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13.5: Interpretación de coeficientes de regresión- elasticidad y transformación logarítmica

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    Como hemos visto, el coeficiente de una ecuación estimada mediante análisis de regresión OLS proporciona una estimación de la pendiente de una línea recta que se supone que es la relación entre la variable dependiente y al menos una variable independiente. A partir del cálculo, la pendiente de la línea es la primera derivada y nos dice la magnitud del impacto de un cambio de una unidad en la\(X\) variable sobre el valor de la\(Y\) variable medido en las unidades de la\(Y\) variable. Como vimos en el caso de las variables ficticias, esto puede mostrarse como un desplazamiento paralelo en la línea estimada o incluso un cambio en la pendiente de la línea a través de una variable interactiva. Aquí queremos explorar el concepto de elasticidad y cómo podemos utilizar un análisis de regresión para estimar las diversas elasticidades en las que los economistas tienen interés.

    El concepto de elasticidad se toma prestado de la ingeniería y la física donde se utiliza para medir la capacidad de respuesta de un material a una fuerza, típicamente una fuerza física como una fuerza de estiramiento/tracción. Es a partir de aquí que obtenemos el término una banda “elástica”. En economía, la fuerza en cuestión es alguna fuerza de mercado como un cambio en el precio o en los ingresos. La elasticidad se mide como porcentaje de cambio/respuesta tanto en aplicaciones de ingeniería como en economía. El valor de medir en términos porcentuales es que las unidades de medida no juegan un papel en el valor de la medición y así permite la comparación directa entre elasticidades. A modo de ejemplo, si el precio de la gasolina aumentó digamos 50 centavos desde un precio inicial de $3.00 y generó una disminución en el consumo mensual para un consumidor de 50 galones a 48 galones calculamos que la elasticidad es de 0.25. La elasticidad del precio es el cambio porcentual en la cantidad resultante de algún cambio porcentual en el precio. Un incremento de 16 por ciento en el precio ha generado sólo una disminución de 4 por ciento en la demanda: 16% cambio de precio\(\rightarrow\) 4% cambio de cantidad o\(.04/.16 = .25\). A esto se le llama una demanda inelástica, lo que significa una pequeña respuesta al cambio de precio. Esto se produce porque hay pocos, si es que hay alguno, sustitutos reales de la gasolina; tal vez el transporte público, una bicicleta o caminar. Técnicamente, por supuesto, el cambio porcentual en la demanda a partir de un incremento de precio es una disminución de la demanda por lo que la elasticidad del precio es un número negativo La convención común, sin embargo, es hablar de la elasticidad como el valor absoluto del número. Algunos bienes tienen muchos sustitutos: peras para manzanas para ciruelas, para uvas, etc. etc. La elasticidad para tales bienes es mayor que uno y se llaman elásticos en demanda. Aquí un pequeño cambio porcentual en el precio inducirá un gran cambio porcentual en la cantidad demandada. El consumidor desplazará fácilmente la demanda al sustituto cercano.

    Si bien esta discusión ha sido sobre los cambios de precios, cualquiera de las variables independientes en una ecuación de demanda tendrá una elasticidad asociada. Así, existe una elasticidad de ingresos que mide la sensibilidad de la demanda ante los cambios en los ingresos: no mucho por la demanda de alimentos, sino muy sensible para los yates. Si la ecuación de demanda contiene un término para productos sustitutos, digamos barras de caramelo en una ecuación de demanda para galletas, entonces se puede medir la capacidad de respuesta de la demanda de galletas por los cambios en los precios de las barras de caramelo. A esto se le llama la elasticidad cruzada de precios de la demanda y hasta cierto punto se puede considerar como lealtad a la marca desde una visión de marketing. ¿Qué tan receptiva es la demanda de Coca-Cola a los cambios en el precio de Pepsi?

    Ahora imagina la demanda de un producto que es muy caro. Nuevamente, la medida de elasticidad es en términos porcentuales por lo que la elasticidad puede compararse directamente con la de la gasolina: una elasticidad de 0.25 para la gasolina transmite la misma información que una elasticidad de 0.25 para un automóvil de $25,000. Ambos bienes son considerados por el consumidor por tener pocos sustitutos y por lo tanto tienen curvas de demanda inelásticas, elasticidades menores a una.

    Las fórmulas matemáticas para diversas elasticidades son:

    \[\text { Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}\nonumber\]

    ¿Dónde\(\eta\) se usa la minúscula griega eta para designar elasticidad? Se lee como “cambio”.

    \[\text { Income elasticity: } \eta_{\mathrm{Y}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{Y})}\nonumber\]

    Donde\(Y\) se utiliza como símbolo de ingresos.

    \[\text { Cross-Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p} 1}=\frac{\left(\% \Delta \mathrm{Q}_{1}\right)}{\left(\% \Delta \mathrm{P}_{2}\right)}\nonumber\]

    Donde P2 es el precio del bien sustituto.

    Examinando más de cerca la elasticidad del precio podemos escribir la fórmula como:

    \[\eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{Q}}{\mathrm{dP}}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

    Dónde\(b\) está el coeficiente estimado para el precio en la regresión de OLS.

    La primera forma de la ecuación demuestra el principio de que las elasticidades se miden en términos porcentuales. Por supuesto, los coeficientes de mínimos cuadrados ordinarios proporcionan una estimación del impacto de un cambio unitario en la variable independiente,\(X\), sobre la variable dependiente medida en unidades de\(Y\). Estos coeficientes no son elasticidades, sin embargo, y se muestran en la segunda forma de escribir la fórmula de elasticidad como\(\left(\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} P}\right)\), la derivada de la función de demanda estimada que es simplemente la pendiente de la línea de regresión. Multiplicar los tiempos de pendiente\(\frac{P}{Q}\) proporciona una elasticidad medida en términos porcentuales.

    A lo largo de una curva de demanda lineal el cambio porcentual, por lo tanto la elasticidad, cambia continuamente a medida que cambia la escala, mientras que la pendiente, el coeficiente de regresión estimado, permanece constante. Volviendo a la demanda de gasolina. Un cambio en el precio de $3.00 a $3.50 fue un incremento del 16 por ciento en el precio. Si el precio inicial fuera de $5.00 entonces el mismo incremento de 50¢ sería solo un incremento del 10 por ciento generando una elasticidad diferente. Cada curva de demanda lineal tiene un rango de elasticidades que comienzan en la parte superior izquierda, precios altos, con grandes números de elasticidad, demanda elástica y decreciente a medida que se baja la curva de demanda, demanda inelástica.

    Para proporcionar una estimación significativa de la elasticidad de la demanda, la convención consiste en estimar la elasticidad en el punto de medias. Recuerde que todas las líneas de regresión de OLS pasarán por el punto de medias. En este punto se encuentra el mayor peso de los datos utilizados para estimar el coeficiente. La fórmula para estimar una elasticidad cuando se ha estimado una curva de demanda de OLS se convierte en:

    \[\eta_{\mathrm{p}}=\mathrm{b}\left(\frac{\overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

    Donde\(\overline{\mathrm{P}}\) y\(\overline{\mathrm{Q}}\) son los valores medios de estos datos utilizados para estimar\(b\), el coeficiente de precio.

    El mismo método se puede utilizar para estimar las otras elasticidades para la función de demanda utilizando los valores medios apropiados de las otras variables; ingreso y precio de bienes sustitutos por ejemplo.

    Transformación logarítmica de los datos

    Las estimaciones de mínimos cuadrados ordinarios suelen suponer que la relación poblacional entre las variables es lineal, por lo tanto, de la forma presentada en La ecuación de regresión. De esta forma la interpretación de los coeficientes es como se discutió anteriormente; simplemente el coeficiente proporciona una estimación del impacto de un cambio de una unidad\(X\) en el\(Y\) medido en unidades de\(Y\). No importa justo donde a lo largo de la línea se desee realizar la medición ya que es una línea recta con una pendiente constante por lo tanto constante nivel estimado de impacto por unidad de cambio. Puede ser, sin embargo, que el analista desee estimar no el simple impacto medido por unidad sobre la\(Y\) variable, sino la magnitud del impacto porcentual sobre\(Y\) de un cambio de una unidad en la\(X\) variable. Tal caso podría ser cómo un cambio de unidad en la experiencia, digamos un año, afecta no el monto absoluto del salario de un trabajador, sino el impacto porcentual en el salario del trabajador. Alternativamente, puede ser que la pregunta que se hace sea el impacto medido por unidad\(Y\) de un incremento porcentual específico en X. Un ejemplo puede ser “¿por cuántos dólares aumentarán las ventas si la firma gasta\(X\) por ciento más en publicidad?” La tercera posibilidad es el caso de elasticidad discutido anteriormente. Aquí nos interesa el impacto porcentual en la cantidad demandada para un cambio porcentual dado en el precio, o ingresos o tal vez el precio de un bien sustituto. Los tres casos pueden estimarse transformando los datos en logaritmos antes de ejecutar la regresión. Los coeficientes resultantes proporcionarán entonces una medición de cambio porcentual de la variable relevante.

    Para resumir, hay cuatro casos:

    1. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)(Estuche estándar OLS)
    2. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)
    3. \(\% \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)
    4. \(\% \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)(caso de elasticidad)

    Caso 1: El caso de mínimos cuadrados ordinarios comienza con el modelo lineal desarrollado anteriormente:

    \[Y=a+b X\nonumber\]

    donde el coeficiente de la variable independiente\(b=\frac{d Y}{d X}\) es la pendiente de una línea recta y así mide el impacto de un cambio unitario\(X\) en el\(Y\) medido en unidades de\(Y\).

    Caso 2: La ecuación subyacente estimada es:

    \[\log (\mathrm{Y})=a+b X\nonumber\]

    La ecuación se estima convirtiendo los\(Y\) valores a logaritmos y utilizando técnicas de OLS para estimar el coeficiente de la\(X\) variable,\(b\). Esto se denomina estimación semilogarítmica. Nuevamente, diferenciar ambos lados de la ecuación nos permite desarrollar la interpretación del\(X\) coeficiente\(b\):

    \[\mathrm{d}\left(\log _{\mathrm{Y}}\right)=b \mathrm{d} X\nonumber\]

    \[\frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \mathrm{d} X\nonumber\]

    Multiplicar por 100 para encubrir a porcentajes y reorganizar términos da:

    \[100 b=\frac{\% \Delta Y}{\text { Unit } \Delta X}\nonumber\]

    \(100b\)es así el cambio porcentual en\(Y\) resultante de un cambio de unidad en\(X\).

    Caso 3: En este caso la pregunta es “¿cuál es el cambio de unidad en\(Y\) resultado de un cambio porcentual en\(X\)?” ¿Cuál es la pérdida del dólar en ingresos de un aumento del cinco por ciento en el precio o cuál es el impacto en el costo total en dólares de un aumento del cinco por ciento en los costos laborales? La ecuación estimada para este caso sería:

    \[Y=a+B \log (X)\nonumber\]

    Aquí el cálculo diferencial de la ecuación estimada es:

    \[dY=bd(logX)\nonumber\]

    \[\mathrm{d} Y=b \frac{\mathrm{d} X}{X}\nonumber\]

    Dividir por 100 para obtener porcentaje y reorganizar términos da:

    \[\frac{b}{100}=\frac{\mathrm{d} Y}{100 \frac{\mathrm{d} X}{X}}=\frac{\text { Unit } \Delta \mathrm{Y}}{\% \Delta \mathrm{X}}\nonumber\]

    Por lo tanto,\(\frac{b}{100}\) es el incremento en\(Y\) medido en unidades a partir de un incremento del uno por ciento en\(X\).

    Caso 4: Este es el caso de elasticidad donde tanto las variables dependientes como las independientes se convierten a logs antes de la estimación de OLS. Esto se conoce como el caso log-log o caso log doble, y nos proporciona estimaciones directas de las elasticidades de las variables independientes. La ecuación estimada es:

    \[logY=a+blogX\nonumber\]

    Diferenciando tenemos:

    \[d(logY)=bd(logX)\nonumber\]

    \[\mathrm{d}(\log X)=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X\nonumber\]

    por lo tanto:

    \[\frac{1}{Y} \mathrm{d} Y=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X \quad \text { OR } \quad \frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \frac{\mathrm{d} X}{X} \quad \text { OR } \quad b=\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}\left(\frac{X}{Y}\right)\nonumber\]

    y\(b=\frac{\% \Delta Y}{\% \Delta X}\) nuestra definición de elasticidad. Se concluye que podemos estimar directamente la elasticidad de una variable a través de la transformación doble logarítmica de los datos. El coeficiente estimado es la elasticidad. Es común utilizar la transformación doble logarítmica de todas las variables en la estimación de funciones de demanda para obtener estimaciones de todas las diversas elasticidades de la curva de demanda.


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