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7.6: Tarea Capitular

  • Page ID
    150989
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    El teorema del límite central para las medias muestrales

    49

    Anteriormente, los estudiantes de estadística De Anza estimaron que la cantidad de cambio que llevan los estudiantes de estadística diurna se distribuye exponencialmente con una media de $0.88. Supongamos que elegimos aleatoriamente 25 estudiantes de estadística diurna.

    1. En palabras,\(Χ\) = ____________
    2. \(Χ \sim\)_____ (_____, _____)
    3. En palabras,\(\overline X\) = ____________
    4. \(\overline X \sim\)______ (______, ______)
    5. Encuentra la probabilidad de que un individuo tuviera entre $0.80 y $1.00. Grafica la situación, y sombra en la zona a determinar.
    6. Encuentra la probabilidad de que el promedio de los 25 estudiantes estuviera entre $0.80 y $1.00. Grafica la situación, y sombra en la zona a determinar.
    7. Explique por qué hay una diferencia en la parte e y en la parte f.
    Contestar
    1. \(Χ\)= cantidad de cambio que llevan los estudiantes
    2. \(Χ \sim E(0.88, 0.88)\)
    3. \(\overline X\)= cantidad promedio de cambio llevado por una muestra de 25 estudiantes.
    4. \(\overline X \sim N(0.88, 0.176)\)
    5. \(0.0819\)
    6. \(0.1882\)
    7. Las distribuciones son diferentes. La parte 1 es exponencial y la parte 2 es normal.

    50.

    Supongamos que la distancia de las pelotas de mosca golpeadas a los outfield (en béisbol) se distribuye normalmente con una media de 250 pies y una desviación estándar de 50 pies. Muestreamos aleatoriamente 49 bolas de mosca.

    1. Si\(\overline X\) = distancia promedio en pies para 49 bolas de mosca, entonces\(\overline X \sim\) _______ (_______, _______)
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que las 49 bolas viajaran un promedio de menos de 240 pies? Esbozar la gráfica. Escala el eje horizontal para\(\overline X\). Sombra la región correspondiente a la probabilidad. Encuentra la probabilidad.
    3. Encuentra el percentil 80 de la distribución del promedio de 49 bolas de mosca.

    51.

    De acuerdo con el Servicio de Impuestos Internos, el tiempo promedio para que un individuo complete (mantenga registros para, aprenda, prepare, copie, ensamble y envíe) el Formulario 1040 del IRS es de 10.53 horas (sin ningún horario adjunto). Se desconoce la distribución. Supongamos que la desviación estándar es de dos horas. Supongamos que tomamos muestras al azar a 36 contribuyentes

    1. En palabras,\(Χ =\) _____________
    2. En palabras,\(\overline X\) = _____________
    3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
    4. ¿Te sorprendería que los 36 contribuyentes terminaran su Formulario 1040s en promedio más de 12 horas? Explique por qué o por qué no en oraciones completas.
    5. ¿Te sorprendería que un contribuyente terminara su Formulario 1040 en más de 12 horas? En una oración completa, explique por qué.

    52.

    Supongamos que se sabe que una categoría de corredores de clase mundial corre un maratón (26 millas) en un promedio de 145 minutos con una desviación estándar de 14 minutos. Considera 49 de las carreras. Dejemos\(\overline X\) el promedio de las 49 carreras.

    1. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
    2. Encuentra la probabilidad de que el corredor promedie entre 142 y 146 minutos en estas 49 maratones.
    3. Encuentra el\(80^{th}\) percentil para el promedio de estas 49 maratones.
    4. Encuentra la mediana de los tiempos de funcionamiento promedio.

    53.

    La duración de las canciones de la colección de álbumes de iTunes de un coleccionista se distribuye uniformemente de dos a 3.5 minutos. Supongamos que escogemos al azar cinco álbumes de la colección. Hay un total de 43 canciones en los cinco discos.

    1. En palabras,\(Χ\) = _________
    2. \(Χ \sim\)_____________
    3. En palabras,\(\overline X\) = _____________
    4. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
    5. Encuentra el primer cuartil para la duración promedio de la canción.
    6. El\(IQR\) (rango intercuartílico) para la duración promedio de la canción es de _______—_______.

    54.

    En 1940 el tamaño promedio de una granja estadounidense era de 174 acres. Digamos que la desviación estándar fue de 55 acres. Supongamos que encuestamos aleatoriamente a 38 agricultores de 1940.

    1. En palabras,\(Χ\) = _____________
    2. En palabras,\(\overline X\) = _____________
    3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
    4. El\(IQR\) para\(\overline X\) es de _______ acres a _______ acres.

    55.

    Determinar cuáles de los siguientes son verdaderos y cuáles son falsos. Entonces, en oraciones completas, justifica tus respuestas.

    1. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la media de\(\overline X\) es aproximadamente igual a la media de\(Χ\).
    2. Cuando el tamaño de la muestra es grande,\(\overline X\) se distribuye aproximadamente normalmente.
    3. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la desviación estándar de\(\overline X\) es aproximadamente la misma que la desviación estándar de\(Χ\).

    56.

    El porcentaje de calorías grasas que una persona en Estados Unidos consume cada día se distribuye normalmente con una media de aproximadamente 36 y una desviación estándar de aproximadamente diez. Supongamos que 16 individuos son elegidos al azar. Let\(\overline X\) = porcentaje promedio de calorías grasas.

    1. \(\overline X \sim\)______ (______, ______)
    2. Para el grupo de 16, encuentra la probabilidad de que el porcentaje promedio de calorías de grasas consumidas sea mayor a cinco. Grafica la situación y sombra en la zona a determinar.
    3. Encuentra el primer cuartil para el porcentaje promedio de calorías de grasa.

    57.

    La distribución del ingreso en algunos países del Tercer Mundo se considera en forma de cuña (muchas personas muy pobres, muy pocas personas de ingresos medios e incluso menos personas ricas). Supongamos que elegimos un país con una distribución en forma de cuña. Que el salario promedio sea de $2,000 anuales con una desviación estándar de $8,000. Encuestamos aleatoriamente a 1,000 residentes de ese país.

    1. En palabras,\(Χ\) = _____________
    2. En palabras,\(\overline X\) = _____________
    3. \(\overline X \sim\)_____ (_____, _____)
    4. ¿Cómo es posible que la desviación estándar sea mayor que la media?
    5. ¿Por qué es más probable que el promedio de los mil residentes sea de $2,000 a $2,100 que de $2,100 a $2,200?

    58.

    ¿Cuál de los siguientes NO ES VERDADERO sobre la distribución de promedios?

    1. La media, la mediana y el modo son iguales.
    2. El área bajo la curva es uno.
    3. La curva nunca toca el eje x.
    4. La curva está sesgada a la derecha.

    59.

    El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía siguió una distribución desconocida con una media de $4.59 y una desviación estándar de $0.10. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina para las 16 gasolineras. La distribución a utilizar para el costo promedio de la gasolina para las 16 estaciones de servicio es:

    a.\(\overline X \sim N(4.59, 0.10)\)

    b.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{0.10}{\sqrt{16}}\right)\)

    c.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{16}{0.10}\right)\)

    d.\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{\sqrt{16}}{0.10}\right)\)

    Usando el Teorema del Límite Central

    60.

    Una gran población de 5,000 estudiantes realizan un examen de práctica para prepararse para una prueba estandarizada. La media poblacional es de 140 preguntas correctas y la desviación estándar es de 80. ¿Qué tamaño de muestras debe tomar un investigador para obtener una distribución de medias de las muestras con una desviación estándar de 10?

    61.

    Una gran población tiene datos sesgados con una media de 70 y una desviación estándar de 6. Se toman muestras de tamaño 100 y se analiza la distribución de las medias de estas muestras.

    1. ¿Estará la distribución de los medios más cercana a una distribución normal que a la distribución de la población?
    2. ¿La media de las medias de las muestras se mantendrá cerca de 70?
    3. ¿La distribución de las medias tendrá una desviación estándar menor?
    4. ¿Cuál es esa desviación estándar?

    62.

    Un investigador está mirando datos de una gran población con una desviación estándar que es demasiado grande. Para concentrar la información, el investigador decide muestrear repetidamente los datos y utilizar la distribución de los medios de las muestras? En el primer esfuerzo se utilizó una muestra con un tamaño de 100. Pero la desviación estándar era aproximadamente el doble del valor que quería el investigador. ¿Cuáles son las muestras de menor tamaño que el investigador puede utilizar para remediar el problema?

    63.

    Un investigador analiza un amplio conjunto de datos y concluye que la población tiene una desviación estándar de 40. Utilizando tamaños de muestra de 64, el investigador es capaz de enfocar la media de las medias de la muestra a una distribución más estrecha donde la desviación estándar es 5. Entonces, el investigador se da cuenta de que hubo un error en los cálculos originales, y la desviación estándar inicial es realmente 20. Dado que la desviación estándar de las medias de las muestras se obtuvo utilizando la desviación estándar original, este valor también se ve impactado por el descubrimiento del error. ¿Cuál es el valor correcto de la desviación estándar de las medias de las muestras?

    64.

    Una población tiene una desviación estándar de 50. Se muestrean con muestras de tamaño 100. ¿Cuál es la varianza de las medias de las muestras?

    El teorema del límite central para las proporciones

    65.

    Un granjero recoge calabazas de un campo grande. El agricultor hace muestras de 260 calabazas y las inspecciona. Si una de cada cincuenta calabazas no es apta para el mercado y se guardará para semillas, ¿cuál es la desviación estándar de la media de la distribución muestral de las proporciones muestrales?

    66.

    Una tienda encuesta a los clientes para ver si están satisfechos con el servicio que recibieron. Se toman muestras de 25 encuestas. Una de cada cinco personas no está satisfecha. ¿Cuál es la varianza de la media de la distribución muestral de proporciones muestrales para el número de clientes insatisfechos? ¿Cuál es la varianza para clientes satisfechos?

    67.

    Una empresa hace una encuesta anónima a sus empleados para ver qué porcentaje de sus empleados están contentos. La compañía es demasiado grande para verificar cada respuesta, por lo que se toman muestras de 50, y la tendencia es que tres cuartas partes de los empleados estén contentos. Para la media de la distribución muestral de las proporciones muestrales, conteste las siguientes preguntas, si se duplica el tamaño muestral.

    1. ¿Cómo afecta esto a la media?
    2. ¿Cómo afecta esto a la desviación estándar?
    3. ¿Cómo afecta esto a la varianza?

    68.

    Un encuestador hace una sola pregunta con solo sí y no como posibilidades de respuesta. El sondeo se realiza a nivel nacional, por lo que se toman muestras de 100 respuestas. Hay cuatro respuestas sí para cada una no respuesta en general. Para la media de la distribución muestral de las proporciones muestrales, encuentra lo siguiente para respuestas sí.

    1. El valor esperado.
    2. La desviación estándar.
    3. La varianza.

    69.

    La media de la distribución muestral de las proporciones muestrales tiene un valor\(p\) de 0.3, y el tamaño muestral de 40.

    1. ¿Hay alguna diferencia en el valor esperado si\(p\) y roles\(q\) inversos?
    2. ¿Hay alguna diferencia en el cálculo de la desviación estándar con la misma inversión?

    Factor de corrección de población finita

    70.

    Una empresa cuenta con 1,000 empleados. El promedio de días laborales entre ausencias por enfermedad es de 80 con una desviación estándar de 11 días. Se examinan muestras de 80 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días hábiles sin ausencia por enfermedad de al menos 78 días y como máximo 84 días?

    71.

    Los camiones pasan una báscula automática que monitorea 2,000 camiones. Esta población de camiones tiene un peso promedio de 20 toneladas con una desviación estándar de 2 toneladas. Si se toma una muestra de 50 camiones, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra tenga un peso promedio dentro de media tonelada de la media de la población?

    72.

    Un pueblo mantiene registros meteorológicos. A partir de estos registros se ha determinado que llueve en promedio el 12% de los días de cada año. Si se seleccionan 30 días al azar a partir de un año, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 días hayan tenido lluvia?

    73.

    Un fabricante de tarjetas de felicitación tiene un problema de tinta que hace que la tinta se unte en 7% de las tarjetas. La producción diaria es de 500 tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de que si se comprueba una muestra de 35 tarjetas, habrá tinta manchada en como máximo 5 tarjetas?

    74.

    Una escuela cuenta con 500 alumnos. Por lo general, hay un promedio de 20 estudiantes que están ausentes. Si se toma una muestra de 30 alumnos en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 alumnos de la muestra estén ausentes?


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