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10.5: Error estándar y varianza agrupada

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    Recordemos que el error estándar es la distancia promedio entre cualquier media muestral dada y el centro de su distribución muestral correspondiente, y es función de la desviación estándar de la población (ya sea dada o estimada) y el tamaño de la muestra. Esta definición e interpretación son ciertas para nuestras muestras independientes\(t\) -prueba también, pero debido a que estamos trabajando con dos muestras extraídas de dos poblaciones, primero tenemos que combinar sus estimaciones de desviación estándar —o, más exactamente, sus estimaciones de varianza— en un solo valor que nosotros se puede utilizar para calcular nuestro error estándar.

    La estimación combinada de varianza utilizando la información de cada muestra se denomina varianza agrupada y se denota\(s_{p}^{2}\); el subíndice\(p\) sirve como recordatorio que indica que es la varianza agrupada. El término “varianza agrupada” es un nombre literal porque simplemente estamos agrupando o combinando la información sobre la varianza —la Suma de Cuadrados y Grados de Libertad— de nuestras dos muestras en un solo número. El resultado es un promedio ponderado de las varianzas de muestra observadas, estando determinado el peso para cada una por el tamaño de la muestra, y siempre caerá entre las dos varianzas observadas. La fórmula computacional para la varianza agrupada es:

    \[s_{p}^{2}=\dfrac{\left(n_{1}-1\right) s_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} \]

    Esta fórmula puede parecer desalentadora al principio, pero de hecho es solo un promedio ponderado. Aún más convenientemente, se puede emplear algún álgebra simple para reducir en gran medida la complejidad del cálculo. La fórmula más simple y apropiada para usar al calcular la varianza agrupada es:

    \[s_{p}^{2}=\dfrac{S S_{1}+S S_{2}}{d f_{1}+d f_{2}} \]

    Usando esta fórmula, es muy sencillo ver que solo estamos sumando las mismas piezas de información que hemos estado calculando desde el capítulo 3. Así, cuando usamos esta fórmula, la varianza agrupada no es tan intimidante como podría haber parecido originalmente.

    Una vez que hayamos calculado nuestra varianza agrupada, podemos dejarla caer en la ecuación para nuestro error estándar:

    \[S_{\overline{X_{1}}-\overline{X_{2}}}=\sqrt{\dfrac{S_{p}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{S_{p}^{2}}{n_{2}}} \]

    Una vez más, aunque esta fórmula puede parecer diferente de lo que era antes, en realidad es solo una forma diferente de escribir lo mismo. Una forma alternativa pero matemáticamente equivalente de escribir nuestro antiguo error estándar es:

    \[s_{\overline{X}}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{\dfrac{s^{2}}{n}} \]

    Al mirar eso, ahora podemos ver que, una vez más, simplemente estamos sumando dos piezas de información: no se requiere ninguna nueva lógica o interpretación. Una vez calculado el error estándar, va en el denominador de nuestro estadístico de prueba, como se mostró anteriormente y como fue el caso en todos los capítulos anteriores. Así, el único paso adicional para calcular un estadístico t de muestras independientes es calcular la varianza agrupada. Veamos un ejemplo en acción.


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