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7.4: Factor de Corrección de Población Finita

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    151029
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    Vimos que el tamaño de la muestra tiene un efecto importante en la varianza y por lo tanto la desviación estándar de la distribución muestral. También es de interés la proporción de la población total que se ha muestreado. Hemos asumido que la población es extremadamente grande y que hemos muestreado una pequeña parte de la población. A medida que la población se hace más pequeña y se muestrea un mayor número de observaciones, las observaciones de la muestra no son independientes entre sí. Para corregir el impacto de esto, se puede utilizar el Factor de Corrección Finita para ajustar la varianza de la distribución del muestreo. Es apropiado cuando más del 5% de la población está siendo muestreada y la población tiene un tamaño de población conocido. Hay casos en los que se conoce a la población, por lo que se debe aplicar el factor de corrección. El problema surge tanto para la distribución muestral de las medias como para la distribución muestral de las proporciones. El Factor de Corrección de Población Finita para la varianza de las medias mostradas en la fórmula estandarizadora es:

    \[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}\nonumber\]

    y para la varianza de proporciones es:

    \[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\nonumber\]

    Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas de muestreo se ajustan usando la fórmula anterior.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Se aprende que la población de pastores alemanes blancos en EEUU es de 4,000 perros y el peso medio para los pastores alemanes es de 75.45 libras. También se aprende que la desviación estándar poblacional es de 10.37 libras. Si el tamaño de la muestra es de 100 perros, entonces encuentra la probabilidad de que una muestra tenga una media que difiera de la verdadera probabilidad media en menos de 2 libras.

    Contestar

    Solución 7.1

    \(N=4000, \quad n=100, \quad \sigma=10.37, \quad \mu=75.45, \quad(\overline{x}-\mu)=\pm 2\)

    \[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{ \pm 2}{\frac{10.37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4000-100}{4000-1}}}=\pm 1.95\nonumber\]

    \[f(Z)=0.4744 \cdot 2=0.9488\nonumber\]

    Tenga en cuenta que “difiere por menos” hace referencia al área en ambos lados de la media dentro de 2 libras derecha o izquierda.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Cuando un cliente realiza un pedido con Rudy's On-Line Office Supplies, un sistema informatizado de información contable (AIS) verifica automáticamente si el cliente ha excedido su límite de crédito. Los registros anteriores indican que la probabilidad de que los clientes superen su límite de crédito es de .06.

    Supongamos que en un día dado, se hacen 3 mil pedidos en total. Si seleccionamos al azar 360 pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes superen su límite de crédito?

    Contestar

    Solución 7.2

    \(N=3000, \quad n=360, \quad p=0.06\)

    \[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3000-360}{3000-1}}=0.0117\nonumber\]

    \[p_{1}=\frac{10}{360}=0.0278, \quad p_{2}=\frac{20}{360}=0.0556\nonumber\]

    \[Z=\frac{p^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{0.0278-0.06}{0.011744}=-2.74\nonumber\]

    \[p\left(\frac{0.0278-0.06}{0.011744}<\frac{0.0556-0.06}{0.011744}\right)\]


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