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5.5: Probabilidad conjunta y regla aditiva

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    Dos o más eventos se pueden combinar en eventos conjuntos mediante el uso de declaraciones “o” o declaraciones “y”.

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    La Unión de dos eventos A y B es que ocurre cualquiera de los eventos A o B, o ambos; (las partes azul, rojo y morado del diagrama de Venn se muestran a la derecha).

    La Intersección de dos eventos A y B es que ambos eventos A y B ocurren; (la superposición púrpura del diagrama de Venn se muestra a la derecha).

    Probabilidad marginal significa la probabilidad de que ocurra un solo evento.

    Probabilidad conjunta significa la probabilidad de que ocurra la unión o intersección de múltiples eventos.

    Ejemplo: Cursos para estudiantes

    clipboard_ea4019ee8980a9b04708a55deb7569840.png

    En un grupo de 100 estudiantes, un total de 40 estudiantes toman Matemáticas, un total de 20 estudiantes toman Historia y 10 estudiantes toman tanto Matemáticas como Historia. (Tenga en cuenta que estos 10 alumnos ya se contabilizaron dos veces como estudiantes de Matemáticas y estudiantes de Historia). Encuentra las probabilidades marginales y articulares.

    Solución

    Probabilidades Marginales:

    P (Matemáticas) = 40/100 = 0.4

    P (Historial) = 20/100 = 0.2

    Probabilidades articulares:

    P (Matemáticas e Historia) = 10/100 = 0.1 (esta es la intersección de los dos eventos)

    P (Matemáticas o Historia) = 50/100 = 0.5 (esta es la unión de los dos eventos)

    Podemos hacer una regla para relacionar probabilidades conjuntas y marginales pero notando que estamos contando dos veces los resultados en la intersección de dos eventos al combinar probabilidades marginales de evento cada evento. A esto se le llama la Regla Aditiva.

    La regla aditiva para la probabilidad

    \[P(A \text { or } B)=P(A)+P(B)-P(A \text { and } B) \nonumber \]

    Ejemplo: Cursos para estudiantes

    Calcular la probabilidad de que un estudiante esté tomando Matemáticas o Historia usando la regla aditiva. Comparar con el cálculo directo del ejemplo anterior.

    Solución

    P (Matemáticas o Historia) = P (Matemáticas) + P (Historia) — P (Matemáticas o Historia)

    P (Matemáticas o Historia) = 0.4 + 0.2 — 0.1 = 0.5

    Mutuamente Exclusivos significa que dos eventos A, B no pueden ocurrir ambos. En este caso, la intersección de dos eventos no tiene resultados posibles.

    La regla aditiva para eventos mutuamente excluyentes

    \[P(A \text { or } B)=P(A)+P(B) \nonumber \]

    Ejemplo: Clase de español

    500 estudiantes de un colegio comunitario están tomando español 1A en el trimestre de otoño de este año. 32 estudiantes están en la Sección 11 y 30 estudiantes están en la Sección 12. Encuentra la probabilidad de que un estudiante español 1A esté en las Secciones 11 o en la Sección 12.

    Solución

    Dado que los estudiantes no pueden estar en dos secciones de la misma clase, los eventos Sección 11 y Sección 12 son mutuamente excluyentes.

    P (Sec 11 o 12) = P (Sec 11) + P (Sec 12) = 32/500 + 30 /500 = 62/500 = 0.124


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