6}\) muestra una distribución de muestreo. La media se ha marcado en el eje horizontal de los\(\overline X\)'s y la desviación estándar se ha escrito a la derecha encima de la distribución. Observe que la desviación estándar de la distribución muestral es la desviación estándar original de la población, dividida por el tamaño de la muestra. Ya hemos visto que a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución del muestreo se acerca cada vez más a la distribución normal. A medida que esto sucede, la desviación estándar de la distribución muestral cambia de otra manera; la desviación estándar disminuye a medida que\(n\) aumenta. A muy grandes\(n\), la desviación estándar de la distribución muestral se vuelve muy pequeña y al infinito colapsa sobre la media poblacional. Esto es lo que significa que el valor esperado de\(\mu_{\overline{x}}\) es la media de la población,\(\mu\).

    ..

    Figura\(\PageIndex{6}\)

    En valores no extremos de\(n\), esta relación entre la desviación estándar de la distribución muestral y el tamaño de la muestra juega un papel muy importante en nuestra capacidad para estimar los parámetros que nos interesan.

    La figura\(\PageIndex{7}\) muestra tres distribuciones de muestreo. El único cambio que se realizó fue el tamaño de la muestra que se utilizó para obtener las medias de la muestra para cada distribución. A medida que aumenta el tamaño de la muestra,\(n\) va de 10 a 30 a 50, las desviaciones estándar de las respectivas distribuciones de muestreo disminuyen debido a que el tamaño de la muestra está en el denominador de las desviaciones estándar de las distribuciones de muestreo.

    ..

    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Las implicaciones para esto son muy importantes. La figura\(\PageIndex{8}\) muestra el efecto del tamaño de la muestra sobre la confianza que tendremos en nuestras estimaciones. Se trata de dos distribuciones de muestreo de una misma población. Se creó una distribución de muestreo con muestras de tamaño 10 y la otra con muestras de tamaño 50. Todas las demás cosas constantes, la distribución de muestreo con tamaño de muestra 50 tiene una desviación estándar más pequeña que hace que la gráfica sea más alta y más estrecha. El efecto importante de esto es que para la misma probabilidad de una desviación estándar de la media, esta distribución cubre mucho menos de un rango de valores posibles que la otra distribución. Se marca una desviación estándar en el\(\overline X\) eje para cada distribución. Esto se muestra por las dos flechas que son más o menos una desviación estándar para cada distribución. Si la probabilidad de que la media verdadera esté a una desviación estándar de la media, entonces para la distribución de muestreo con el tamaño de muestra más pequeño, el posible rango de valores es mucho mayor. Una pregunta sencilla es, ¿preferiría tener una media muestral a partir de la distribución estrecha, estrecha, o la distribución plana y amplia como estimación de la media poblacional? Tu respuesta nos dice por qué las personas intuitivamente siempre elegirán datos de una muestra grande en lugar de una muestra pequeña. La muestra media que están obteniendo proviene de una distribución más compacta. Este concepto será la base de lo que se llamará nivel de confianza en la próxima unidad.

    ..

    Figura\(\PageIndex{8}\)


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